3月になると納品ラッシュが続いて、職場ではあちこちで火が噴いているのはいつものこと。

火消しに廻るので忙しくてこちらの投稿も開店休業状態で申し訳ない。

それでも通勤電車の中では解らないながらもいろいろへそ曲がりな視点で電磁気学を見直しているところ（といったら格好いいかも）

電磁気学の式では4πというのがよく登場する。というのも現代のcoulombの法則の式に出てくるわけだが、これは点電荷を中心とする半径rの球面の面積で中心電荷を割ったものが球面上の電位勾配（電界）に等しくなるように後に定められた定義だ。単位系の策定の歴史とも関係するので実は本質的ではない。

しかし半径rの球の表面積の式を導出せよと言われると実は困ったことになる。それ以前に半径rの円盤の面積（半径rの球を真っ二つに切った場合の断面の面積）の式を導出せよと問われても小学生の時に習った記憶しかない。実はそれ以降まともに導出したという記憶がないのだ。

これはさすがにまずいだろう。小学生の時の円の面積の導出方法は直感的だがよく考えられていて突っ込まれても大丈夫な方式だったはず。円盤を放射状にミカンの房のような部分に分割し、分割を無限に多くすればミカンの房のひとつひとつは半径rを二等辺とする無限小正三角形とみなすことができる。それをばらばらに分解して、平行四辺形状になるように向きを互い違いにして敷き詰めれば面積は底辺が円周の半分でπrで高さがrの平行四辺形（ほとんど長方形とみなしてもかまわない）になるので、面積は底辺×高さ=πr^2ということになる。

円の面積の厳密な証明というのは見たことがないが、ちゃんとやると小学生には理解不能なレベルだと思われるので、苦肉の策だと想像がつく。

ミカンの房がその中心角が無限小になれば、底辺が中心角×半径で2辺が半径の正三角形に近似できるというのはなんとなくわかる。これはr sinθをθを無限小dθに近づけた時にr dθに限りなく近づくというのは簡単に証明できるし、あちこちでよく見かける。

そうすると円の面積はこの微少の正三角形で円を埋め尽くしたと考えればよいので積分計算で求めることができる。

微少の正三角形の面積は底辺×高さ/2だから(1/2)r^2 dθ



dθを0〜2πの範囲で積分すれば



ということになる。

さて次は球の表面積だけど、小学生の時のように同様に今度は微少な正三角錐で球を敷き詰めたと考える方法を良く見かける。それは球の体積を求めるには都合が良いが、球の表面積を求めるのにはそこまでは必要ないかもしれない。


球の表面を微少な帯で敷き詰めればよいわけで、微少な帯の幅はrdθ、帯の長さは2π r sinθ dθとなる。従って微少な帯の面積は2π r^2 sinθ dθということになりθに関して0〜πまで積分すればよい。



これはすぐに計算できて



ということになる。

これでもぐりと言われないですむかもしれない。

同様に球の体積は上記の式をrに関して0〜rで積分すれば簡単に得られる。これはミカンの皮を球の中心からずっと敷き詰めて重ねていけば体積と等しくなると考えてよい。



ということになる。

なんだ簡単じゃないか（´∀｀　）

ただ自分数学ではおそらく微積分とか三角関数という概念を独自に再発見できるこは思えないので（再発見できたとしたら天才かも）ので、やはりちゃんとしたテキストを読んで一度は学ぶ必要がある。あのフィールズ賞数学者の小平邦彦ですら微積分の概念は学校で教わるまで知らなかったと言っているぐらいだし。

もっと数学的に遊ぶには、4次元の球の面積や体積とか求めてみるとおもしろい。それは読者の課題としよう。

P.S

実は球の面積が話題になったある半導体製造技術のニュースを話題にしたときに、現在の半導体がシリコン結晶の四角い板の上に回路を構成しているのを、球面状に構成すれば面積が増えてより多くの回路を集積できるという数値的な説明をするのに、球の面積の公式をとっさに書いたのだが、実はそれは間違っていて球の体積の公式だったということがすぐにばれて赤面した覚えがある。まあ内輪の議論だったのでそれで事なきをえたが、この時点で数学的な知識がだいぶ怪しいものだという印象を与えてしまったことは悔やまれる。まあお里が知れただけなんだけどね。