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webadm | 投稿日時: 2008-6-5 10:44 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3084 |
【13】RLC直列回路の出力電圧(その2) 次ぎの問題は問題11のCの代わりに今度はLが可変になったもの。
R,1/ωCの定数が与えられていてLの出力電圧の最大値を計算せよというもの。 問題11と同様に回路に流れる電流はインピーダンスの絶対値と電源電圧から |I|=|E|/sqrt(R^2+(ωL-1/ωC)^2) で表される。従ってLの出力電圧はそれに誘導性リアクタンスを乗じたものなので |EL|=|I|*XL =|E|*ωL/sqrt(R^2+(ωL-1/ωC)^2) と表される。 Lを可変して|EL|の最大値を取るのは、上の式をLで微分して (%i11) E*o*L/sqrt(R^2+(o*L-1/(o*C))^2); (%o11) (o*E*L)/sqrt(R^2+(o*L-1/(o*C))^2) (%i12) diff(%,L); (%o12) (o*E)/sqrt(R^2+(o*L-1/(o*C))^2)-(o^2*E*L*(o*L-1/(o*C)))/(R^2+(o*L-1/(o*C))^2)^(3/2) (%i13) factor(%); (%o13) (o*abs(o)*abs(C)*E*(o^2*C^2*R^2-o^2*C*L+1))/(o^2*C^2*R^2+o^4*C^2*L^2-2*o^2*C*L+1)^(3/2) d|EL|/dL=ω^2C*|E|*((ωC)^2*R^2-ω^2C*L+1))/(ωC)^2*R^2+(ωC)^2*(ωL)^2-2*ω^2C*L+1)^(3/2) 分子が0になる条件 (ωC)^2*R^2-ω^2C*L+1=0 よりLを解くと (%i14) solve([o^2*C^2*R^2-o^2*C*L+1], [L]); (%o14) [L=(o^2*C^2*R^2+1)/(o^2*C)] L=((ωC)^2*R^2+1)/(ω^2*C) ということになる。これを先の|EL|の式に代入すると|ELmax|は |ELmax|=|E|*ωL/sqrt(R^2+(ωL-1/ωC)^2) =|E|*ω*(((ωC)^2*R^2+1)/(ω^2*C))/sqrt(R^2+(ω*(((ωC)^2*R^2+1)/(ω^2*C))-1/ωC)^2) (%i16) subst(((o*C)^2*R^2+1)/(o^2*C), L, (o*E*L)/sqrt(R^2+(o*L-1/(o*C))^2)); (%o16) (E*(o^2*C^2*R^2+1))/(o*C*sqrt(((o^2*C^2*R^2+1)/(o*C)-1/(o*C))^2+R^2)) (%i17) factor(%); (%o17) (E*sqrt(o^2*C^2*R^2+1))/(o*C*abs(R)) |ELmax|=|E|*sqrt((ωC)^2*R^2+1)/(ωC*R) R=50,1/ωC=100,|E|=100と与えられているので代入すると |ELmax|=100*sqrt((1/100)^2*50^2+1)/((1/100)*50) =223.6 [V] ということになる。 |
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