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webadm | 投稿日時: 2008-6-6 11:04 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3068 |
【15】RLC直列回路のR 次ぎの問題はRLC直列回路に関するちょっとひねった問題。
RLC直列回路でCをC1とC2にした場合にどちらも同一の電源|E|、ω0の場合に共振時の電流I0のk倍(k<1)の電流が流れた時にRがいくらになるか求めよというもの。 題意からするとω0,C1,C2,kのみでRを表す式を導けということのようだ。 C1とC2とで同じ電流が流れたということなのでどちらもインピーダンスの絶対値は同じということになる。前者をZ1、後者をZ2とすると互いに共役関係にあると言える。ベクトル図で描くと 式で表すと Z1=R+j(ω0L-1/ω0C1) Z2=R+j(ω0L-1/ω0C2) |Z1|=|Z2| なる関係が成り立つ。 また共振時のインピーダンスは Z=R+j(ω0L-1/ω0C) の虚数部が0となるので Z=R となる。 従って共振時の電流は I0=|E|/R と表すことが出来る。 一方CがC1,C2の時にはそれぞれ流れる電流がk倍であるので I0*k=|E|/|Z1| I0*k=|E|/|Z2| なる関係式が成り立つ。 ここでI0を先の式で消去すると |E|*k/R=|E|/|Z1| |E|*k/R=|E|/|Z2| 両辺は|E|で割れるので|E|も消去される。 k/R=1/|Z1| k/R=1/|Z2| ここで |Z1|=|Z2| なので sqrt(R^2+(ω0L-1/ω0C1)^2)=sqrt(R^2+(ω0L-1/ω0C2)^2) 両辺を二乗すると R^2+(ω0L-1/ω0C1)^2=R^2+(ω0L-1/ω0C2)^2 展開して整理すると -2*L/C1+(1/ω0C1)^2=-2L/C2+(1/ω0C2)^2 2*L(1/C2-1/C1)=(1/ω0C2)^2-(1/ω0C1)^2 2*L(C1-C2)/(C1*C2)=(1/ω0^2)*(1/C2^2-1/C1^2) L=(1/(2*ω0^2))*((C1^2-C2^2)/(C1^2*C2^2))*(C1*C2/(C1-C2)) =(1/(2*ω0^2))*((C1-C2)*(C1+C2)/(C1*C2))/(C1-C2)) =(1/(2*ω0^2))*(C1+C2)/(C1*C2) という関係が成り立つ。 一方 k/R=1/|Z1|=1/sqrt(R^2+(ω0L-1/ω0C1)^2) Lを先の式で置き換えると k/R=1/sqrt(R^2+(ω0*(1/(2*ω0^2))*(C1+C2)/(C1*C2)-1/(ω0C1))^2) =1/sqrt(R^2+((1/(2*ω0))*(C1+C2)/(C1*C2)-1/(ω0*C1))^2) =1/sqrt(R^2+((1/(2*ω0))*(C1+C2)/(C1*C2)-2*C2/(2*ω0*C1*C2))^2) =1/sqrt(R^2+((1/(2*ω0))*(C1-C2)/(C1*C2))^2) 両辺を二乗してRについて解くと k^2/R^2=1/(R^2+((1/(2*ω0))*(C1-C2)/(C1*C2))^2) R^2/k^2=R^2+((1/(2*ω0))*(C1-C2)/(C1*C2))^2 R^2*(1/k^2-1)=((1/(2*ω0))*(C1-C2)/(C1*C2))^2 ∴R=((1/(2*ω0))*(C1-C2)/(C1*C2))/sqrt(1/k^2-1) =((1/(2*ω0))*(C1-C2)/(C1*C2))/sqrt((1-k^2)/k^2) =sqrt(k^2/(1-k^2))*(1/(2*ω0))*(C1-C2)/(C1*C2) ということになる。 著者の解とはC1-C2がC2-C1と大小関係が逆になっているが、Rが正の値となるためにはC1>C2なら前者がC1<C2なら後者となる。本来は|C1-C2|とすべきところだろう。 |
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