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投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2008-6-8 12:21
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3068
【19】RLC混成回路
次ぎの問題はRLC直列回路とRLC並列回路の中間のような混成回路に関するもの。



RL直列回路に並列にCをつないだ回路の共振角周波数ω0と電流が最小になる角周波数ω1をそれぞれ求めよというもの。

回路のインピーダンスは

Z=1/Y=1/(1/(R+jωL)+jωC)
=1/((1+jωC*(R+jωL))/(R+jωL))
=(R+jωL)/(1+jωC*(R+jωL))
=(R+jωL)/(1-ω^2*C*L+jωC*R)
=(R+jωL)*(1-ω^2*C*L-jωC*R)/((1-ω^2*C*L+jωC*R)*(1-ω^2*C*L-jωC*R))
=(R*(1-ω^2*C*L)+ω^2*L*C*R+j(ωL-ω^3*C*L^2-ω*C*R^2))/((1-ω^2*C*L)^2+(ωC*R)^2)
=(R*(1-ω^2*C*L+ω^2*L*C)+jω(L-ω^2*C*L^2-C*R^2))/(1-2*ω^2*C*L+ω^4*C^2*L^2+ω^2*C^2*R^2)
=(R+jω(L-ω^2*C*L^2-C*R^2))/(1-2*ω^2*C*L+ω^4*C^2*L^2+ω^2*C^2*R^2)

共振周波数はインピーダンスのリアクタンス分が0となる条件

L-ω^2*C*L^2-C*R^2=0

を満たすωがω0であるので

ω0=sqrt((L-C*R^2)/(C*L^2))
=sqrt(1/(C*L)-R^2/L^2)

ということになる。

一方電流が最小になるのはインピーダンスの絶対値が最大となる条件なので

|Z|=sqrt(R^2/(1-2*ω^2*C*L+ω^4*C^2*L^2+ω^2*C^2*R^2)^2+(ω(L-ω^2*C*L^2-C*R^2))^2/(1-2*ω^2*C*L+ω^4*C^2*L^2+ω^2*C^2*R^2)^2)
=sqrt(R^2+(ω(L-ω^2*C*L^2-C*R^2))^2)/(1-2*ω^2*C*L+ω^4*C^2*L^2+ω^2*C^2*R^2)

これをωで微分すると

(%i49)
diff(sqrt(o^2*(-C*R^2-o^2*C*L^2+L)^2+R^2)/(o^2*C^2*R^2+o^4*C^2*L^2-2*o^2*C*L+1), o);
(%o49) (2*o*(-C*R^2-o^2*C*L^2+L)^2-4*o^3*C*L^2*(-C*R^2-o^2*C*L^2+L))/(2*(o^2*C^2*R^2+o^4*C^2*L^2-2*o^2*C*L+1)*sqrt(o^2*(-C*R^2-o^2*C*L^2+L)^2+R^2))-
((2*o*C^2*R^2+4*o^3*C^2*L^2-4*o*C*L)*sqrt(o^2*(-C*R^2-o^2*C*L^2+L)^2+R^2))/(o^2*C^2*R^2+o^4*C^2*L^2-2*o^2*C*L+1)^2
(%i50) factor(%);
(%o50) -(o*(C^2*R^4+2*o^2*C^2*L^2*R^2-2*C*L*R^2+o^4*C^2*L^4-L^2))/((o^2*C^2*R^2+o^4*C^2*L^2-2*o^2*C*L+1)*sqrt(o^2*C^2*R^4+(2*o^4*C^2*L^2-2*o^2*C*L+1)*R^2+o^6*C^2*L^4-2*o^4*C*L^3+o^2*L^2))

d|Z|/dω=-(ω*(C^2*R^2+2*ω^2*C^2*L^2*R^2-2*C*L*R^2+ω^4*C^2*L^4-L^2))/((ω^2*C^2*R^2+ω^4*C^2*L^2-2*ω^2*C*L+1)*sqrt(ω^2*C^2*R^4+(2*ω^4*C^2*L^2-2*ω^2*C*L+1)*R^2+ω^6*C^2*L^4-2*ω^4*C*L^3+ω^2*L^2))

となり、d|Z|/dωが0の時に|Z|は最大値をとるので分子が0となる条件

C^2*R^2+2*ω^2*C^2*L^2*R^2-2*C*L*R^2+ω^4*C^2*L^4-L^2=0

となるωを解くと

(%i47) solve([C^2*R^4+2*o^2*C^2*L^2*R^2-2*C*L*R^2+o^4*C^2*L^4-L^2], [o]);
(%o47) [o=-sqrt(sqrt(2*C*L*R^2+L^2)/C-R^2)/L,o=sqrt(sqrt(2*C*L*R^2+L^2)/C-R^2)/L,o=-sqrt(-sqrt(2*C*L*R^2+L^2)/C-R^2)/L,o=sqrt(-sqrt(2*C*L*R^2+L^2)/C-R^2)/L]

ω1は正の値なので

ω1=sqrt(sqrt(2*C*L*R^2+L^2)/C-R^2)/L
=sqrt(sqrt(2*C*L*R^2/(L^4*C^2)+L^2/(L^4*C^2))-R^2/L^2)
=sqrt(sqrt(2*R^2/(L^3*C)+1/(L^2*C^2))-R^2/L^2)

ということになる。
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題名 投稿者 日時
   交流回路の演習問題 webadm 2008-5-30 8:55
     【1】RLC直列回路の共振点 webadm 2008-5-30 9:16
     【2】LC直列回路の共振点 webadm 2008-5-30 9:54
     【3】RLC直列回路の共振点、Q及び電圧 webadm 2008-5-30 11:04
     【4】RLC直列回路の共振点(その3) webadm 2008-5-31 11:44
     【5】RLC直列共振回路のQ webadm 2008-5-31 12:04
     【6】RLC直列回路の共振点(その4) webadm 2008-5-31 12:37
     【7】RLC直列回路の共振点(その後) webadm 2008-5-31 23:25
     【8】RLC直列回路のQの公式の証明 webadm 2008-6-1 0:40
     【9】RLC直列回路の証明問題 webadm 2008-6-1 1:50
     【10】RLC直列回路のQ webadm 2008-6-1 2:12
     【11】RLC直列回路の出力電圧 webadm 2008-6-3 10:57
     【12】RLC直列回路の出力(続き) webadm 2008-6-5 10:20
     【13】RLC直列回路の出力電圧(その2) webadm 2008-6-5 10:44
     【14】RLC直列回路の出力電圧(その3) webadm 2008-6-5 11:29
     【15】RLC直列回路のR webadm 2008-6-6 11:04
     【16】LC並列回路の共振点 webadm 2008-6-7 16:18
     【17】RLC並列回路のQ webadm 2008-6-8 6:51
     【18】RLC並列回路のQ(その2) webadm 2008-6-8 7:47
   » 【19】RLC混成回路 webadm 2008-6-8 12:21
     【20】RLC混成回路(続き) webadm 2008-6-8 19:08
     【21】LC直列共振回路によるCの測定 webadm 2008-6-8 19:30
     【22】コイルの分布容量の測定 webadm 2008-6-8 20:10
     【23】コイルの分布容量の測定(続き) webadm 2008-6-8 20:38
     【24】Bouchelotの回路 webadm 2008-6-9 5:40
       Re: 【24】Bouchelotの回路 webadm 2008-6-10 7:05
     【25】RLC混成回路(その2) webadm 2008-6-10 12:25
     【26】RLC混成回路(その3) webadm 2008-6-12 7:04
     【27】LC混成回路の共振点 webadm 2008-6-12 8:16
     【28】RC混成回路 webadm 2008-6-13 10:05
     【29】RLC混成回路(その4) webadm 2008-6-13 10:39
     【30】RLC混成回路(その5) webadm 2008-6-14 6:11
     【31】Y-Δ変換 webadm 2008-6-15 20:08
     【32】Y-Δ変換(その2) webadm 2008-6-23 11:06
       Re: 【32】Y-Δ変換(その2) webadm 2008-6-25 10:11
         Re: 【32】Y-Δ変換(その2) webadm 2008-6-26 11:03
     【33】Δ-Y変換(その3) webadm 2008-6-28 15:07
       Re: 【33】Δ-Y変換(その3) webadm 2008-7-27 22:26
         Re: 【33】Δ-Y変換(その3) webadm 2008-7-28 0:01
     【34】相互誘導回路の等価回路 webadm 2008-7-29 20:38
     【35】相互誘導回路(その1) webadm 2008-7-30 5:13
     【36】相互誘導回路(その2) webadm 2008-7-30 6:27
     【37】相互誘導回路(その3) webadm 2008-7-30 9:29
     【38】相互誘導回路(その4) webadm 2008-7-30 9:53
     【39】相互誘導回路(その5) webadm 2008-7-30 10:29
     【40】相互誘導回路(その6) webadm 2008-7-31 10:23
     【41】相互誘導回路(その7) webadm 2008-7-31 17:52
     【42】相互誘導回路(その8) webadm 2008-7-31 19:33
     【43】相互誘導回路(その9) webadm 2008-7-31 21:52
     【44】相互誘導回路(その10) webadm 2008-8-6 20:05
     【45】相互誘導回路(その11) webadm 2008-8-6 20:37
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     【48】相互誘導回路(その14) webadm 2008-8-24 0:41
     【49】相互誘導回路(その15) webadm 2008-8-24 5:42
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     【53】相互誘導回路(その19) webadm 2008-8-24 22:51
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     【55】相互誘導回路(その21) webadm 2008-8-25 0:33
     【56】相互誘導回路(その21) webadm 2008-8-25 1:51
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     【59】相互誘導回路(その23) webadm 2008-8-26 8:13
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     【62】相互誘導回路(その26) webadm 2008-8-28 11:11
     【63】相互誘導回路(その27) webadm 2008-8-28 13:04
     【64】相互誘導回路(その27) webadm 2008-8-28 23:32
       Re: 【64】相互誘導回路(その27) webadm 2008-8-30 18:47
     【65】Owenのブリッジ webadm 2008-8-31 4:46
     【66】インダクタンスブリッジ webadm 2008-8-31 5:02
     【67】Wienブリッジ webadm 2008-8-31 5:12
     【68】Maxwellブリッジ webadm 2008-8-31 23:02
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     【70】共振ブリッジ webadm 2008-9-2 8:55
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     【77】相互誘導回路のあるブリッジ(その2) webadm 2008-9-5 5:24
     【78】相互誘導回路のあるブリッジ(その3) webadm 2008-9-5 5:57
     【79】相互誘導回路のあるブリッジ(その4) webadm 2008-9-5 6:42
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