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webadm | 投稿日時: 2008-6-9 5:40 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3068 |
【24】Bouchelotの回路 次ぎはベクトル記号法の演習で度々登場したBouchelotの回路に関する問題。
LとCの関係が ωL=1/(2ωC) であればRの値によらず回路に流れる電流が一定となることを証明せよというもの。 回路のインピーダンスは Z=1/(1/R+jωC)+jωL =R/(1+jωCR)+jωL =(R+jωL*(1+jωCR))/(1+jωCR) =(R-ω^2*L*C*R+jωL)/(1+jωCR) =((R-ω^2*L*C*R+jωL)*(1-jωCR))/((1+jωCR)*(1-jωCR)) =(R-ω^2*L*C*R+jωL-jωCR^2+jω^3*L*C^2*R^2+ω^2L*C*R)/(1+(ωCR)^2) =(R+j(ωL-ωCR^2+ω^3*L*C^2*R^2)/(1+(ωCR)^2) =(R+jω*(L-CR^2+ω^2*L*C^2*R^2)/(1+(ωCR)^2) =R/(1+(ωCR)^2)+jω*(L-CR^2+ω^2*L*C^2*R^2)/(1+(ωCR)^2) |Z|=sqrt(R^2/(1+(ωCR)^2)^2+(ω*(L-CR^2+ω^2*L*C^2*R^2))^2/(1+(ωCR)^2)^2) =sqrt(R^2+(ω*(L-CR^2+ω^2*L*C^2*R^2))^2)/(1+(ωCR)^2) =sqrt(R^2+ω^2*(L-CR^2*(1-ω^2*L*C))^2)/(1+(ωCR)^2) =sqrt(R^2+ω^2*(L^2-2*L*C*R^2*(1-ω^2*L*C)+C^2*R^4*(1-ω^2*L*C)^2)/(1+(ωCR)^2) =sqrt(R^2+ω^2*L^2-2*ω^2*L*C*R^2*(1-ω^2*L*C)+ω^2*C^2*R^4*(1-ω^2*L*C)^2)/(1+(ωCR)^2) =sqrt(R^2+ω^2*L^2-2*ω^2*L*C*R^2+2*ω^4*L^2*C^2*R^2+ω^2*C^2*R^4*(1-2*ω^2*L*C+ω^4*L^2*C^2))/(1+(ωCR)^2) =sqrt(R^2+ω^2*L^2-2*ω^2*L*C*R^2+2*ω^4*L^2*C^2*R^2+ω^2*C^2*R^4-2*ω^4*L*C^3*R^4+ω^6*L^2*C^4*R^4)/(1+(ωCR)^2) =sqrt(ω^2*L^2+R^2*(1-2*ω^2*L*C+2*ω^4*L^2*C^2+ω^2*C^2*R^2-2*ω^4*L*C^3*R^2+ω^6*L^2*C^4*R^2))/(1+(ωCR)^2) =sqrt(ω^2*L^2+R^2*(1-2*ω^2*L*C+2*ω^4*L^2*C^2+(ωCR)^2*(1-2*ω^2*L*C+ω^4*L^2*C^2))/(1+(ωCR)^2) =sqrt(ω^2*L^2+R^2*((1-ω^2*L*C)^2+(ωCR)^2*(1-ω^2*L*C)^2))/(1+(ωCR)^2) =sqrt(ω^2*L^2+R^2*(1-ω^2*L*C)^2*(1+(ωCR)^2))/(1+(ωCR)^2) =sqrt((ω^2*L^2+R^2*(1-ω^2*L*C)^2)/(1+(ωCR)^2)) で表される。この式には分子と分母にそれぞれRの項があるので一見するとRが変化するとインピーダンスが変化して電流が変わるように見える。ここで ωL=1/2ωC なる条件を適用すると ω^2=1/(2LC) すなわち ω=1/√(2LC) をインピーダンスの式に代入すると |Z|=sqrt((ω^2*L^2+R^2*(1-ω^2*L*C)^2)/(1+(ωCR)^2)) =sqrt((1/sqrt(2*L*C))^2*L^2+R^2*(1-(1/sqrt(2*L*C))^2*L*C)^2)/(1+((1/sqrt(2*L*C))*C*R)^2) =sqrt((1/(2*L*C))*L^2+R^2*(1-(1/(2*L*C))*L*C)^2)/(1+((1/(2*L*C)*C^2*R^2) =sqrt(L/(2*C)+R^2*(1-(1/2))^2)/(1+(C*R^2/(2*L))) =sqrt(L/(2*C)+R^2*(1/2)^2)/(1+(C*R^2/(2*L))) =sqrt(L/(2*C)+R^2/4)/(1+(C*R^2/(2*L))) =sqrt(((2*L+C*R^2)/(4*C))/((2*L+C*R^2)/(2*L))) =sqrt((2*L)/(4*C)) =sqrt(L/(2*C)) |I|=|E|/|Z| =|E|/sqrt(L/(2*C)) となってRの値によらないLとCで決まる一定の値となることから流れる電流が一定になることが証明された。 著者の解とは最終的な電流の式 |I|=|E|/|Z|=|E|/ωL=2ωC*|E| と著しく違っているが、ω=1/√(2LC)を代入すれば同じ式であることが確認できる |I|=|E|/ωL=|E|/((1/√(2LC))*L) =|E|/sqrt(L/(2*C)) 疑問が残るのはωL=1/(2ωC)という条件でこうなるということをどうやって導いたのだろうか。ベクトル記号法の演習ではRに流れる電流を一定にする条件を導く問題はあったがLに流れる電流を一定にする問題はなかったので研究してみると面白いかもしれない。 |
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