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webadm | 投稿日時: 2008-6-10 7:05 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3082 |
Re: 【24】Bouchelotの回路 やはり気になって毎日電車通勤中や食事の間に暇さえあればメモ帳を開いてペンを片手に数式をいじくってああでもないこうでもないと
ωL=1/(2ωC) を導き出す試みをしていたがどうしても分母と分子のどちらもRに依存する式しか得られず壁にぶつかる。 あとは微分してとかあるけど面倒だし、ふとベクトル軌跡を描いてみたらどうかと思ってやってみたらピンポンだった。 問題の回路はRC並列回路と直列にLがつながっている。RC並列回路のアドミッタンス軌跡は実軸に並行で実軸からjωCだけ離れた直線を描くことから、その逆数であるインピーダンスの軌跡は中心が(0,-j/2ωC)で原点を通る円を描くことは既に学んだ通り。それにjωLの固定ベクトルを加算すると円は虚軸の+方向に並行移動することになる。ちょうど円の中心が原点と重なる時(ωL=1/2ωC)ベクトルの大きさはRに依らずLとCで決まる円の半径と同じになる。 なんだ簡単じゃないか。 P.S ちなみに微分を使ってみると (%i19) abs(1/(1/R+%i*o*C)+%i*o*L); (%o19) sqrt(1/((1/R^2+o^2*C^2)^2*R^2)+(o*L-(o*C)/(1/R^2+o^2*C^2))^2) (%i20) diff(%,R); (%o20) (-(4*o*C*(o*L-(o*C)/(1/R^2+o^2*C^2)))/((1/R^2+o^2*C^2)^2*R^3)-2/((1/R^2+o^2*C^2)^2*R^3)+4/((1/R^2+o^2*C^2)^3*R^5))/(2*sqrt(1/((1/R^2+o^2*C^2)^2*R^2)+(o*L-(o*C)/(1/R^2+o^2*C^2))^2)) (%i21) factor(%); (%o21) -((2*o^2*C*L-1)*R)/((o^2*C^2*R^2+1)^(3/2)*sqrt((o^4*C^2*L^2-2*o^2*C*L+1)*R^2+o^2*L^2)) d|Z|/dR=-((2ω^2*C*L-1)*R)/((ω^2*C^2*R^2+1)(3/2)*sqrt((ω^4*C^2*L^2-2*ω^2*C*L+1)*R^2+ω^2*L^2)) |Z|がRに依らず一定となるためには微分係数がRに依らず常に0となれば良い。分母の値がRによって変化しても分子が常に0であれば条件を満足するので 2ω^2*C*L-1=0 が成り立てば良い。両辺を2ωCで割って整理すると ω*L=1/2ωC となる。 というわけで微分を使っても同じ答えは得られた。 |
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