次ぎもRLC混成回路の共振点に関する問題。



基本的にはLC直列回路でLとCにそれぞれ並列にRなる抵抗がつながっているというもの。RL並列回路とRC並列回路が直列につながっているともとらえることができる。

題意はこの回路の共振条件を導けというもの。

回路のインピーダンスは

Z=1/(1/R-j/ωL)+1/(1/R+jωC)
=((1/R+jωC)+(1/R-j/ωL))/((1/R-j/ωL)*(1/R+jωC))
=(2/R+j(ωC-1/ωL))/(1/R^2+jωC/R-j/ωLR+C/L)
=(2/R+j(ωC-1/ωL))/(1/R^2+C/L+j(ωC/R-1/ωLR))
=(2/R+j(ωC-1/ωL))*(1/R^2+C/L-j(ωC/R-1/ωLR))/((1/R^2+C/L)^2+(ωC/R-1/ωLR)^2)
=(2/R^3+2C/LR-j(2ωC/R^2-2/ωLR^2)+j(ωC/R^2-1/ωLR^2)+j(ωC^2/L-C/ωL^2)+(ω^2C^2/R-C/LR-C/LR+1/ω^2L^2R))/((1/R^2+C/L)^2+(ωC/R-1/ωLR)^2)
=(2/R^3+C/LR+ω^2C^2/R+1/ω^2L^2R+j(ωC/R^2-1/ωLR^2-2ωC/R^2+2/ωLR^2+ωC^2/L-C/ωL^2))/((1/R^2+C/L)^2+(ωC/R-1/ωLR)^2)
=(2/R^3+C/LR+ω^2C^2/R+1/ω^2L^2R)/((1/R^2+C/L)^2+(ωC/R-1/ωLR)^2)+j(ωC/R^2-1/ωLR^2-2ωC/R^2+2/ωLR^2+ωC^2/L-C/ωL^2)/((1/R^2+C/L)^2+(ωC/R-1/ωLR)^2)

と表すことができる。

共振点は実効リアクタンスが０となる点であるとすれば

ωC/R^2-1/ωLR^2-2ωC/R^2+2/ωLR^2+ωC^2/L-C/ωL^2=0

が成り立つ条件ということになる。

これをωについて解くと

(%i36) o*C/R^2-1/(o*L*R^2)-2*o*C/R^2+2/(o*L*R^2)+o*C^2/L-C/(o*L^2);
(%o36) 1/(o*L*R^2)-(o*C)/R^2+(o*C^2)/L-C/(o*L^2)
(%i37) solve(%,o);
(%o37) [o=-1/sqrt(C*L),o=1/sqrt(C*L)]

ω>0なので

ω0=1/sqrt(C*L)

またRについて解くと

(%i39) solve([1/(o*L*R^2)-(o*C)/R^2+(o*C^2)/L-C/(o*L^2)], [R]);
(%o39) [R=-sqrt(L/C),R=sqrt(L/C)]

R>0なので

R=sqrt(L/C)

と著者と同じ結果が得られた。これらは別解法として共振時にはインピーダンスが最小となることからインピーダンスの絶対値の式を微分して微分係数が０となる条件から導くこともできる。

(%i40) 1/(1/R-%i/(o*L))+1/(1/R+%i*o*C);(%o40) 1/(1/R-%i/(o*L))+1/(1/R+%i*o*C)(%i41) abs(%);(%o41) sqrt((1/(R/(o^2*L^2)+1/R)+1/(o^2*C^2*R+1/R))^2+(1/((o*L)/R^2+1/(o*L))-(o*C)/(1/R^2+o^2*C^2))^2)(%i42) factor(%);(%o42) (sqrt((o^4*C^2*L^2-2*o^2*C*L+1)*R^2+4*o^2*L^2)*abs(R))/(sqrt(R^2+o^2*L^2)*sqrt(o^2*C^2*R^2+1))
(%i43) (sqrt((o^4*C^2*L^2-2*o^2*C*L+1)*R^2+4*o^2*L^2)*(R))/(sqrt(R^2+o^2*L^2)*sqrt(o^2*C^2*R^2
+1));(%o43) (R*sqrt((o^4*C^2*L^2-2*o^2*C*L+1)*R^2+4*o^2*L^2))/(sqrt(R^2+o^2*L^2)*sqrt(o^2*C^2*R^2+1))
(%i48) diff(%,o);
(%o48) -(o*L^2*R*sqrt((o^4*C^2*L^2-2*o^2*C*L+1)*R^2+4*o^2*L^2))/((R^2+o^2*L^2)^(3/2)*sqrt(o^2*C^2*R^2+1))-(o*C^2*R^3*sqrt((o^4*C^2*L^2-2*o^2*C*L+1)*R^2+4*o^2*L^2))/(sqrt(R^2+o^2*L^2)*(o^2*C^2*R^2+1)^(3/2))+
(R*((4*o^3*C^2*L^2-4*o*C*L)*R^2+8*o*L^2))/(2*sqrt(R^2+o^2*L^2)*sqrt(o^2*C^2*R^2+1)*sqrt((o^4*C^2*L^2-2*o^2*C*L+1)*R^2+4*o^2*L^2))
(%i49) factor(%);
(%o49) (o*(o^2*C*L-1)*(o^2*C*L+1)*R^3*(C*R^2-L)*(C*R^2+3*L))/((R^2+o^2*L^2)^(3/2)*(o^2*C^2*R^2+1)^(3/2)*sqrt((o^4*C^2*L^2-2*o^2*C*L+1)*R^2+4*o^2*L^2))

d|Z|/dω=(ω*(ω^2CL-1)*(ω^2CL+1)*R^3*(CR^2-L)*(CR^2+3L))/((R^2+ω^2L^2)^(3/2)*(ω^2C^2R^2+1)^(3/2)*sqrt((ω^4C^2L^2-2ω^2CL+1)*R^2+4ω^4L^2))

従って微分係数が０となるのは

ω=0
ω^2CL-1=0
ω^2CL+1=0
R^3=0
CR^2-L=0
CR^2+3L=0

これらからω>0,R>0であることから

ω^2CL-1=0

をωについて解くと

ω0=1/sqrt(C*L)

また

CR^2-L=0

をRについて解くと

R=sqrt(L/C)

と同時に導き出すことができる。