次ぎは再びRLC混成回路の問題。



基本はLC並列回路だがLとCにそれぞれ直列にRLとRCの抵抗が入っている場合の共振周波数とRCが入っていないものとした場合の共振周波数の比率を求めよというもの。

これは現実のLC並列回路でキャパシタンスに含まれる損失抵抗RCを考慮した場合と無視した場合とで共振周波数の比率がどれほどかを解析する事を意味する。インダクタには直流抵抗RLが含まれているものとする。

RCを考慮した場合の共振周波数はインピーダンスの式

Z=1/(1/(RL+jωL)+1/(RC-j/ωC))
=1/((RC-j/ωC+RL+jωL)/((RL+jωL)*(RC-j/ωC)))
=((RL+jωL)*(RC-j/ωC))/(RC+RL+j(ωL-1/ωC))
=((RL*RC-jRL/ωC+jωL*RC+L/C)*(RC+RL-j(ωL-1/ωC)))/((RC+RL-j(ωL-1/ωC))*(RC+RL-j(ωL-1/ωC)))
=((RL*RC+L/C+j(ωL*RC-RL/ωC))*(RC+RL-j(ωL-1/ωC)))/((RC+RL)^2+(ωL-1/ωC)^2)
=((RL*RC+L/C)*(RC+RL)-j(RL*RC+L/C)*(ωL-1/ωC)+j(ωL*RC-RL/ωC)*(RC+RL)+(ωL*RC-RL/ωC)*(ωL-1/ωC))/((RC+RL)^2+(ωL-1/ωC)^2)
=((RL*RC+L/C)*(RC+RL)+(ωL*RC-RL/ωC)*(ωL-1/ωC)+j((ωL*RC-RL/ωC)*(RC+RL)-(RL*RC+L/C)*(ωL-1/ωC))/((RC+RL)^2+(ωL-1/ωC)^2)
=((RL*RC+L/C)*(RC+RL)+(ωL*RC-RL/ωC)*(ωL-1/ωC))/((RC+RL)^2+(ωL-1/ωC)^2)+j((ωL*RC-RL/ωC)*(RC+RL)-(RL*RC+L/C)*(ωL-1/ωC))/((RC+RL)^2+(ωL-1/ωC)^2))

共振点では実効リアクタンスが０となるため

(ωL*RC-RL/ωC)*(RC+RL)-(RL*RC+L/C)*(ωL-1/ωC)=0

なる条件を満たすωが共振角周波数となるのでωについて解くと

(%i1) (o*L*RC-RL/(o*C))*(RC+RL)-(RL*RC+L/C)*(o*L-1/(o*C));
(%o1) (RL+RC)*(o*L*RC-RL/(o*C))-(o*L-1/(o*C))*(RC*RL+L/C)
(%i2) solve(%,o);
(%o2) [o=-sqrt((C*RL^2)/(C^2*L*RC^2-C*L^2)-L/(C^2*L*RC^2-C*L^2)),o=sqrt((C*RL^2)/(C^2*L*RC^2-C*L^2)-L/(C^2*L*RC^2-C*L^2))]
(%i3) factor(%);
(%o3) [o=-sqrt((C*RL^2-L)/(C*L*(C*RC^2-L))),o=sqrt((C*RL^2-L)/(C*L*(C*RC^2-L)))]

ω>0であるので

ω0=sqrt((C*RL^2-L)/(C*L*(C*RC^2-L)))

ということになる。

ここでRCが無い場合の共振周波数は上の式でRC=0を代入することで

ω0'=sqrt((C*RL^2-L)/(C*L*(-L)))

ということになる。

従ってRCがある場合と無い場合の共振周波数の比は

ω0'/ω0=sqrt((C*RL^2-L)/(C*L*(-L)))/sqrt((C*RL^2-L)/(C*L*(C*RC^2-L)))
=sqrt((C*RL^2-L)*(C*L*(C*RC^2-L))/sqrt((C*L*(-L)*(C*RL^2-L))
=sqrt((C*L*(C*RC^2-L)/(C*L*(-L))
=sqrt((C*RC^2-L)/(-L))
=sqrt((L-C*RC^2)/L)
=sqrt(1-C*RC^2/L)

ということになる。

著者は式を優しくするために並列回路なのでアドミッタンスの式から導いて同じ結果を得ている。