次ぎは共振回路がやっと終わってY-Δ変換の応用問題。



キャパシタだけのブリッジ回路。ブリッジ回路は連立方程式を解かないと各素子に流れる電流を導くことができないが、題意は合成キャパシタンスだけ求めれば良いので連立方程式をたてなくてもY-Δ変換で単純な直列と並列回路にしてして解くことができる。

それだと面白くないので、連立方程式を立て解いてみよう。

C1,C2に流れる電流をI1,I2とし、全体を流れる電流をIとした場合に、キルヒホッフの法則で以下の関係が成り立つ。

-j*I1/ωC1-j*I2/ωC2=E

-j*(I-I1)/ωC3-j*(I-I2)/ωC4=E

-j*I1/ωC1-j*(I1-I2)/ωC5-j*(I-I2)/ωC4=E

回路全体の合成キャパシタをCとすると以下の関係が成り立つ

-j*I/ωC=E

これらの４つの式をI,I1,I2,Cに関する４元連立方程式として解くと

(%i36) e1: -%i*I1/(o*C1)-%i*I2/(o*C2)=E;
(%o36) -(%i*I2)/(o*C2)-(%i*I1)/(o*C1)=E
(%i37) e2: -%i*(I-I1)/(o*C3)-%i*(I-I2)/(o*C4)=E;
(%o37) -(%i*(I-I2))/(o*C4)-(%i*(I-I1))/(o*C3)=E
(%i38) e3:-i%*I1/(o*C1)-%i*(I1-I2)/(o*C5)-%i*(I-I2)/(o*C4)=E;
(%o38) -(%i*(I1-I2))/(o*C5)-(%i*(I-I2))/(o*C4)-(i%*I1)/(o*C1)=E
(%i39) e3:-%i*I1/(o*C1)-%i*(I1-I2)/(o*C5)-%i*(I-I2)/(o*C4)=E;
(%o39) -(%i*(I1-I2))/(o*C5)-(%i*(I-I2))/(o*C4)-(%i*I1)/(o*C1)=E
(%i40) e4:-%i*I/(o*C)=E;
(%o40) -(%i*I)/(o*C)=E
(%i41) solve([e1,e2,e3,e4],[I,I1,I2,C]);
(%o41) [[I=-((C2*(o*(C3*C5+C3*C4)+o*C1*(C5+C4+C3))+o*C1*C4*(C5+C3)+o*C3*C4*C5)*E)/(%i*(C4*C5+C3*C5)+%i*C2*(C5+C4+C3)+%i*C1*(C5+C4+C3)),I1=-
((o*C1*C2*(C5+C4+C3)+o*C1*C4*C5)*E)/(%i*(C4*C5+C3*C5)+%i*C2*(C5+C4+C3)+%i*C1*(C5+C4+C3)),I2=-(C2*(o*C1*(C5+C4+C3)+o*C3*C5)*E)/(%i*(C4*C5+C3*C5)+%i*C2*(C5+C4+C3)+%i*C1*(C5+C4+C3))
,C=(C2*(C1*(C5+C4+C3)+C3*C5+C3*C4)+C1*C4*(C5+C3)+C3*C4*C5)/(C2*(C5+C4+C3)+C1*(C5+C4+C3)+C4*C5+C3*C5)]]

従って

C=(C2*(C1*(C5+C4+C3)+C3*C5+C3*C4)+C1*C4*(C5+C3)+C3*C4*C5)/(C2*(C5+C4+C3)+C1*(C5+C4+C3)+C4*C5+C3*C5)

これに

C1=2uF,C2=6uF,C3=4uF,C4=12uF,C5=6uFを代入すると

(%i42)
subst(2, C1, (C2*(C1*(C5+C4+C3)+C3*C5+C3*C4)+C1*C4*(C5+C3)+C3*C4*C5)/(C2*(C5+C4+C3)
+C1*(C5+C4+C3)+C4*C5+C3*C5));
(%o42) (C2*(2*(C5+C4+C3)+C3*C5+C3*C4)+2*C4*(C5+C3)+C3*C4*C5)/(C2*(C5+C4+C3)+2*(C5+C4+C3)+C4*C5+C3*C5)
(%i43) subst(6, C2, (C2*(2*(C5+C4+C3)+C3*C5+C3*C4)+2*C4*(C5+C3)+C3*C4*C5)/(C2*(C5+C4+C3)
+2*(C5+C4+C3)+C4*C5+C3*C5));
(%o43) (6*(2*(C5+C4+C3)+C3*C5+C3*C4)+2*C4*(C5+C3)+C3*C4*C5)/(8*(C5+C4+C3)+C4*C5+C3*C5)
(%i44)
subst(4, C3, (6*(2*(C5+C4+C3)+C3*C5+C3*C4)+2*C4*(C5+C3)+C3*C4*C5)/(8*(C5+C4+C3)+C4*C5
+C3*C5));
(%o44) (6*(2*(C5+C4+4)+4*C5+4*C4)+2*C4*(C5+4)+4*C4*C5)/(8*(C5+C4+4)+C4*C5+4*C5)
(%i45)
subst(12, C4, (6*(2*(C5+C4+4)+4*C5+4*C4)+2*C4*(C5+4)+4*C4*C5)/(8*(C5+C4+4)+C4*C5+4*C5));
(%o45) (6*(2*(C5+16)+4*C5+48)+24*(C5+4)+48*C5)/(8*(C5+16)+16*C5)
(%i46) subst(6, C5, (6*(2*(C5+16)+4*C5+48)+24*(C5+4)+48*C5)/(8*(C5+16)+16*C5));
(%o46) 9/2
(%i47) float(%), numer;
(%o47) 4.5

C=4.5 [uF]

ということになる。

ちなみにY-Δ変換を使って解く場合には、

・C1,C3,C5のΔ接続をY接続に変換する方法
・C2,C4,C5のΔ接続をY接続に変換する方法
・C1,C2,C5のY接続をΔ接続に変換する方法
・C3,C4,C5のY接続をΔ接続に変換する方法

の４つがある。著者は最初の方法で解いている。

別の方法で解いた場合にどうなるかやってみよう。



C1,C2,C5のY接続をΔ接続に変換して解いてみよう。

C1,C2,C5のY接続→C12,C15,C25のΔ接続に変換

その場合の合成キャパシタは

C=C12+1/(1/(C15+C3)+1/(C25+C4))

と単純な直列と並列接続で表すことができる。

ここで

1/jωC12=((1/jωC1)*(1/jωC5)+(1/jωC2)*(1/jωC5)+(1/jωC1)*(1/jωC2))/(1/jωC5)

(%i91)
1/(%i*o*C12)=((1/(%i*o*C1))*(1/(%i*o*C5))+(1/(%i*o*C2))*(1/(%i*o*C5))+(1/(%i*o*C1))*(1/(%i*o*C2)))/(1/(%i*o*C5));
(%o91) -%i/(o*C12)=%i*o*(-1/(o^2*C2*C5)-1/(o^2*C1*C5)-1/(o^2*C1*C2))*C5
(%i92) solve([-%i/(o*C12)=%i*o*(-1/(o^2*C2*C5)-1/(o^2*C1*C5)-1/(o^2*C1*C2))*C5], [C12]);
(%o92) [C12=(C1*C2)/(C5+C2+C1)]

∴C12=(C1*C2)/(C5+C2+C1)

同様にC15,C25について解くと

C15=(C1*C5)/(C1+C2+C5)
C25=(C2*C5)/(C1+C2+C5)

なのでこれらをCの式に代入すると

(%i99) C=C12+1/(1/(C15+C3)+1/(C25+C4));
(%o99) C=1/(1/(C4+C25)+1/(C3+C15))+C12
(%i100) subst((C1*C2)/(C1+C2+C5), C12, C=1/(1/(C4+C25)+1/(C3+C15))+C12);
(%o100) C=(C1*C2)/(C5+C2+C1)+1/(1/(C4+C25)+1/(C3+C15))
(%i101) subst((C1*C5)/(C1+C2+C5), C15, C=(C1*C2)/(C5+C2+C1)+1/(1/(C4+C25)+1/(C3+C15)));
(%o101) C=1/(1/((C1*C5)/(C5+C2+C1)+C3)+1/(C4+C25))+(C1*C2)/(C5+C2+C1)
(%i102) subst((C2*C5)/(C1+C2+C5), C25, C=1/(1/((C1*C5)/(C5+C2+C1)+C3)+1/(C4+C25))+(C1*C2)/(C5
+C2+C1));
(%o102) C=1/(1/((C2*C5)/(C5+C2+C1)+C4)+1/((C1*C5)/(C5+C2+C1)+C3))+(C1*C2)/(C5+C2+C1)
(%i103) factor(%);
(%o103) C=(C3*C4*C5+C1*C4*C5+C2*C3*C5+C1*C2*C5+C2*C3*C4+C1*C3*C4+C1*C2*C4+C1*C2*C3)/(C4*C5+C3*C5+C2*C5+C1*C5+C2*C4+C1*C4+C2*C3+C1*C3)
(%i104) radcan(%);
(%o104) C=(((C3+C1)*C4+C2*C3+C1*C2)*C5+((C2+C1)*C3+C1*C2)*C4+C1*C2*C3)/((C4+C3+C2+C1)*C5+(C2+C1)*C4+(C2+C1)*C3)

C=(((C3+C1)*C4+C2*C3+C1*C2)*C5+((C2+C1)*C3+C1*C2)*C4+C1*C2*C3)/((C4+C3+C2+C1)*C5+(C2+C1)*C4+(C2+C1)*C3)

ということになる。これにC1=2uF,C2=6uF,C3=4uF,C4=12uF,C5=6uFをそれぞれ代入すると

(%i107) subst(2, C1, C=(((C3+C1)*C4+C2*C3+C1*C2)*C5+((C2+C1)*C3+C1*C2)*C4+C1*C2*C3)/((C4+C3
+C2+C1)*C5+(C2+C1)*C4+(C2+C1)*C3));
(%o107) C=(((C3+2)*C4+C2*C3+2*C2)*C5+((C2+2)*C3+2*C2)*C4+2*C2*C3)/((C4+C3+C2+2)*C5+(C2+2)*C4+(C2+2)*C3)
(%i108) subst(6, C2, C=(((C3+2)*C4+C2*C3+2*C2)*C5+((C2+2)*C3+2*C2)*C4+2*C2*C3)/((C4+C3+C2
+2)*C5+(C2+2)*C4+(C2+2)*C3));
(%o108) C=(((C3+2)*C4+6*C3+12)*C5+(8*C3+12)*C4+12*C3)/((C4+C3+8)*C5+8*C4+8*C3)
(%i109) subst(4, C3, C=(((C3+2)*C4+6*C3+12)*C5+(8*C3+12)*C4+12*C3)/((C4+C3+8)*C5+8*C4+8*C3));
(%o109) C=((6*C4+36)*C5+44*C4+48)/((C4+12)*C5+8*C4+32)
(%i110) subst(12, C4, C=((6*C4+36)*C5+44*C4+48)/((C4+12)*C5+8*C4+32));
(%o110) C=(108*C5+576)/(24*C5+128)
(%i111) subst(6, C5, C=(108*C5+576)/(24*C5+128));
(%o111) C=9/2
(%i112) float(%), numer;
(%o112) C=4.5

C=4.5 [uF]

と同じ結果が得られることが確かめられた。

ちなみに連立方程式を解いて得られたCの式を因数分解するとY-Δ変換して導いたCの式と同じであることが確認できる。

(%i115) C=(C2*(C1*(C5+C4+C3)+C3*C5+C3*C4)+C1*C4*(C5+C3)+C3*C4*C5)/(C2*(C5+C4+C3)+C1*(C5+C4
+C3)+C4*C5+C3*C5);
(%o115) C=(C2*(C1*(C5+C4+C3)+C3*C5+C3*C4)+C1*C4*(C5+C3)+C3*C4*C5)/(C2*(C5+C4+C3)+C1*(C5+C4+C3)+C4*C5+C3*C5)
(%i116) radcan(%);
(%o116) C=(((C3+C1)*C4+C2*C3+C1*C2)*C5+((C2+C1)*C3+C1*C2)*C4+C1*C2*C3)/((C4+C3+C2+C1)*C5+(C2+C1)*C4+(C2+C1)*C3)

この問題の落とし穴はY-Δ変換の公式がインピーダンスで表されている点である。最初間違えてインピーダンスではなくキャパシタで表したらトンデモない高次の式が出てきて我が目を疑った。思いこみが激しいとそういうミスにまったく気づかないのが怖い。

Y-Δ変換を使ってもインピーダンスに変換して最後にキャパシタの式を導き出さないといけないので結構面倒で計算ミスを誘いやすい。予めキャパシタ回路の場合のY-Δ変換、Δ-Y変換の公式を用意しておけば計算は簡単になる。それはインピーダンスで表すよりも簡単で憶えやすいのは上の結果でも明らか。