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投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2008-6-26 11:03
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3068
Re: 【32】Y-Δ変換(その2)
今度はY-Δ変換を使って解いてみよう。

回路にはいくつものY接続、Δ接続が存在するので、どれから変換しても結果は同じであるが、あまり周囲からはじめると面倒なので中心から変換していったほうが易しそうである。



波線で描かれたY接続を赤線で描いたΔ接続に変換する。ここで

R1=(R*R+R*R+R*R)/R
=3*R

そうするとその回りのRとR1が並列接続になるためこれも一つの抵抗に合成できる。



ここで

R2=1/(1/R+1/R1)=R1*R/(R+R1)

R3=1/(1/R1+1/R+1/R1)=R*R1/(2*R+R1)

すると再び中央に新しくY接続が出現するのでそれをΔ接続に変換する。



ここで

R4=(R2*R2+R3*R2+R3*R2)/R3
=R2*R2/R3+2*R2

R5=(R2*R3+R2*R3+R2*R2)/R2
=(R3+R3+R2)
=2*R3+R2

すると再び周辺の抵抗と並列接続が出来るのでそれを合成すると



ここで

R6=1/(1/R+1/R4)=R*R4/(R+R4)

R7=1/(1/R2+1/R5)=R2*R5/(R2+R5)

最後にΔ接続ひとつになる。これを更にY接続にすると



ここで

R8=R6*R7/(R6+R7+R7)
=R6*R7/(R6+2*R7)

R9=R7*R7/(R6+R7+R7)
=R7*R7/(R6+2*R7)

従ってE2はR8とR9でE1を分圧したものとなり

E2=E1*R9/(R8+R9)

従って

E2/E1=R9/(R8+R9)

この式にR8,R9を代入すると

(%i1) R9/(R8+R9);
(%o1) R9/(R9+R8)
(%i2) subst(R6*R7/(R6+2*R7), R8, R9/(R9+R8));
(%o2) R9/(R9+(R6*R7)/(2*R7+R6))
(%i3) subst(R7*R7/(R6+2*R7), R9, R9/(R9+(R6*R7)/(2*R7+R6)));
(%o3) R7^2/((2*R7+R6)*(R7^2/(2*R7+R6)+(R6*R7)/(2*R7+R6)))

更にこれにR6,R7の式を代入すると

(%i3) subst(R7*R7/(R6+2*R7), R9, R9/(R9+(R6*R7)/(2*R7+R6)));
(%o3) R7^2/((2*R7+R6)*(R7^2/(2*R7+R6)+(R6*R7)/(2*R7+R6)))
(%i4) subst(R*R4/(R+R4), R6, R7^2/((2*R7+R6)*(R7^2/(2*R7+R6)+(R6*R7)/(2*R7+R6))));
(%o4) R7^2/((2*R7+(R*R4)/(R4+R))*(R7^2/(2*R7+(R*R4)/(R4+R))+(R*R4*R7)/((R4+R)*(2*R7+(R*R4)/(R4+R)))))
(%i5)
subst(R2*R5/(R2+R5), R7, R7^2/((2*R7+(R*R4)/(R4+R))*(R7^2/(2*R7+(R*R4)/(R4+R))+(R*R4*R7)/((R4
+R)*(2*R7+(R*R4)/(R4+R))))));
(%o5) (R2^2*R5^2)/((R5+R2)^2*((2*R2*R5)/(R5+R2)+(R*R4)/(R4+R))*((R*R2*R4*R5)/((R4+R)*(R5+R2)*((2*R2*R5)/(R5+R2)+(R*R4)/(R4+R)))+(R2^2*R5^2)/((R5+R2)^2*((2*R2*R5)/(R5+R2)+(R*R4)/(R4+R)))))

更にR4,R5を代入すると

(%i9)
subst(R2*R2/R3+2*R2, R4, (R2^2*R5^2)/((R5+R2)^2*((2*R2*R5)/(R5+R2)+(R*R4)/(R4+R))*((R*R2*R4*R5)/((R4
+R)*(R5+R2)*((2*R2*R5)/(R5+R2)+(R*R4)/(R4+R)))+(R2^2*R5^2)/((R5+R2)^2*((2*R2*R5)/(R5
+R2)+(R*R4)/(R4+R))))));
(%o9) (R2^2*R5^2)/((R5+R2)^2*((2*R2*R5)/(R5+R2)+(R*(R2^2/R3+2*R2))/(R2^2/R3+2*R2+R))*((R*R2*(R2^2/R3+2*R2)*R5)/((R2^2/R3+2*R2+R)*(R5+R2)*((2*R2*R5)/(R5+R2)+(R*(R2^2/R3+2*R2))/(R2^2/R3+2*R2+R)))+(R2^2*R5^2)/((R5+R2)^2*((2*R2*R5)/(R5+R2)+(R*(R2^2/R3+2*R2))/(R2^2/R3+2*R2+R)))))
(%i10)
subst(2*R3+R2, R5, (R2^2*R5^2)/((R5+R2)^2*((2*R2*R5)/(R5+R2)+(R*(R2^2/R3+2*R2))/(R2^2/R3
+2*R2+R))*((R*R2*(R2^2/R3+2*R2)*R5)/((R2^2/R3+2*R2+R)*(R5+R2)*((2*R2*R5)/(R5+R2)+(R*(R2^2/R3
+2*R2))/(R2^2/R3+2*R2+R)))+(R2^2*R5^2)/((R5+R2)^2*((2*R2*R5)/(R5+R2)+(R*(R2^2/R3+2*R2))/(R2^2/R3
+2*R2+R))))));
(%o10) (R2^2*(2*R3+R2)^2)/((2*R3+2*R2)^2*((2*R2*(2*R3+R2))/(2*R3+2*R2)+(R*(R2^2/R3+2*R2))/(R2^2/R3+2*R2+R))*
((R*R2*(R2^2/R3+2*R2)*(2*R3+R2))/((R2^2/R3+2*R2+R)*(2*R3+2*R2)*((2*R2*(2*R3+R2))/(2*R3+2*R2)+(R*(R2^2/R3+2*R2))/(R2^2/R3+2*R2+R)))+(R2^2*(2*R3+R2)^2)/((2*R3+2*R2)^2*((2*R2*(2*R3+R2))/(2*R3+2*R2)+(R*(R2^2/R3+2*R2))/(R2^2/R3+2*R2+R))))

R2,R3を代入すると

(%i11)
subst(R1*R/(R+R1), R2, (R2^2*(2*R3+R2)^2)/((2*R3+2*R2)^2*((2*R2*(2*R3+R2))/(2*R3+2*R2)
+(R*(R2^2/R3+2*R2))/(R2^2/R3+2*R2+R))*((R*R2*(R2^2/R3+2*R2)*(2*R3+R2))/((R2^2/R3+2*R2
+R)*(2*R3+2*R2)*((2*R2*(2*R3+R2))/(2*R3+2*R2)+(R*(R2^2/R3+2*R2))/(R2^2/R3+2*R2+R)))
+(R2^2*(2*R3+R2)^2)/((2*R3+2*R2)^2*((2*R2*(2*R3+R2))/(2*R3+2*R2)+(R*(R2^2/R3+2*R2))/(R2^2/R3
+2*R2+R))))));
(%o11) (R^2*R1^2*(2*R3+(R*R1)/(R1+R))^2)/((R1+R)^2*(2*R3+(2*R*R1)/(R1+R))^2*((2*R*R1*(2*R3+(R*R1)/(R1+R)))/((R1+R)*(2*R3+(2*R*R1)/(R1+R)))+(R*((R^2*R1^2)/((R1+R)^2*R3)+(2*R*R1)/(R1+R)))/((R^2*R1^2)/((R1+R)^2*R3)+(2*R*R1)/(R1+R)+R))*(
(R^2*R1*((R^2*R1^2)/((R1+R)^2*R3)+(2*R*R1)/(R1+R))*(2*R3+(R*R1)/(R1+R)))/((R1+R)*((R^2*R1^2)/((R1+R)^2*R3)+(2*R*R1)/(R1+R)+R)*(2*R3+(2*R*R1)/(R1+R))*((2*R*R1*(2*R3+(R*R1)/(R1+R)))/((R1+R)*(2*R3+(2*R*R1)/(R1+R)))+(R*((R^2*R1^2)/((R1+R)^2*R3)+(2*R*R1)/(R1+R)))/((R^2*R1^2)/((R1+R)^2*R3)+(2*R*R1)/(R1+R)+R)))+
(R^2*R1^2*(2*R3+(R*R1)/(R1+R))^2)/((R1+R)^2*(2*R3+(2*R*R1)/(R1+R))^2*((2*R*R1*(2*R3+(R*R1)/(R1+R)))/((R1+R)*(2*R3+(2*R*R1)/(R1+R)))+(R*((R^2*R1^2)/((R1+R)^2*R3)+(2*R*R1)/(R1+R)))/((R^2*R1^2)/((R1+R)^2*R3)+(2*R*R1)/(R1+R)+R)))))
(%i12)
subst(R*R1/(2*R+R1), R3, (R^2*R1^2*(2*R3+(R*R1)/(R1+R))^2)/((R1+R)^2*(2*R3+(2*R*R1)/(R1
+R))^2*((2*R*R1*(2*R3+(R*R1)/(R1+R)))/((R1+R)*(2*R3+(2*R*R1)/(R1+R)))+(R*((R^2*R1^2)/((R1
+R)^2*R3)+(2*R*R1)/(R1+R)))/((R^2*R1^2)/((R1+R)^2*R3)+(2*R*R1)/(R1+R)+R))*((R^2*R1*((R^2*R1^2)/((R1
+R)^2*R3)+(2*R*R1)/(R1+R))*(2*R3+(R*R1)/(R1+R)))/((R1+R)*((R^2*R1^2)/((R1+R)^2*R3)
+(2*R*R1)/(R1+R)+R)*(2*R3+(2*R*R1)/(R1+R))*((2*R*R1*(2*R3+(R*R1)/(R1+R)))/((R1+R)*(2*R3
+(2*R*R1)/(R1+R)))+(R*((R^2*R1^2)/((R1+R)^2*R3)+(2*R*R1)/(R1+R)))/((R^2*R1^2)/((R1
+R)^2*R3)+(2*R*R1)/(R1+R)+R)))+(R^2*R1^2*(2*R3+(R*R1)/(R1+R))^2)/((R1+R)^2*(2*R3+(2*R*R1)/(R1
+R))^2*((2*R*R1*(2*R3+(R*R1)/(R1+R)))/((R1+R)*(2*R3+(2*R*R1)/(R1+R)))+(R*((R^2*R1^2)/((R1
+R)^2*R3)+(2*R*R1)/(R1+R)))/((R^2*R1^2)/((R1+R)^2*R3)+(2*R*R1)/(R1+R)+R))))));
(%o12) (R^2*R1^2*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(R*R1)/(R1+R))^2)/((R1+R)^2*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(2*R*R1)/(R1+R))^2*((R*((R*R1*(R1+2*R))/(R1+R)^2+(2*R*R1)/(R1+R)))/((R*R1*(R1+2*R))/(R1+R)^2+(2*R*R1)/(R1+R)+R)+(2*R*R1*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(R*R1)/(R1+R)))/((R1+R)*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(2*R*R1)/(R1+R))))*
((R^2*R1*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(R*R1)/(R1+R))*((R*R1*(R1+2*R))/(R1+R)^2+(2*R*R1)/(R1+R)))/((R1+R)*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(2*R*R1)/(R1+R))*((R*R1*(R1+2*R))/(R1+R)^2+(2*R*R1)/(R1+R)+R)*((R*((R*R1*(R1+2*R))/(R1+R)^2+(2*R*R1)/(R1+R)))/((R*R1*(R1+2*R))/(R1+R)^2+(2*R*R1)/(R1+R)+R)+(2*R*R1*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(R*R1)/(R1+R)))/((R1+R)*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(2*R*R1)/(R1+R)))))+
(R^2*R1^2*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(R*R1)/(R1+R))^2)/((R1+R)^2*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(2*R*R1)/(R1+R))^2*((R*((R*R1*(R1+2*R))/(R1+R)^2+(2*R*R1)/(R1+R)))/((R*R1*(R1+2*R))/(R1+R)^2+(2*R*R1)/(R1+R)+R)+(2*R*R1*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(R*R1)/(R1+R)))/((R1+R)*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(2*R*R1)/(R1+R)))))

最後にR1を代入すると

(%i13)
subst(3*R, R1, (R^2*R1^2*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(R*R1)/(R1+R))^2)/((R1+R)^2*((2*R*R1)/(R1
+2*R)+(2*R*R1)/(R1+R))^2*((R*((R*R1*(R1+2*R))/(R1+R)^2+(2*R*R1)/(R1+R)))/((R*R1*(R1
+2*R))/(R1+R)^2+(2*R*R1)/(R1+R)+R)+(2*R*R1*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(R*R1)/(R1+R)))/((R1
+R)*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(2*R*R1)/(R1+R))))*((R^2*R1*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(R*R1)/(R1+R))*((R*R1*(R1
+2*R))/(R1+R)^2+(2*R*R1)/(R1+R)))/((R1+R)*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(2*R*R1)/(R1+R))*((R*R1*(R1
+2*R))/(R1+R)^2+(2*R*R1)/(R1+R)+R)*((R*((R*R1*(R1+2*R))/(R1+R)^2+(2*R*R1)/(R1+R)))/((R*R1*(R1
+2*R))/(R1+R)^2+(2*R*R1)/(R1+R)+R)+(2*R*R1*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(R*R1)/(R1+R)))/((R1
+R)*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(2*R*R1)/(R1+R)))))+(R^2*R1^2*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(R*R1)/(R1
+R))^2)/((R1+R)^2*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(2*R*R1)/(R1+R))^2*((R*((R*R1*(R1+2*R))/(R1+R)^2
+(2*R*R1)/(R1+R)))/((R*R1*(R1+2*R))/(R1+R)^2+(2*R*R1)/(R1+R)+R)+(2*R*R1*((2*R*R1)/(R1
+2*R)+(R*R1)/(R1+R)))/((R1+R)*((2*R*R1)/(R1+2*R)+(2*R*R1)/(R1+R))))))));
(%o13) 55/127

従って

E2/E1=55/127
=0.433

と他の解法による解と一致する。

いずれの解法でもE2/E1はRの値に依存しないという事実がわかる。

著者の解法のように最初から数値で求めてしまうとその事に気づくこともなく終わってしまうだろう。

回路解析での数値計算は最終的な式を得てから行うのが肝心である。そうしないと回路に潜む重要な事実を見逃し、木を見て森を見ずということになってしまう。
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題名 投稿者 日時
   交流回路の演習問題 webadm 2008-5-30 8:55
     【1】RLC直列回路の共振点 webadm 2008-5-30 9:16
     【2】LC直列回路の共振点 webadm 2008-5-30 9:54
     【3】RLC直列回路の共振点、Q及び電圧 webadm 2008-5-30 11:04
     【4】RLC直列回路の共振点(その3) webadm 2008-5-31 11:44
     【5】RLC直列共振回路のQ webadm 2008-5-31 12:04
     【6】RLC直列回路の共振点(その4) webadm 2008-5-31 12:37
     【7】RLC直列回路の共振点(その後) webadm 2008-5-31 23:25
     【8】RLC直列回路のQの公式の証明 webadm 2008-6-1 0:40
     【9】RLC直列回路の証明問題 webadm 2008-6-1 1:50
     【10】RLC直列回路のQ webadm 2008-6-1 2:12
     【11】RLC直列回路の出力電圧 webadm 2008-6-3 10:57
     【12】RLC直列回路の出力(続き) webadm 2008-6-5 10:20
     【13】RLC直列回路の出力電圧(その2) webadm 2008-6-5 10:44
     【14】RLC直列回路の出力電圧(その3) webadm 2008-6-5 11:29
     【15】RLC直列回路のR webadm 2008-6-6 11:04
     【16】LC並列回路の共振点 webadm 2008-6-7 16:18
     【17】RLC並列回路のQ webadm 2008-6-8 6:51
     【18】RLC並列回路のQ(その2) webadm 2008-6-8 7:47
     【19】RLC混成回路 webadm 2008-6-8 12:21
     【20】RLC混成回路(続き) webadm 2008-6-8 19:08
     【21】LC直列共振回路によるCの測定 webadm 2008-6-8 19:30
     【22】コイルの分布容量の測定 webadm 2008-6-8 20:10
     【23】コイルの分布容量の測定(続き) webadm 2008-6-8 20:38
     【24】Bouchelotの回路 webadm 2008-6-9 5:40
       Re: 【24】Bouchelotの回路 webadm 2008-6-10 7:05
     【25】RLC混成回路(その2) webadm 2008-6-10 12:25
     【26】RLC混成回路(その3) webadm 2008-6-12 7:04
     【27】LC混成回路の共振点 webadm 2008-6-12 8:16
     【28】RC混成回路 webadm 2008-6-13 10:05
     【29】RLC混成回路(その4) webadm 2008-6-13 10:39
     【30】RLC混成回路(その5) webadm 2008-6-14 6:11
     【31】Y-Δ変換 webadm 2008-6-15 20:08
     【32】Y-Δ変換(その2) webadm 2008-6-23 11:06
       Re: 【32】Y-Δ変換(その2) webadm 2008-6-25 10:11
       » Re: 【32】Y-Δ変換(その2) webadm 2008-6-26 11:03
     【33】Δ-Y変換(その3) webadm 2008-6-28 15:07
       Re: 【33】Δ-Y変換(その3) webadm 2008-7-27 22:26
         Re: 【33】Δ-Y変換(その3) webadm 2008-7-28 0:01
     【34】相互誘導回路の等価回路 webadm 2008-7-29 20:38
     【35】相互誘導回路(その1) webadm 2008-7-30 5:13
     【36】相互誘導回路(その2) webadm 2008-7-30 6:27
     【37】相互誘導回路(その3) webadm 2008-7-30 9:29
     【38】相互誘導回路(その4) webadm 2008-7-30 9:53
     【39】相互誘導回路(その5) webadm 2008-7-30 10:29
     【40】相互誘導回路(その6) webadm 2008-7-31 10:23
     【41】相互誘導回路(その7) webadm 2008-7-31 17:52
     【42】相互誘導回路(その8) webadm 2008-7-31 19:33
     【43】相互誘導回路(その9) webadm 2008-7-31 21:52
     【44】相互誘導回路(その10) webadm 2008-8-6 20:05
     【45】相互誘導回路(その11) webadm 2008-8-6 20:37
     【46】相互誘導回路(その12) webadm 2008-8-6 21:08
     【47】相互誘導回路(その13) webadm 2008-8-23 23:04
     【48】相互誘導回路(その14) webadm 2008-8-24 0:41
     【49】相互誘導回路(その15) webadm 2008-8-24 5:42
     【50】相互誘導回路(その16) webadm 2008-8-24 6:04
     【51】相互誘導回路(その17) webadm 2008-8-24 19:22
     【52】相互誘導回路(その18) webadm 2008-8-24 22:15
     【53】相互誘導回路(その19) webadm 2008-8-24 22:51
     【54】相互誘導回路(その20) webadm 2008-8-24 23:36
     【55】相互誘導回路(その21) webadm 2008-8-25 0:33
     【56】相互誘導回路(その21) webadm 2008-8-25 1:51
     【57】相互誘導回路(その22) webadm 2008-8-26 5:24
     【58】相互誘導回路(その23) webadm 2008-8-26 5:56
     【59】相互誘導回路(その23) webadm 2008-8-26 8:13
     【60】相互誘導回路(その24) webadm 2008-8-27 9:05
     【61】相互誘導回路(その25) webadm 2008-8-27 10:58
     【62】相互誘導回路(その26) webadm 2008-8-28 11:11
     【63】相互誘導回路(その27) webadm 2008-8-28 13:04
     【64】相互誘導回路(その27) webadm 2008-8-28 23:32
       Re: 【64】相互誘導回路(その27) webadm 2008-8-30 18:47
     【65】Owenのブリッジ webadm 2008-8-31 4:46
     【66】インダクタンスブリッジ webadm 2008-8-31 5:02
     【67】Wienブリッジ webadm 2008-8-31 5:12
     【68】Maxwellブリッジ webadm 2008-8-31 23:02
     【69】LCブリッジ webadm 2008-9-1 4:55
     【70】共振ブリッジ webadm 2008-9-2 8:55
     【71】Hayブリッジ webadm 2008-9-2 9:07
     【72】Andersonブリッジ webadm 2008-9-2 23:05
     【73】Andersonブリッジ(その2) webadm 2008-9-3 10:22
     【74】Campbellブリッジ webadm 2008-9-3 23:33
     【75】相互誘導回路のあるブリッジ webadm 2008-9-4 7:42
     【76】誘導損のあるケーブルの容量測定 webadm 2008-9-5 0:19
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     【91】交流ブリッジのベクトル軌跡 webadm 2008-9-8 9:56
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