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投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2008-7-28 0:01
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3068
Re: 【33】Δ-Y変換(その3)
最後に出題の意図に沿ってΔ-Y変換の公式を使って解いてみよう。



最終的に単一のπ型(Δ型)抵抗ネットワークに合成するためにまず、Y接続を先にΔ接続に置き換えていく。

Y-Δ変換の公式により

R5=(R2*R2+R2*R2+R2*R2)/R2
=3*R2

R6=(R3*R4+R3*R4+R3*R3)/R4
=2*R3+R3*R3/R4

R7=(R3*R4+R3*R4+R3*R3/R3
=(2*R4+R3)

次ぎに中央部の並列接続抵抗をひとつに合成する。



R8=1/(1/R1+1/R5)
=R1*R5/(R1+R5)

R9=1/(1/R7+1/R4+1/R7)
=R4*R7/(2*R4+R7)

次ぎに中央に出来たY接続をΔ接続に変換する。



R10=(R1*R8+R1*R5+R8*R5)/R8
=(R1+R5)+R1*R5/R8

R11=(R1*R8+R1*R5+R8*R5)/R5
=(R1+R8)+R1*R8/R5

R12=(R1*R8+R1*R5+R8*R5)/R1
=(R8+R5)+R8*R5/R1

R13=(R6*R6+R6*R9+R6*R9)/R9
=2*R6+R6*R6/R9

R14=(R6*R6+R6*R9+R6*R9)/R6
=R6+2*R9

次ぎに並列接続抵抗をひとつに合成する。



R15=1/(1/R1+1/R11)
=R1*R11/(R1+R11)

R16=1/(1/R12+1/R5)
=R12*R5/(R12+R5)

R17=1/(1/R7+1/R14)
=R7*R14/(R7+R14)

最後に残った2つの並列接続されたΔ接続ネットワークを合成し一つにする。



Ra=1/(1/R15+1/R17)
=R15*R17/(R15+R17)

Rb=1/(1/R10+1/R13)
=R10*R13/(R10+R13)

Rc=1/(1/R16+1/R17)
=R16*R17/(R16+R17)

ということになる。

Ra,Rb,RcをR1,R2,R3,R4で表すように書き換えると

(%i175) [Ra=1/(1/R15+1/R17),Rb=1/(1/R10+1/R13),Rc=1/(1/R16+1/R17)];
(%o175) [Ra=1/(1/R17+1/R15),Rb=1/(1/R13+1/R10),Rc=1/(1/R17+1/R16)]
(%i176) subst(1/(1/R7+1/R14), R17, [Ra=1/(1/R17+1/R15),Rb=1/(1/R13+1/R10),Rc=1/(1/R17+1/R16)]);
(%o176) [Ra=1/(1/R7+1/R15+1/R14),Rb=1/(1/R13+1/R10),Rc=1/(1/R7+1/R16+1/R14)]
(%i177) subst(1/(1/R12+1/R5), R16, [Ra=1/(1/R7+1/R15+1/R14),Rb=1/(1/R13+1/R10),Rc=1/(1/R7
+1/R16+1/R14)]);
(%o177) [Ra=1/(1/R7+1/R15+1/R14),Rb=1/(1/R13+1/R10),Rc=1/(1/R7+1/R5+1/R14+1/R12)]
(%i178) subst(1/(1/R1+1/R11), R15, [Ra=1/(1/R7+1/R15+1/R14),Rb=1/(1/R13+1/R10),Rc=1/(1/R7
+1/R5+1/R14+1/R12)]);
(%o178) [Ra=1/(1/R7+1/R14+1/R11+1/R1),Rb=1/(1/R13+1/R10),Rc=1/(1/R7+1/R5+1/R14+1/R12)]
(%i179)
subst((R6*R6+R6*R9+R6*R9)/R6, R14, [Ra=1/(1/R7+1/R14+1/R11+1/R1),Rb=1/(1/R13+1/R10),Rc=1/(1/R7
+1/R5+1/R14+1/R12)]);
(%o179) [Ra=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+1/R7+1/R11+1/R1),Rb=1/(1/R13+1/R10),Rc=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+1/R7+1/R5+1/R12)]
(%i180) subst((R6*R6+R6*R9+R6*R9)/R9, R13, [Ra=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+1/R7+1/R11+1/R1),Rb=1/(1/R13
+1/R10),Rc=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+1/R7+1/R5+1/R12)]);
(%o180) [Ra=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+1/R7+1/R11+1/R1),Rb=1/(R9/(2*R6*R9+R6^2)+1/R10),Rc=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+1/R7+1/R5+1/R12)]
(%i181)
subst((R1*R8+R1*R5+R8*R5)/R1, R12, [Ra=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+1/R7+1/R11+1/R1),Rb=1/(R9/(2*R6*R9
+R6^2)+1/R10),Rc=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+1/R7+1/R5+1/R12)]);
(%o181) [Ra=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+1/R7+1/R11+1/R1),Rb=1/(R9/(2*R6*R9+R6^2)+1/R10),Rc=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+R1/(R5*R8+R1*R8+R1*R5)+1/R7+1/R5)]
(%i182)
subst((R1*R8+R1*R5+R8*R5)/R5, R11, [Ra=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+1/R7+1/R11+1/R1),Rb=1/(R9/(2*R6*R9
+R6^2)+1/R10),Rc=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+R1/(R5*R8+R1*R8+R1*R5)+1/R7+1/R5)]);
(%o182) [Ra=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+R5/(R5*R8+R1*R8+R1*R5)+1/R7+1/R1),Rb=1/(R9/(2*R6*R9+R6^2)+1/R10),Rc=
1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+R1/(R5*R8+R1*R8+R1*R5)+1/R7+1/R5)]
(%i183) subst((R1*R8+R1*R5+R8*R5)/R8, R10, [Ra=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+R5/(R5*R8+R1*R8+R1*R5)
+1/R7+1/R1),Rb=1/(R9/(2*R6*R9+R6^2)+1/R10),Rc=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+R1/(R5*R8+R1*R8
+R1*R5)+1/R7+1/R5)]);
(%o183) [Ra=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+R5/(R5*R8+R1*R8+R1*R5)+1/R7+1/R1),Rb=1/(R9/(2*R6*R9+R6^2)+R8/(R5*R8+R1*R8+R1*R5)),Rc=
1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+R1/(R5*R8+R1*R8+R1*R5)+1/R7+1/R5)]
(%i184) subst(1/(1/R7+1/R4+1/R7), R9, [Ra=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+R5/(R5*R8+R1*R8+R1*R5)+1/R7
+1/R1),Rb=1/(R9/(2*R6*R9+R6^2)+R8/(R5*R8+R1*R8+R1*R5)),Rc=1/(R6/(2*R6*R9+R6^2)+R1/(R5*R8
+R1*R8+R1*R5)+1/R7+1/R5)]);
(%o184) [Ra=1/(R5/(R5*R8+R1*R8+R1*R5)+1/R7+R6/((2*R6)/(2/R7+1/R4)+R6^2)+1/R1),Rb=1/(R8/(R5*R8+R1*R8+R1*R5)+1/(((2*R6)/(2/R7+1/R4)+R6^2)*(2/R7+1/R4))),Rc=
1/(R1/(R5*R8+R1*R8+R1*R5)+1/R7+R6/((2*R6)/(2/R7+1/R4)+R6^2)+1/R5)]
(%i185)
subst(1/(1/R1+1/R5), R8, [Ra=1/(R5/(R5*R8+R1*R8+R1*R5)+1/R7+R6/((2*R6)/(2/R7+1/R4)
+R6^2)+1/R1),Rb=1/(R8/(R5*R8+R1*R8+R1*R5)+1/(((2*R6)/(2/R7+1/R4)+R6^2)*(2/R7+1/R4))),Rc=1/(R1/(R5*R8
+R1*R8+R1*R5)+1/R7+R6/((2*R6)/(2/R7+1/R4)+R6^2)+1/R5)]);
(%o185) [Ra=1/(1/R7+R6/((2*R6)/(2/R7+1/R4)+R6^2)+R5/(R5/(1/R5+1/R1)+R1*R5+R1/(1/R5+1/R1))+1/R1),Rb=1/(1/(((2*R6)/(2/R7+1/R4)+R6^2)*(2/R7+1/R4))+1/((1/R5+1/R1)*(R5/(1/R5+1/R1)+R1*R5+R1/(1/R5+1/R1)))),
Rc=1/(1/R7+R6/((2*R6)/(2/R7+1/R4)+R6^2)+R1/(R5/(1/R5+1/R1)+R1*R5+R1/(1/R5+1/R1))+1/R5)]
(%i186) subst((R3*R4+R3*R4+R3*R3)/R3, R7, [Ra=1/(1/R7+R6/((2*R6)/(2/R7+1/R4)+R6^2)+R5/(R5/(1/R5
+1/R1)+R1*R5+R1/(1/R5+1/R1))+1/R1),Rb=1/(1/(((2*R6)/(2/R7+1/R4)+R6^2)*(2/R7+1/R4))
+1/((1/R5+1/R1)*(R5/(1/R5+1/R1)+R1*R5+R1/(1/R5+1/R1)))),Rc=1/(1/R7+R6/((2*R6)/(2/R7
+1/R4)+R6^2)+R1/(R5/(1/R5+1/R1)+R1*R5+R1/(1/R5+1/R1))+1/R5)]);
(%o186) [Ra=1/(R6/(R6^2+(2*R6)/((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4))+R5/(R5/(1/R5+1/R1)+R1*R5+R1/(1/R5+1/R1))+R3/(2*R3*R4+R3^2)+1/R1),Rb=
1/(1/(((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4)*(R6^2+(2*R6)/((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4)))+1/((1/R5+1/R1)*(R5/(1/R5+1/R1)+R1*R5+R1/(1/R5+1/R1)))),Rc=
1/(R6/(R6^2+(2*R6)/((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4))+R1/(R5/(1/R5+1/R1)+R1*R5+R1/(1/R5+1/R1))+1/R5+R3/(2*R3*R4+R3^2))]
(%i187)
subst((R3*R4+R3*R4+R3*R3)/R4, R6, [Ra=1/(R6/(R6^2+(2*R6)/((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4))
+R5/(R5/(1/R5+1/R1)+R1*R5+R1/(1/R5+1/R1))+R3/(2*R3*R4+R3^2)+1/R1),Rb=1/(1/(((2*R3)/(2*R3*R4
+R3^2)+1/R4)*(R6^2+(2*R6)/((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4)))+1/((1/R5+1/R1)*(R5/(1/R5
+1/R1)+R1*R5+R1/(1/R5+1/R1)))),Rc=1/(R6/(R6^2+(2*R6)/((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4))
+R1/(R5/(1/R5+1/R1)+R1*R5+R1/(1/R5+1/R1))+1/R5+R3/(2*R3*R4+R3^2))]);
(%o187) [Ra=1/(R5/(R5/(1/R5+1/R1)+R1*R5+R1/(1/R5+1/R1))+(2*R3*R4+R3^2)/(R4*((2*(2*R3*R4+R3^2))/(R4*((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4))+(2*R3*R4+R3^2)^2/R4^2))+R3/(2*R3*R4+R3^2)+1/R1),Rb=
1/(1/((1/R5+1/R1)*(R5/(1/R5+1/R1)+R1*R5+R1/(1/R5+1/R1)))+1/(((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4)*((2*(2*R3*R4+R3^2))/(R4*((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4))+(2*R3*R4+R3^2)^2/R4^2))),Rc=
1/(R1/(R5/(1/R5+1/R1)+R1*R5+R1/(1/R5+1/R1))+1/R5+(2*R3*R4+R3^2)/(R4*((2*(2*R3*R4+R3^2))/(R4*((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4))+(2*R3*R4+R3^2)^2/R4^2))+R3/(2*R3*R4+R3^2))]
(%i188)
subst((R2*R2+R2*R2+R2*R2)/R2, R5, [Ra=1/(R5/(R5/(1/R5+1/R1)+R1*R5+R1/(1/R5+1/R1))
+(2*R3*R4+R3^2)/(R4*((2*(2*R3*R4+R3^2))/(R4*((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4))+(2*R3*R4
+R3^2)^2/R4^2))+R3/(2*R3*R4+R3^2)+1/R1),Rb=1/(1/((1/R5+1/R1)*(R5/(1/R5+1/R1)+R1*R5
+R1/(1/R5+1/R1)))+1/(((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4)*((2*(2*R3*R4+R3^2))/(R4*((2*R3)/(2*R3*R4
+R3^2)+1/R4))+(2*R3*R4+R3^2)^2/R4^2))),Rc=1/(R1/(R5/(1/R5+1/R1)+R1*R5+R1/(1/R5+1/R1))
+1/R5+(2*R3*R4+R3^2)/(R4*((2*(2*R3*R4+R3^2))/(R4*((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4))+(2*R3*R4
+R3^2)^2/R4^2))+R3/(2*R3*R4+R3^2))]);
(%o188) [Ra=1/((2*R3*R4+R3^2)/(R4*((2*(2*R3*R4+R3^2))/(R4*((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4))+(2*R3*R4+R3^2)^2/R4^2))+R3/(2*R3*R4+R3^2)+(3*R2)/((3*R2)/(1/(3*R2)+1/R1)+3*R1*R2+R1/(1/(3*R2)+1/R1))+1/R1),Rb=
1/(1/(((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4)*((2*(2*R3*R4+R3^2))/(R4*((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4))+(2*R3*R4+R3^2)^2/R4^2))+1/((1/(3*R2)+1/R1)*((3*R2)/(1/(3*R2)+1/R1)+3*R1*R2+R1/(1/(3*R2)+1/R1)))),Rc=
1/((2*R3*R4+R3^2)/(R4*((2*(2*R3*R4+R3^2))/(R4*((2*R3)/(2*R3*R4+R3^2)+1/R4))+(2*R3*R4+R3^2)^2/R4^2))+R3/(2*R3*R4+R3^2)+R1/((3*R2)/(1/(3*R2)+1/R1)+3*R1*R2+R1/(1/(3*R2)+1/R1))+1/(3*R2))]
(%i189) factor(%);
(%o189) [Ra=(2*R1*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(6*R4^2+12*R3*R4+6*R1*R4+3*R3^2+2*R1*R3),Rb=(2*(3*R2+R1)*R3*(2*R4+R3)*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(4*R3*R4^3+6*R2*R4^3+2*R1*R4^3+10*R3^2*R4^2+6*R3^3*R4+R3^4)
,Rc=(2*R2*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(2*R4^2+4*R3*R4+6*R2*R4+R3^2+2*R2*R3)]

最終的に得られたRa,Rb,Rcの式にR1,R2,R3,R4の値をそれぞれ代入すると

(%i190)
subst(15, R1, [Ra=(2*R1*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(6*R4^2+12*R3*R4+6*R1*R4+3*R3^2+2*R1*R3),Rb=(2*(3*R2
+R1)*R3*(2*R4+R3)*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(4*R3*R4^3+6*R2*R4^3+2*R1*R4^3+10*R3^2*R4^2
+6*R3^3*R4+R3^4),Rc=(2*R2*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(2*R4^2+4*R3*R4+6*R2*R4+R3^2+2*R2*R3)]);
(%o190) [Ra=(30*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(6*R4^2+12*R3*R4+90*R4+3*R3^2+30*R3),Rb=(2*(3*R2+15)*R3*(2*R4+R3)*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(4*R3*R4^3+6*R2*R4^3+30*R4^3+10*R3^2*R4^2+6*R3^3*R4+R3^4),Rc
=(2*R2*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(2*R4^2+4*R3*R4+6*R2*R4+R3^2+2*R2*R3)]
(%i191)
subst(5, R2, [Ra=(30*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(6*R4^2+12*R3*R4+90*R4+3*R3^2+30*R3),Rb=(2*(3*R2
+15)*R3*(2*R4+R3)*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(4*R3*R4^3+6*R2*R4^3+30*R4^3+10*R3^2*R4^2
+6*R3^3*R4+R3^4),Rc=(2*R2*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(2*R4^2+4*R3*R4+6*R2*R4+R3^2+2*R2*R3)]);
(%o191) [Ra=(30*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(6*R4^2+12*R3*R4+90*R4+3*R3^2+30*R3),Rb=(60*R3*(2*R4+R3)*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(4*R3*R4^3+60*R4^3+10*R3^2*R4^2+6*R3^3*R4+R3^4),Rc=
(10*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(2*R4^2+4*R3*R4+30*R4+R3^2+10*R3)]
(%i192)
subst(2, R3, [Ra=(30*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(6*R4^2+12*R3*R4+90*R4+3*R3^2+30*R3),Rb=(60*R3*(2*R4
+R3)*(2*R4^2+4*R3*R4+R3^2))/(4*R3*R4^3+60*R4^3+10*R3^2*R4^2+6*R3^3*R4+R3^4),Rc=(10*(2*R4^2
+4*R3*R4+R3^2))/(2*R4^2+4*R3*R4+30*R4+R3^2+10*R3)]);
(%o192) [Ra=(30*(2*R4^2+8*R4+4))/(6*R4^2+114*R4+72),Rb=(120*(2*R4+2)*(2*R4^2+8*R4+4))/(68*R4^3+40*R4^2+48*R4+16),Rc=(10*(2*R4^2+8*R4+4))/(2*R4^2+38*R4+24)]
(%i193) subst(4, R4, [Ra=(30*(2*R4^2+8*R4+4))/(6*R4^2+114*R4+72),Rb=(120*(2*R4+2)*(2*R4^2
+8*R4+4))/(68*R4^3+40*R4^2+48*R4+16),Rc=(10*(2*R4^2+8*R4+4))/(2*R4^2+38*R4+24)]);
(%o193) [Ra=85/26,Rb=204/13,Rc=85/26]
(%i194) float(%), numer;
(%o194) [Ra=3.269230769230769,Rb=15.69230769230769,Rc=3.269230769230769]

従って

Ra=3.27 [Ω]
Rb=15.7 [Ω]
Rc=3.27 [Ω]

一方端子2-2'がオープンの時とクローズの時の回路インピーダンスはそれぞれ

Zo=1/(1/Ra+1/(Rb+Rc))
=1/(1/3.27+1/(15.7+3.27))
=2.79 [Ω]

Zc=1/(1/Ra+1/Rb)
=1/(1/3.27+1/15.7)
=2.71 [Ω]

ということになる。

他の解法によるものと同じ結果が得られた。

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題名 投稿者 日時
   交流回路の演習問題 webadm 2008-5-30 8:55
     【1】RLC直列回路の共振点 webadm 2008-5-30 9:16
     【2】LC直列回路の共振点 webadm 2008-5-30 9:54
     【3】RLC直列回路の共振点、Q及び電圧 webadm 2008-5-30 11:04
     【4】RLC直列回路の共振点(その3) webadm 2008-5-31 11:44
     【5】RLC直列共振回路のQ webadm 2008-5-31 12:04
     【6】RLC直列回路の共振点(その4) webadm 2008-5-31 12:37
     【7】RLC直列回路の共振点(その後) webadm 2008-5-31 23:25
     【8】RLC直列回路のQの公式の証明 webadm 2008-6-1 0:40
     【9】RLC直列回路の証明問題 webadm 2008-6-1 1:50
     【10】RLC直列回路のQ webadm 2008-6-1 2:12
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     【13】RLC直列回路の出力電圧(その2) webadm 2008-6-5 10:44
     【14】RLC直列回路の出力電圧(その3) webadm 2008-6-5 11:29
     【15】RLC直列回路のR webadm 2008-6-6 11:04
     【16】LC並列回路の共振点 webadm 2008-6-7 16:18
     【17】RLC並列回路のQ webadm 2008-6-8 6:51
     【18】RLC並列回路のQ(その2) webadm 2008-6-8 7:47
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     【20】RLC混成回路(続き) webadm 2008-6-8 19:08
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     【88】RC直列回路の軌跡 webadm 2008-9-8 0:56
     【89】RL並列回路のインピーダンス軌跡 webadm 2008-9-8 1:30
     【90】RL直並列回路のベクトル軌跡 webadm 2008-9-8 3:56
     【91】交流ブリッジのベクトル軌跡 webadm 2008-9-8 9:56
     【92】相互誘導回路のベクトル軌跡 webadm 2008-9-9 11:43
     【93】ベクトル軌跡から回路 webadm 2008-9-11 10:45
     【94】誘導性回路の電流軌跡と最大電力 webadm 2008-9-11 22:01
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