次ぎは以下の様に３つのコイルが互いに相互誘導結合している際の端子ABから見た合成インピーダンスを求めよという問題。



著者の図を見ると３つのコイルのインダクタンス成分が省かれている。念のために各コイルのインダクタンスをL1,L2,L3として回路方程式をたてると

E=(Z1+jωL1)*I1+jωM12*I2+jωM32*I3

(Z2+jωL2)*I2+jωM12*I1+jωM23*I3=0

(Z3+jωL3)*I3+jωM23*I2+jωM32*I1=0

これをZ1,Z2,Z3に関する三元連立方程式として解くと

(%i44) e1:E=(Z1+%i*o*L1)*I1+%i*o*M12*I2+%i*o*M31*I3;
(%o44) E=I1*(Z1+%i*o*L1)+%i*o*I3*M31+%i*o*I2*M12
(%i45) e2:Z2*I2+%i*o*L2*I2+%i*o*M12*I1+%i*o*M23*I3=0;
(%o45) I2*Z2+%i*o*I3*M23+%i*o*I1*M12+%i*o*I2*L2=0
(%i46) e3:Z3*I3+%i*o*L3*I3+%i*o*M31*I1+%i*o*M23*I2=0;
(%o46) I3*Z3+%i*o*I1*M31+%i*o*I2*M23+%i*o*I3*L3=0
(%i47) solve([e1,e2,e3],[I1,I2,I3]);
(%o47) [[I1=(E*(%i*o*(L2*Z3+L3*Z2)+Z2*Z3+o^2*(M23^2-L2*L3)))/(Z1*
(%i*o*(L2*Z3+L3*Z2)+Z2*Z3+o^2*(M23^2-L2*L3))+L1*(o^2*(-L2*Z3-L3*Z2)+%i*o*Z2*Z3+%i*o^3*(M23^2-L2*L3))+
M12^2*(o^2*Z3+%i*o^3*L3)+M31^2*(o^2*Z2+%i*o^3*L2)-2*%i*o^3*M12*M23*M31),I2=-(E*M12*(%i*o*Z3-o^2*L3)+o^2*E*
M23*M31)/(Z1*(%i*o*(L2*Z3+L3*Z2)+Z2*Z3+o^2*(M23^2-L2*L3))+L1*
(o^2*(-L2*Z3-L3*Z2)+%i*o*Z2*Z3+%i*o^3*(M23^2-L2*L3))+M12^2*(o^2*Z3+%i*o^3*L3)+M31^2*(o^2*Z2+%i*o^3*L2)-2*%i*
o^3*M12*M23*M31),I3=(E*M31*(o^2*L2-%i*o*Z2)-o^2*E*M12*M23)/(Z1*
(%i*o*(L2*Z3+L3*Z2)+Z2*Z3+o^2*(M23^2-L2*L3))+L1*(o^2*(-L2*Z3-L3*Z2)+%i*o*Z2*Z3+%i*o^3*(M23^2-L2*L3))+
M12^2*(o^2*Z3+%i*o^3*L3)+M31^2*(o^2*Z2+%i*o^3*L2)-2*%i*o^3*M12*M23*M31)]]
(%i48) factor(%);
(%o48) [[I1=(E*(Z2*Z3+%i*o*L2*Z3+%i*o*L3*Z2+o^2*M23^2-o^2*L2*L3))/(Z1*Z2*Z3+%i*o*L1*Z2*Z3+%i*o*
L2*Z1*Z3+o^2*M12^2*Z3-o^2*L1*L2*Z3+%i*o*L3*Z1*Z2+o^2*M31^2*Z2-o^2*L1*L3*Z2+o^2*M23^2*Z1-o^2*L2*L3*Z1+%i*o^3*
L2*M31^2-2*%i*o^3*M12*M23*M31+%i*o^3*L1*M23^2+%i*o^3*L3*M12^2-%i*o^3*L1*L2*L3),I2=-(o*E*
(%i*M12*Z3+o*M23*M31-o*L3*M12))/(Z1*Z2*Z3+%i*o*L1*Z2*Z3+%i*o*L2*Z1*Z3+o^2*M12^2*Z3-o^2*L1*L2*Z3+%i*o*
L3*Z1*Z2+o^2*M31^2*Z2-o^2*L1*L3*Z2+o^2*M23^2*Z1-o^2*L2*L3*Z1+%i*o^3*L2*M31^2-2*%i*o^3*M12*M23*M31+%i*o^3*L1*
M23^2+%i*o^3*L3*M12^2-%i*o^3*L1*L2*L3),I3=-(o*E*(%i*M31*Z2-o*L2*M31+o*M12*M23))/(Z1*Z2*Z3+%i*o*L1*
Z2*Z3+%i*o*L2*Z1*Z3+o^2*M12^2*Z3-o^2*L1*L2*Z3+%i*o*L3*Z1*Z2+o^2*M31^2*Z2-o^2*L1*L3*Z2+o^2*M23^2*Z1-o^2*L2*
L3*Z1+%i*o^3*L2*M31^2-2*%i*o^3*M12*M23*M31+%i*o^3*L1*M23^2+%i*o^3*L3*M12^2-%i*o^3*L1*L2*L3)]]

端子ABから見たインピーダンスは端子ABに流れる電流Iと電圧から

Z=|E|/I1

で求めることができる。ここで

I1=(E*(Z2*Z3+jωL2*Z3+jωL3*Z2+ω^2*M23^2-ω^2*L2*L3))/(Z1*Z2*Z3+jωL1*Z2*Z3+jωL2*Z1*Z3+ω^2*M12^2*Z3-ω^2*L1*L2*Z3+jωL3*Z1*Z2+ω^2*M31^2*Z2-ω^2*L1*L3*Z2+ω^2*M23^2*Z1-ω^2*L2*L3*Z1+jω^3*
L2*M31^2-2*jω^3*M12*M23*M31+jω^3*L1*M23^2+jω^3*L3*M12^2-jω^3*L1*L2*L3)
=E*(Z2*Z3+ω^2*(M23^2-L2*L3)+jω*(L2*Z3+L3*Z2))/(Z1*Z2*Z3+ω^2*(M12^2*Z3-L1*L2*Z3+M31^2*Z2-L1*L3*Z2+M23^2*Z1-L2*L3*Z1)+jω*(L1*Z2*Z3+L2*Z1*Z3)+jω^3*(L2*M31^2-2*M12*M23*M31+L1*M23^2+L3*M12^2-L1*L2*L3))

であるので

Z=E/I1
=(Z1*Z2*Z3+ω^2*(M12^2*Z3+M31^2*Z2+M23^2*Z1)-ω^2*(L1*L2*Z3+L1*L3*Z2+L2*L3*Z1)+jω*(L1*Z2*Z3+L2*Z1*Z3+L3*Z1*Z2)+jω^3*(L2*M31^2-2*M12*M23*M31+L1*M23^2+L3*M12^2-L1*L2*L3))/(Z2*Z3+ω^2*(M23^2-L2*L3)+jω*(L2*Z3+L3*Z2))

と表すことができる。ここで最初の方程式でjωL1,jωL2,jωL3のそれぞれの誘導性リアクタンスがZ1,Z2,Z3に含まれているものと見なすと、L1,L2,L3に関する項は式から無くなることになる。

従って合成インピーダンスの式からL1,L2,L3の項を削除すると。

Z=
=(Z1*Z2*Z3+ω^2*(M12^2*Z3+M31^2*Z2+M23^2*Z1)-2*jω*M12*M23*M31)/(Z2*Z3+ω^2*M23^2)

ということになる。

著者の図は予めコイルのインダクタンス成分がZ1,Z2,Z3に含まれていることを暗黙の前提としているが、それが説明されていない。