次ぎの問題は抵抗Rが直列に接続されたL1と互いに相互誘導結合する２つのL2が並列に接続された回路の合成インピーダンスを求めるもの。



２つの以上の相互誘導結合を伴う相互誘導回路は等価回路で表すことができない。従って以前あった問題と同様に回路方程式をたてて解析する必要がある。

しかし問題で示されている図の通りに式をたてても著者のような解は得られない。実は著者の描いている図は不完全で、実は以下のような磁気回路を伴わないと説明がつかない。



すなわち３つのコイルはメガネ型の磁気コアにそれぞれ巻かれていて、L1とL2の間だけでなくL2とL2の間にも相互誘導結合が存在しないとL1とL2の間だけ磁気結合があるというのは物理的におかしい。L1とL2は同じ巻き線方向に電流を流すと互いに磁束を強め合うのに対して、L2とL2は同じ巻き線方向に電流が流れても互いに磁束を弱め合うという点になるのがミソ。

詳細に書き直した回路を元に方程式をたてると

E=-jωL2*I2-jωM*I1+jωM*I2

E=R*I1+jωL1*I1+2*jωM*I2

I=I1-2*I2

これに合成インピーダンスの関係

E=Z*I

を加えてI,I1,I2,Zに関する４元連立方程式として解くと

(%i70) e1:E=-%i*o*L2*I2-%i*o*M*I1+%i*o*M*I2;
(%o70) E=%i*o*I2*M-%i*o*I1*M-%i*o*I2*L2
(%i71) e2:E=(R+%i*o*L1)*I1+2*%i*o*M*I2;
(%o71) E=I1*(R+%i*o*L1)+2*%i*o*I2*M
(%i72) e3:I=I1-2*I2;
(%o72) I=I1-2*I2
(%i73) e4:E=Z*I;
(%o73) E=I*Z
(%i74) solve([e1,e2,e3,e4],[I1,I2,I,Z]);
(%o74) [[I1=-((2*E*M+2*E*L2)*R+3*%i*o*E*M^2+(4*%i*o*E*L2+2*%i*o*E*L1)*M+%i*o*E*L2^2+2*%i*o*E*L1*L2)
/((2*M-2*L2)*R^2+(7*%i*o*M^2+(4*%i*o*L1-2*%i*o*L2)*M-%i*o*L2^2-4*%i*o*L1*L2)*R-6*o^2*M^3+
(-2*o^2*L2-7*o^2*L1)*M^2+(2*o^2*L1*L2-2*o^2*L1^2)*M+o^2*L1*L2^2+2*o^2*L1^2*L2),I2=((4*E*M-4*E*L2)*R^4+
(24*%i*o*E*M^2+(16*%i*o*E*L1-12*%i*o*E*L2)*M-4*%i*o*E*L2^2-16*%i*o*E*L1*L2)*R^3+(-53*o^2*E*M^3+
(3*o^2*E*L2-72*o^2*E*L1)*M^2+(9*o^2*E*L2^2+36*o^2*E*L1*L2-24*o^2*E*L1^2)*M+o^2*E*L2^3+12*o^2*E*L1*L2^2+24*o^2*E*L1^2*
L2)*R^2+(-51*%i*o^3*E*M^4+(-17*%i*o^3*E*L2-106*%i*o^3*E*L1)*M^3+
(3*%i*o^3*E*L2^2+6*%i*o^3*E*L1*L2-72*%i*o^3*E*L1^2)*M^2+
(%i*o^3*E*L2^3+18*%i*o^3*E*L1*L2^2+36*%i*o^3*E*L1^2*L2-16*%i*o^3*E*L1^3)*M+2*%i*o^3*E*L1*L2^3+12*%i*o^3*E*L1^2*L2^2+
16*%i*o^3*E*L1^3*L2)*R+18*o^4*E*M^5+(12*o^4*E*L2+51*o^4*E*L1)*M^4+(2*o^4*E*L2^2+17*o^4*E*L1*L2+53*o^4*E*L1^2)*M^3+
(-3*o^4*E*L1*L2^2-3*o^4*E*L1^2*L2+24*o^4*E*L1^3)*M^2+(-o^4*E*L1*L2^3-9*o^4*E*L1^2*L2^2-12*o^4*E*L1^3*L2+4*o^4*E*L1^4)*
M-o^4*E*L1^2*L2^3-4*o^4*E*L1^3*L2^2-4*o^4*E*L1^4*L2)/((4*%i*o*M^2-8*%i*o*L2*M+4*%i*o*L2^2)*R^4+
(-28*o^2*M^3+(36*o^2*L2-16*o^2*L1)*M^2+(32*o^2*L1*L2-4*o^2*L2^2)*M-4*o^2*L2^3-16*o^2*L1*L2^2)*R^3+(-73*%i*o^3*M^4+
(44*%i*o^3*L2-84*%i*o^3*L1)*M^3+(18*%i*o^3*L2^2+108*%i*o^3*L1*L2-24*%i*o^3*L1^2)*M^2+
(-4*%i*o^3*L2^3-12*%i*o^3*L1*L2^2+48*%i*o^3*L1^2*L2)*M-%i*o^3*L2^4-12*%i*o^3*L1*L2^3-24*%i*o^3*L1^2*L2^2)*R^2+(84*
o^4*M^5+(4*o^4*L2+146*o^4*L1)*M^4+(-20*o^4*L2^2-88*o^4*L1*L2+84*o^4*L1^2)*M^3+
(-4*o^4*L2^3-36*o^4*L1*L2^2-108*o^4*L1^2*L2+16*o^4*L1^3)*M^2+(8*o^4*L1*L2^3+12*o^4*L1^2*L2^2-32*o^4*L1^3*L2)*M+2*o^4*
L1*L2^4+12*o^4*L1^2*L2^3+16*o^4*L1^3*L2^2)*R+36*%i*o^5*M^6+(24*%i*o^5*L2+84*%i*o^5*L1)*M^5+
(4*%i*o^5*L2^2+4*%i*o^5*L1*L2+73*%i*o^5*L1^2)*M^4+(-20*%i*o^5*L1*L2^2-44*%i*o^5*L1^2*L2+28*%i*o^5*L1^3)*M^3+
(-4*%i*o^5*L1*L2^3-18*%i*o^5*L1^2*L2^2-36*%i*o^5*L1^3*L2+4*%i*o^5*L1^4)*M^2+
(4*%i*o^5*L1^2*L2^3+4*%i*o^5*L1^3*L2^2-8*%i*o^5*L1^4*L2)*M+%i*o^5*L1^2*L2^4+4*%i*o^5*L1^3*L2^3+4*%i*o^5*L1^4*L2^2),I=
-(4*E*R^2+(12*%i*o*E*M+4*%i*o*E*L2+8*%i*o*E*L1)*R-9*o^2*E*M^2+(-6*o^2*E*L2-12*o^2*E*L1)*M-o^2*E*L2^2-4*o^2*E*
L1*L2-4*o^2*E*L1^2)/((2*%i*o*M-2*%i*o*L2)*R^2+(-7*o^2*M^2+(2*o^2*L2-4*o^2*L1)*M+o^2*L2^2+4*o^2*L1*L2)*R-6*%i*
o^3*M^3+(-2*%i*o^3*L2-7*%i*o^3*L1)*M^2+(2*%i*o^3*L1*L2-2*%i*o^3*L1^2)*M+%i*o^3*L1*L2^2+2*%i*o^3*L1^2*L2),Z=
((o*M-o*L2)*R+2*%i*o^2*M^2+%i*o^2*L1*M-%i*o^2*L1*L2)/(2*%i*R-3*o*M-o*L2-2*o*L1)]]

Zについて整理すると

Z=((ω*M-ω+L2)*R+2*j*ω^2*M^2+j*ω^2*L1*M-j*ω^2*L1*L2)/(2*j*R-3*ω*M-ω*L2-2*ω*L1)
=(ω*(M-L2)*R+j*ω^2*(2*M^2+L1*M-L1*L2))/(j*(2*R+j*ω*(M+L2+2*L1))
=-j*(ω*(M-L2)*R+j*ω^2*(2*M^2+L1*M-L1*L2))/(2*R+j*ω*(M+L2+2*L1))
=(ω^2*(2*M^2+L1*M-L1*L2)-j*ω*(M-L2)*R)/(2*R+j*ω*(M+L2+2*L2))

ということになる。

題意にあるようにL1=L2=-Mとすると

(%i75) subst(L2, L1, Z=((o*M-o*L2)*R+2*%i*o^2*M^2+%i*o^2*L1*M-%i*o^2*L1*L2)/(2*%i*R-3*o*M
-o*L2-2*o*L1));
(%o75) Z=((o*M-o*L2)*R+2*%i*o^2*M^2+%i*o^2*L2*M-%i*o^2*L2^2)/(2*%i*R-3*o*M-3*o*L2)
(%i76) subst(-L2, M, Z=((o*M-o*L2)*R+2*%i*o^2*M^2+%i*o^2*L2*M-%i*o^2*L2^2)/(2*%i*R-3*o*M
-3*o*L2));
(%o76) Z=%i*o*L2

従って

Z=j*ω*L2

ということになる。

P.S

結局問題で示されている回路図が不十分というかダメダメだったというだけだった。著者の解法を見ない限り、回路図が実際にどうなのかというのは知るよしもない。

電気回路の参考書でここまで深い相互誘導回路の問題を出している本は他には無い。結局のところ相互誘導回路をマスターするには磁気回路についても見通しが立てられないといけないということを知ることが出来た点ではこの問題は大変重要である。

著者はこの問題の意義について特にふれていないが、L1=L2=-Mということは漏洩インダクタンスが0ということで理想的なトランスとなった場合には、この回路はL2だけのインダクタとして見えるということを示しているものと言える。どっかの誰かが見いだした定理なのかもしれないが、ちょっと見あたらない。

願わくは図を正確に。

P.S

どうやらこの回路は三脚鉄心回路のひとつらしい。三脚鉄心回路に関してはいろいろ応用や特許が考案されているので、これもそのひとつだろうけど、特許が絡んでいるだけに名前は伏せているのかもしれない。