しばらく暑くて茹で上がって中断していた演習問題を再開。

まだまだ続く相互誘導回路の問題。今度は二次側に可変抵抗が負荷として接続された回路の実効抵抗と実効インダクタンスを求める問題。可変抵抗を変化させた時のそれぞれの最大値も求めよという副題付き。



巻き線の向きが指定されていないので電流の向きが反対だが相互インダクタンスMは正とみなして方程式をたててみる。

(R1+jωL1)*I1+jωM*I2=E

(R2+R+jωL2)*I2+jωM*I1=0

また回路全体のインピーダンスに関して

Z0*I1=E

の関係が成り立つので、これらをI1,I2,Z0に関する連立方程式として解くと

(%i44) e1:(R1+%i*o*L1)*I1+%i*o*M*I2=E;
(%o44) I1*(R1+%i*o*L1)+%i*o*I2*M=E
(%i45) e2:(R2+R+%i*o*L2)*I2+%i*o*M*I1=0;
(%o45) I2*(R2+R+%i*o*L2)+%i*o*I1*M=0
(%i46) e3:Z0*I1=E;
(%o46) I1*Z0=E
(%i47) solve([e1,e2,e3],[I1,I2,Z0]);
(%o47) [[I1=(E*R2+E*R+%i*o*E*L2)/((R1+%i*o*L1)*R2+(R+%i*o*L2)*R1+%i*o*L1*R+o^2*M^2-o^2*L1*L2),I2=-(%i*o*E*M*R2+%i*o*E*M*R-o^2*E*
L2*M)/((R1+%i*o*L1)*R2^2+((2*R+2*%i*o*L2)*R1+2*%i*o*L1*R+o^2*M^2-2*o^2*L1*L2)*R2+
(R^2+2*%i*o*L2*R-o^2*L2^2)*R1+%i*o*L1*R^2+(o^2*M^2-2*o^2*L1*L2)*R+%i*o^3*L2*M^2-%i*o^3*L1*L2^2),Z0=
((R1+%i*o*L1)*R2+(R+%i*o*L2)*R1+%i*o*L1*R+o^2*M^2-o^2*L1*L2)/(R2+R+%i*o*L2)]]
(%i48) factor(%);
(%o48) [[I1=(E*(R2+R+%i*o*L2))/(R1*R2+%i*o*L1*R2+R*R1+%i*o*L2*R1+%i*o*L1*R+o^2*M^2-o^2*L1*L2),I2=-(o*E*M*(%i*R2+%i*R-o*L2))
/(R1*R2^2+%i*o*L1*R2^2+2*R*R1*R2+2*%i*o*L2*R1*R2+2*%i*o*L1*R*R2+o^2*M^2*R2-2*o^2*L1*L2*R2+R^2*R1+2*%i*o*
L2*R*R1-o^2*L2^2*R1+%i*o*L1*R^2+o^2*M^2*R-2*o^2*L1*L2*R+%i*o^3*L2*M^2-%i*o^3*L1*L2^2),Z0=
(R1*R2+%i*o*L1*R2+R*R1+%i*o*L2*R1+%i*o*L1*R+o^2*M^2-o^2*L1*L2)/(R2+R+%i*o*L2)]]

Z0について整理すると

(%i58)
rectform(Z0=(R1*R2+%i*o*L1*R2+R*R1+%i*o*L2*R1+%i*o*L1*R+o^2*M^2-o^2*L1*L2)/(R2+R+%i*o*L2));
(%o58) Z0=((R2+R)*(R1*R2+R*R1+o^2*M^2-o^2*L1*L2)+o*L2*(o*L1*R2+o*L2*R1+o*L1*R))/((R2+R)^2+o^2*L2^2)+
(%i*((R2+R)*(o*L1*R2+o*L2*R1+o*L1*R)-o*L2*(R1*R2+R*R1+o^2*M^2-o^2*L1*L2)))/((R2+R)^2+o^2*L2^2)
(%i59) factor(%);
(%o59) Z0=
(R1*R2^2+%i*o*L1*R2^2+2*R*R1*R2+2*%i*o*L1*R*R2+o^2*M^2*R2+R^2*R1+o^2*L2^2*R1+%i*o*L1*R^2+o^2*M^2*R-%i*o^3*L2*M^2+%i*o^3*L1*L2^2)/(R2^2+2*R*R2+R^2+o^2*L2^2)
(%i60) rectform(%);
(%o60) Z0=(R1*R2^2+2*R*R1*R2+o^2*M^2*R2+R^2*R1+o^2*L2^2*R1+o^2*M^2*R)/(R2^2+2*R*R2+R^2+o^2*L2^2)+
(%i*(o*L1*R2^2+2*o*L1*R*R2+o*L1*R^2-o^3*L2*M^2+o^3*L1*L2^2))/(R2^2+2*R*R2+R^2+o^2*L2^2)

従って

Z0=(R1*R2^2+2*R*R1*R2+ω^2*M^2*R2+R^2*R1+ω^2*L2^2*R1+ω^2*M^2*R)/(R2^2+2*R*R2+R^2+ω^2*L2^2)+j*(ω*L1*R2^2+2*ω*L1*R*R2+ω*L1*R^2-ω^3*L2*M^2+ω^3*L1*L2^2)/(R2^2+2*R*R2+R^2+ω^2*L2^2)
=(R1*(R2^2+2*R*R2+R^2+ω^2*L2^2)+ω^2*M^2*(R2+R))/(R2^2+2*R*R2+R^2+ω^2*L2^2)+j*ω*(L1*(R2^2+2*R*R2+R^2+ω^2*L2^2)-ω^2*L2*M^2)/(R2^2+2*R*R2+R^2+ω^2*L2^2)
=R1+ω^2*M^2*(R2+R)/((R2+R)^2+ω^2*L2^2)+j*ω*(L1-ω^2*L2*M^2/((R2+R)^2+ω^2*L2^2))

従って実数部が実効抵抗、虚数部が実効リアクタンスなので

Z0=R0+jωL0

なる関係から

R0=R1+ω^2*M^2*(R2+R)/((R2+R)^2+ω^2*L2^2)

L0=L1-ω^2*L2^2*M^2/((R2+R)^2+ω^2*L2^2)

ということになる。

またRを可変とした場合にR0,L0のそれぞれの最大値は、Rによってそれぞれの式を微分すると

(%i62) diff(R1+o^2*M^2*(R2+R)/((R2+R)^2+o^2*L2^2), R);
(%o62) (o^2*M^2)/((R2+R)^2+o^2*L2^2)-(2*o^2*M^2*(R2+R)^2)/((R2+R)^2+o^2*L2^2)^2
(%i63) factor(%);
(%o63) -(o^2*M^2*(R2+R-o*L2)*(R2+R+o*L2))/(R2^2+2*R*R2+R^2+o^2*L2^2)^2

dR0/dR=-(ω^2*M^2*(R2+R-ω*L2)*(R2+R+ω*L2))/((R2+R)^2+ω^2*L2^2)^2

極大点はdR0/dR=0となる点すなわち分子の値が０となる点なので

(R2+R-ω*L2)*(R2+R+ω*L2)=0

これをRについて解くと

(%i64) solve([(R2+R-o*L2)*(R2+R+o*L2)], [R]);
(%o64) [R=-R2-o*L2,R=o*L2-R2]

Rは正の値なので

R=ω*L2-R2

かつ

ω*L2-R2 ≧ 0

なる条件の時にR0が最大値となるので、R0の式にこの条件を代入すると

(%i65) subst(o*L2-R2, R, (o^2*M^2*(R2+R))/((R2+R)^2+o^2*L2^2)+R1);
(%o65) R1+(o*M^2)/(2*L2)

従って

Rm=R1+ω*M^2/(2*L2)

ということになる。

同様に実効インダクタンスについてRで微分すると

(%i66) diff(L1-o^2*L2^2*M^2/((R2+R)^2+o^2*L2^2), R);
(%o66) (2*o^2*L2^2*M^2*(R2+R))/((R2+R)^2+o^2*L2^2)^2

dL0/dR=(2*ω^2*L2^2*M^2*(R2+R))/((R2+R)^2+ω^2*L2^2)^2

これはちょっと困った。分子と分母をそれぞれ(R2+R)で割ると

dL0/dR=(2*ω^2*L2^2*M^2)/((R2+R)^2+ω^2*L2^2)^2/(R2+R)
=(2*ω*L2^2*M^2)/((R2+R)+ω^2*L2^2/(R2+R))^2

従ってdL0/dR=0となるのは分母が∞になるとき、すなわちR=∞のときとなる。

この条件をL0の式に代入すると

Lm=L1

となる。

これは相互誘導回路の二次側を開放にすれば一次側だけのインダクタンス成分しか見えなくなるという意味で合っている。

著者は実効抵抗の最大値をとるケースについてω*L2-R2 < 0についても考慮しているがこの場合Rが負ということになってしまうので意味が無い。