やはり磁気エネルギーの式の導出について不安が残る。

相互誘導回路に関してこれほど演習問題を扱っている本は希である。

大抵は単一のトランスだけの問題を扱って終わっている。しかも本来は巻き線の方向によっては二通りの解があるが、ほとんどの本はその片方だけを示すにとどまっている。

L1,L2の２つのコイルが互いに誘導結合していて電圧E1,E2の交流電源がそれぞれ接続されているとすると

jωL1*I1+jωM*I2=E1

jωL2*I2+jωM*I1=E2

という関係が成り立つというもの。実際には相互誘導が互いに磁束を弱め合う方向だと

jωL1*I1-jωM*I2=E1

jωL2*I2-jωM*I1=E2

という関係が成り立つ。

従って本来は

jωL1*I1±jωM*I2=E1

jωL2*I2±jωM*I1=E2

と書くのが良いのかもしれない。ただしMの符号は全式で正負どちらか取り得ないので。２通りしかない。

ここで回路の瞬時値電力を計算すると

p=E1*I1+E2*I2
=(jωL1*I1±jωM*I2)*I1+(jωL2*I2±jωM*I1)*I2
=jωL1*I1^2+jωL2*I2^2±2*jωM*I1*I2

ということになる。従って回路に蓄えられる電磁エネルギーは

wl=(L1*I1^2+L2*I2^2±2*M*I1*I2)/2
=L1*I1^2/2+L2*I2^2/2±M*I1*I2

ということになる。

これと同様に先の問題について解く場合には、巻き線の向きと電流の流れる方向の関係の組み合わせはM1とM2の符号の組み合わせで２×２で４通りあることになる。

-case1-

(R1+jωL1)*I1+jωM1*I=E1
(R2+jωL2)*I2+jωM2*I=E2
(jωL3+jωL4)*I+jωM1*I1+jωM2*I2=0
p=R1*I1^2+R2*I2^2+jω*(L1-M1^2/(L3+L4))*I1^2+jω*(L2-M2^2/(L3+L4))*I2^2-2*M1*M2*I1*I2
wl=(L1-M1^2/(L3+L4))*I1^2/2+(L2-M2^2/(L3+L4))*I2^2/2-M1*M2*I1*I2

-case2-

(R1+jωL1)*I1-jωM1*I=E1
(R2+jωL2)*I2+jωM2*I=E2
(jωL3+jωL4)*I-jωM1*I1+jωM2*I2=0
p=R1*I1^2+R2*I2^2+jω*(L1-M1^2/(L3+L4))*I1^2+jω*(L2-M2^2/(L3+L4))*I2^2+2*M1*M2*I1*I2
wl=(L1-M1^2/(L3+L4))*I1^2/2+(L2-M2^2/(L3+L4))*I2^2/2+M1*M2*I1*I2

-case3-

(R1+jωL1)*I1+jωM1*I=E1
(R2+jωL2)*I2-jωM2*I=E2
(jωL3+jωL4)*I+jωM1*I1-jωM2*I2=0
p=R1*I1^2+R2*I2^2+jω*(L1-M1^2/(L3+L4))*I1^2+jω*(L2-M2^2/(L3+L4))*I2^2+2*M1*M2*I1*I2
wl=(L1-M1^2/(L3+L4))*I1^2/2+(L2-M2^2/(L3+L4))*I2^2/2+M1*M2*I1*I2


-case4-
(R1+jωL1)*I1-jωM1*I=E1
(R2+jωL2)*I2-jωM2*I=E2
(jωL3+jωL4)*I-jωM1*I1-jωM2*I2=0
p=R1*I1^2+R2*I2^2+jω*(L1-M1^2/(L3+L4))*I1^2+jω*(L2-M2^2/(L3+L4))*I2^2-2*M1*M2*I1*I2
wl=(L1-M1^2/(L3+L4))*I1^2/2+(L2-M2^2/(L3+L4))*I2^2/2-M1*M2*I1*I2

ということで結局は

p=R1*I1^2+R2*I2^2+jω*(L1-M1^2/(L3+L4))*I1^2+jω*(L2-M2^2/(L3+L4))*I2^2±2*M1*M2*I1*I2
wl=(L1-M1^2/(L3+L4))*I1^2/2+(L2-M2^2/(L3+L4))*I2^2/2±M1*M2*I1*I2

ということになる。著者の解はM1*M2の項が＋となるケースなのでそれ自体は間違いではないが、本来はcase2かcase3の関係から導かれなければならないが実際にはcase1の関係を用いているので導出過程でのミスであることは確かである。おろらく一般的にみかける式のように＋であるという思いこみが働いたのかもしれない。

P.S

それぞれのケースに関するMaximaでの導出を以下に示す。

-case1-

(%i43) e1:(R1+%i*o*L1)*I1+%i*o*M1*I=E1;
(%o43) I1*(R1+%i*o*L1)+%i*o*I*M1=E1
(%i44) e2:(R2+%i*o*L2)*I2+%i*o*M2*I=E2;
(%o44) I2*(R2+%i*o*L2)+%i*o*I*M2=E2
(%i45) e3:(%i*o*L3+%i*o*L4)*I+%i*o*M1*I1+%i*o*M2*I2=0;
(%o45) %i*o*I2*M2+%i*o*I1*M1+I*(%i*o*L4+%i*o*L3)=0
(%i46) e4:p=E1*I1+E2*I2;
(%o46) p=E2*I2+E1*I1
(%i47) e5:wl=(p-R1*I1^2-R2*I2^2)/(2*%i*o);
(%o47) wl=-(%i*(-I2^2*R2-I1^2*R1+p))/(2*o)
(%i48) solve([e1,e2,e3,e4,e5],[I,E1,E2,p,wl]);
(%o48) [[I=-(I2*M2+I1*M1)/(L4+L3),E1=(I1*(L4+L3)*R1-%i*o*I2*M1*M2-%i*o*I1*M1^2+%i*o*I1*L1*(L4+L3))/(L4+L3),E2=-
(I2*(-L4-L3)*R2+%i*o*(I2*M2^2+I2*L2*(-L4-L3))+%i*o*I1*M1*M2)/(L4+L3),p=
(I2^2*(L4+L3)*R2+I1^2*(L4+L3)*R1+%i*o*(I2^2*L2*(L4+L3)-I2^2*M2^2)-2*%i*o*I1*I2*M1*M2-%i*o*I1^2*M1^2+%i*o*I1^2*L1*(L4+L3))/(L4+L3),
wl=-(I2^2*M2^2+2*I1*I2*M1*M2+I1^2*M1^2+I2^2*L2*(-L4-L3)+I1^2*L1*(-L4-L3))/(2*L4+2*L3)]]

-case2-

(%i49) e1:(R1+%i*o*L1)*I1-%i*o*M1*I=E1;
(%o49) I1*(R1+%i*o*L1)-%i*o*I*M1=E1
(%i50) e2:(R2+%i*o*L2)*I2+%i*o*M2*I=E2;
(%o50) I2*(R2+%i*o*L2)+%i*o*I*M2=E2
(%i51) e3:(%i*o*L3+%i*o*L4)*I-%i*o*M1*I1+%i*o*M2*I2=0;
(%o51) %i*o*I2*M2-%i*o*I1*M1+I*(%i*o*L4+%i*o*L3)=0
(%i52) solve([e1,e2,e3,e4,e5],[I,E1,E2,p,wl]);
(%o52) [[I=(I1*M1-I2*M2)/(L4+L3),E1=(I1*(L4+L3)*R1+%i*o*I2*M1*M2-%i*o*I1*M1^2+%i*o*I1*L1*(L4+L3))/(L4+L3),E2=
(I2*(L4+L3)*R2+%i*o*(I2*L2*(L4+L3)-I2*M2^2)+%i*o*I1*M1*M2)/(L4+L3),p=
(I2^2*(L4+L3)*R2+I1^2*(L4+L3)*R1+%i*o*(I2^2*L2*(L4+L3)-I2^2*M2^2)+2*%i*o*I1*I2*M1*M2-%i*o*I1^2*M1^2+%i*o*I1^2*L1*(L4+L3))/(L4+L3),
wl=-(I2^2*M2^2-2*I1*I2*M1*M2+I1^2*M1^2+I2^2*L2*(-L4-L3)+I1^2*L1*(-L4-L3))/(2*L4+2*L3)]]

-case3-

(%i53) e1:(R1+%i*o*L1)*I1+%i*o*M1*I=E1;
(%o53) I1*(R1+%i*o*L1)+%i*o*I*M1=E1
(%i54) e2:(R2+%i*o*L2)*I2-%i*o*M2*I=E2;
(%o54) I2*(R2+%i*o*L2)-%i*o*I*M2=E2
(%i55) e3:(%i*o*L3+%i*o*L4)*I+%i*o*M1*I1-%i*o*M2*I2=0;
(%o55) -%i*o*I2*M2+%i*o*I1*M1+I*(%i*o*L4+%i*o*L3)=0
(%i56) solve([e1,e2,e3,e4,e5],[I,E1,E2,p,wl]);
(%o56) [[I=-(I1*M1-I2*M2)/(L4+L3),E1=(I1*(L4+L3)*R1+%i*o*I2*M1*M2-%i*o*I1*M1^2+%i*o*I1*L1*(L4+L3))/(L4+L3),E2=
(I2*(L4+L3)*R2+%i*o*(I2*L2*(L4+L3)-I2*M2^2)+%i*o*I1*M1*M2)/(L4+L3),p=
(I2^2*(L4+L3)*R2+I1^2*(L4+L3)*R1+%i*o*(I2^2*L2*(L4+L3)-I2^2*M2^2)+2*%i*o*I1*I2*M1*M2-%i*o*I1^2*M1^2+%i*o*I1^2*L1*(L4+L3))/(L4+L3),
wl=-(I2^2*M2^2-2*I1*I2*M1*M2+I1^2*M1^2+I2^2*L2*(-L4-L3)+I1^2*L1*(-L4-L3))/(2*L4+2*L3)]]

-case4-

(%i57) e1:(R1+%i*o*L1)*I1-%i*o*M1*I=E1;
(%o57) I1*(R1+%i*o*L1)-%i*o*I*M1=E1
(%i58) e2:(R2+%i*o*L2)*I2-%i*o*M2*I=E2;
(%o58) I2*(R2+%i*o*L2)-%i*o*I*M2=E2
(%i59) e3:(%i*o*L3+%i*o*L4)*I-%i*o*M1*I1-%i*o*M2*I2=0;
(%o59) -%i*o*I2*M2-%i*o*I1*M1+I*(%i*o*L4+%i*o*L3)=0
(%i60) solve([e1,e2,e3,e4,e5],[I,E1,E2,p,wl]);
(%o60) [[I=(I2*M2+I1*M1)/(L4+L3),E1=(I1*(L4+L3)*R1-%i*o*I2*M1*M2-%i*o*I1*M1^2+%i*o*I1*L1*(L4+L3))/(L4+L3),E2=-
(I2*(-L4-L3)*R2+%i*o*(I2*M2^2+I2*L2*(-L4-L3))+%i*o*I1*M1*M2)/(L4+L3),p=
(I2^2*(L4+L3)*R2+I1^2*(L4+L3)*R1+%i*o*(I2^2*L2*(L4+L3)-I2^2*M2^2)-2*%i*o*I1*I2*M1*M2-%i*o*I1^2*M1^2+%i*o*I1^2*L1*(L4+L3))/(L4+L3),
wl=-(I2^2*M2^2+2*I1*I2*M1*M2+I1^2*M1^2+I2^2*L2*(-L4-L3)+I1^2*L1*(-L4-L3))/(2*L4+2*L3)]]

インターネットでMutual Inductanceで検索すると英文の資料がいろいろ出てくるけど、中には磁気エネルギーの式が明らかに間違っているものがあった。どっかの大学のDr.なんたらという人が書いたものであってもうっかり鵜呑みは禁物である。

P.S

本屋にいって相互誘導回路の磁気エネルギーを扱っているものを２冊ほど購入。最初は何を言っているのかわからなかったけど、巻き線の方向によって確かに二通りがあることは事実。磁気エネルギーの式については常に正でなければならない条件からL1,L2,Mとの関係が導出できるということ。そのためMの値そのものの符号は式の上にでないようにMの項は正にする暗黙のルールがあるらしい。そうすればすべての式でMの項は正とすることができるので式が一本化できる。

ということで著者はそれを説明せずにMの項の符号を正にした式にしたということらしい。

本によっては相互誘導回路を後に学ぶ２端子対回路網（４端子回路）で詳しく扱う例もみられる。確かにここではまるとまだ先が長いので。