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webadm | 投稿日時: 2008-8-31 5:12 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3086 |
【67】Wienブリッジ 次ぎはRとCだけで構成された有名なWienブリッジの問題。
ブリッジの平衡条件を求め、それによって周波数を求めることが出来ることを示すとともに、平衡時のベクトル図を描けというもの。 前問と同様に Z1=R1 Z2=R2 Z3=1/(1/R3+jωC3) Z4=R4-j/ωC4 Z1*Z4=Z2*Z3 R1*(R4-j/ωC4)=R2*(1/(1/R3+jωC3)) 展開すると R1*R4-jR1/ωC4=R2*R3/(1+jωC3*R3) =R2*R3*(1-jωC3*R3)/(1+ω^2*C3^2*R3^2) =R2*R3/(1+ω^2*C3^2*R3^2)-jωC3*R2*R3^2/(1+ω^2*C3^2*R3^2) 従って両辺が等しくなるにはそれぞれの実数部と虚数部が等しくなければならないので R1*R4=R2*R3/(1+ω^2*C3^2*R3^2) R1/ωC4=ωC3*R2*R3^2/(1+ω^2*C3^2*R3^2) しかしこれだと簡単に解けない。ウィーンブリッジはこれまでのOwenブリッジやインダクタンスブリッジが直列回路のみだったのと違ってRC並列回路を含んでいるためである。 もうひとつの平衡条件の式 Z1/Z2=Z3/Z4 R1/R2=(1/(1/R3+jωC3))/(R4-j/ωC4) =1/((1/R3+jωC3)*(R4-j/ωC4)) =1/(R4/R3+C3/C4+j*(ωC3*R4-1/ωC4*R3)) =(R4/R3+C3/C4-j*(ωC3*R4-1/ωC4*R3))/((R4/R3+C3/C4)^2+(ωC3*R4-1/ωC4*R3)^2) =(R4/R3+C3/C4)/((R4/R3+C3/C4)^2+(ω*C3*R4-1/ωC4*R3)^2)-j*(ωC3*R4-1/ωC4*R3)/((R4/R3+C3/C4)^2+(ωC3*R4-1/ωC4*R3)^2) 従って両辺が等しくなるためにはそれぞれの実数部と虚数部が等しくなければならないので R1/R2=(R4/R3+C3/C4)/((R4/R3+C3/C4)^2+(ω*C3*R4-1/ωC4*R3)^2) (ωC3*R4-1/ωC4*R3)/((R4/R3+C3/C4)^2+(ωC3*R4-1/ωC4*R3)^2)=0 2番目の条件式より ωC3*R4-1/ωC4*R3=0 ∴ω=1/sqrt(C3*C4*R3*R4) 従って1番目の式より R1/R2=1/(R4/R3+C3/C4) R4/R3+C3/C4=R2/R1 ∴C3/C4=R2/R1-R4/R3 これが平衡条件で、ω=2πfで置き換えると 2πf=1/sqrt(C3*C4*R3*R4) ∴f=1/(2π*sqrt(C3*C4*R3*R4)) と周波数を求めることが出来る。 電源電圧ベクトルEを基準として電圧ベクトル図を描くと E=(Z1+Z3)*I1=(Z2+Z4)*I2 である関係から電圧ベクトルEはZ1*I1とZ3*I1それにZ2*I2とZ4*I2のそれぞれのベクトルの和で表すことができる。 平衡状態にあるとき Z1*I1=Z2*I2 Z3*I1=Z4*I2 であることからそれぞれのベクトルはひとつに重なる。 また Z3*I1=(1/(1/R3+jωC3))*I1 =R3*(1-jωC3*R3)*I1/(1+ω^2*C3^2*R3^2) =R3*I1/(1+ω^2*C3^2*R3^2)-jω*C3*R3^2*I1/(1+ω^2*C3^2*R3^2) であることから、Z3*I1はI1*R3/(ω^2*C3^2*R3^2+1)と-j*I1*ω*C3*R3^2/(ω^2*C3^2*R3^2+1)の2つの直交ベクトルの合成で表すことができる。 同様に Z4*I2=(R4+1/jωC4)*I2 =R4*I2-j*I2/ωC4 であることからZ4*I2はR4*I2と-j*I2/ωC4の二つの直交ベクトルの合成で表すことができる。 それぞれを複素平面上に描くと ということになる。 P.S よく考えると最初の平衡条件の式 R1*R4=R2*R3/(1+ω^2*C3^2*R3^2) R1/ωC4=ωC3*R2*R3^2/(1+ω^2*C3^2*R3^2) これを使っても同じ結果が得られる。ちょっとトリッキーだが2番目の式の両辺にωC4を乗じて R1=ω^2*C3*C4*R2*R3^2/(1+ω^2*C3^2*R3^2) これを1番目の式に代入 ω^2*C3*C4*R2*R3^2*R4/(1+ω^2*C3^2*R3^2)=R2*R3/(1+ω^2*C3^2*R3^2) ω^2*C3*C4*R2*R3^2*R4=R2*R3 ω^2=R2*R3/C3*C4*R2*R3^2*R4 =1/C3*C4*R3*R4 ∴ω=1/sqrt(C3*C4*R3*R4) これを第一の式に更に代入すると R1*R4=R2*R3/(1+C3^2*R3^2/C3*C4*R3*R4) =R2*R3/(1+C3*R3/C4*R4) 両辺に(1+C4*R4/C4*R4)を乗じると R1*R4*(1+C3*R3/C4*R4)=R2*R3 R1*R4+R1*C3*R3/C4=R2*R3 両辺をR1*R3で割ると R4/R3+C3/C4=R2/R1 ∴C3/C4=R2/R1-R4/R3 と同じ結果が得られる。式が面倒くさく間違え易いだけで解けないことはなかった。 |
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