次ぎも相互誘導回路を伴った交流ブリッジの問題。



Sを閉じてもSに電流が流れない条件を導けというもの。

以下の関係が成り立つ

2*(jωL+(-j/ωC))*I1-2*jωM*I1-jωL*I3+jωM*I3-(-j/ωC)*I2=0

(-j/ωC)*I2-(-j/ωC)*I1=E

jωL*I3-jωL*I1+jωM*I1=0

Is=I3-I2

これをI1,I2,I3,Isについて解くと

(%i22) e1:2*(%i*o*L+(-%i/(o*C))-%i*o*M)*I1-%i*o*L*I3+%i*o*M*I3-(-%i/(o*C))*I2=0;
(%o22) 2*I1*(-%i*o*M+%i*o*L-%i/(o*C))+%i*o*I3*M-%i*o*I3*L+(%i*I2)/(o*C)=0
(%i23) e2:(-%i/(o*C))*I2-(-%i/(o*C))*I1=E;
(%o23) (%i*I1)/(o*C)-(%i*I2)/(o*C)=E
(%i24) e3:%i*o*L*I3-%i*o*L*I1+%i*o*M*I1=0;
(%o24) %i*o*I1*M+%i*o*I3*L-%i*o*I1*L=0
(%i25) e4:Is=I3-I2;
(%o25) Is=I3-I2
(%i26) solve([e1,e2,e3,e4],[I1,I2,I3,Is]);
(%o26) [[I1=-(o*C*E*L)/(%i*o^2*C*M^2-%i*o^2*C*L^2+%i*L),I2=-(o^3*C^2*E*M^2-o^3*C^2*E*L^2+2*o*C*E*L)/(%i*o^2*C*M^2-%i*o^2*C*L^2+%i*L),I3=
(o*C*E*M-o*C*E*L)/(%i*o^2*C*M^2-%i*o^2*C*L^2+%i*L),Is=(o^3*C^2*E*M^2+o*C*E*M-o^3*C^2*E*L^2+o*C*E*L)/(%i*o^2*C*M^2-%i*o^2*C*L^2+%i*L)]]
(%i27) factor(%);
(%o27) [[I1=(%i*o*C*E*L)/(o^2*C*M^2-o^2*C*L^2+L),I2=(%i*o*C*E*(o^2*C*M^2-o^2*C*L^2+2*L))/(o^2*C*M^2-o^2*C*L^2+L),I3=-(%i*o*C*E*(M-L))/(o^2*C*M^2-o^2*C*L^2+L),Is=-
(%i*o*C*E*(M+L)*(o^2*C*M-o^2*C*L+1))/(o^2*C*M^2-o^2*C*L^2+L)]]

従ってIs=0となるためには

M+L=0

∴M=-L

ということになる。

もう一つの項からも

ω^2*C*M-ω^2*C*L+1=0

という条件があるがこれは整理すると

ω^2*C*(M-L)+1=0

ω=1/sqrt(C*(L-M))

ということになる。これは漏洩インダクタンス(L-M)とCとの直列共振点である。

著者の解にはこれは含まれていないが、たてた回路方程式がどっか間違っているのだろうか？　それとも著者はこの条件を見落としているのか？

試しに相互誘導回路を等価回路に置き換えて式を立ててみると



以下の関係が成り立つ

2*(jω*(L-M)+(-j/ωC))*I1-jωM*I-(-j/ωC)*I2=0

(R+(-j/ωC))*I2-R*I-(-j/ωC)*I1=E

(R+jωM+jω*(L-M))*I-jω*(L-M)*I1-R*I2=0

Is=I2-I

これをI,I1,I2,Isについて解くと
(%i47) e1:2*(%i*o*(L-M)+(-%i/(o*C)))*I1-%i*o*(L-M)*I-(-%i/(o*C))*I2=0;
(%o47) -%i*o*I*(L-M)+2*I1*(%i*o*(L-M)-%i/(o*C))+(%i*I2)/(o*C)=0
(%i48) e2:(%i*o*M+%i*o*(L-M)+R)*I-%i*o*(L-M)*I1-R*I2=0;
(%o48) I*(R+%i*o*M+%i*o*(L-M))-I2*R-%i*o*I1*(L-M)=0
(%i49) e3:(R+(-%i/(o*C)))*I2-R*I-(-%i/(o*C))*I1=E;
(%o49) I2*(R-%i/(o*C))-I*R+(%i*I1)/(o*C)=E
(%i50) e4:Is=I2-I;
(%o50) Is=I2-I
(%i51) solve([e1,e2,e3,e4],[I,I1,I2,Is]);
(%o51) [[I=-(M*(2*%i*o^3*C^2*E*R+o^2*C*E)+L*(-2*%i*o^3*C^2*E*R-o^2*C*E)+2*%i*o*C*E*R)/(M^2*(o^4*C^2*R-%i*o^3*C)+L^2*(%i*o^3*C-o^4*C^2*R)+L*(2*o^2*C*R-%i*o)-R),I1=-
(L*(-%i*o^3*C^2*E*R-o^2*C*E)+%i*o^3*C^2*E*M*R+%i*o*C*E*R)/(M^2*(o^4*C^2*R-%i*o^3*C)+L^2*(%i*o^3*C-o^4*C^2*R)+L*(2*o^2*C*R-%i*o)-R),I2=
(L*(2*%i*o^3*C^2*E*R+2*o^2*C*E)-2*%i*o^3*C^2*E*M*R-2*%i*o*C*E*R+o^4*C^2*E*M^2-o^4*C^2*E*L^2)/(M^2*(o^4*C^2*R-%i*o^3*C)+L^2*(%i*o^3*C-o^4*C^2*R)+L*(2*o^2*C*R-%i*o)-R),Is=
(o^4*C^2*E*M^2+o^2*C*E*M-o^4*C^2*E*L^2+o^2*C*E*L)/(M^2*(o^4*C^2*R-%i*o^3*C)+L^2*(%i*o^3*C-o^4*C^2*R)+L*(2*o^2*C*R-%i*o)-R)]]
(%i52) factor(%);
(%o52) [[I=-(o*C*E*(2*%i*o^2*C*M*R-2*%i*o^2*C*L*R+2*%i*R+o*M-o*L))/(o^4*C^2*M^2*R-o^4*C^2*L^2*R+2*o^2*C*L*R-R-%i*o^3*C*M^2+%i*o^3*C*L^2-%i*o*L),I1=-
(o*C*E*(%i*o^2*C*M*R-%i*o^2*C*L*R+%i*R-o*L))/(o^4*C^2*M^2*R-o^4*C^2*L^2*R+2*o^2*C*L*R-R-%i*o^3*C*M^2+%i*o^3*C*L^2-%i*o*L),I2=-
(o*C*E*(2*%i*o^2*C*M*R-2*%i*o^2*C*L*R+2*%i*R-o^3*C*M^2+o^3*C*L^2-2*o*L))/(o^4*C^2*M^2*R-o^4*C^2*L^2*R+2*o^2*C*L*R-R-%i*o^3*C*M^2+%i*o^3*C*L^2-%i*o*L),Is=
(o^2*C*E*(M+L)*(o^2*C*M-o^2*C*L+1))/(o^4*C^2*M^2*R-o^4*C^2*L^2*R+2*o^2*C*L*R-R-%i*o^3*C*M^2+%i*o^3*C*L^2-%i*o*L)]]

やはりIs=0となる条件は

M+L=0

ω^2*C*M-ω^2*C*L+1=0

と２つであることがわかる。

第一の条件から

∴M=-L

第二の条件から

∴ω=1/sqrt(C*(L-M))

ということになる。

P.S

試しにIsの実効値をR=0の条件でプロットしてみると、やはり共振点付近(M=1uH,L=1.82uH,C=0.001uFの時約175.757MHz）で電流がぐっと落ち込んでいるのが確認できる。式の上では分子が０となる点なのでこれも条件としては間違いがないと思われる。ピークがある点は分母の式が０となる条件（f=(1/2π)*sqrt(L/C*(L^2-M^2)),上と同じ回路定数で約141.197MHz)でこちらは電流が∞になることを意味する。

(%i51)
plot2d([(%pi^2*x^2*sqrt(((-1.0599680000000002*10^-34*%pi^4*x^4+1.4559999999999996*10^
-17*%pi^2*x^2+1)/1000000000000+1.9155190015999995*10^-46*%pi^4*x^4+(3.6399999999999995*10^
-6-2.6499199999999998*10^-23*%pi^2*x^2)/1000000-4.0228543999999993*10^-29*%pi^2*x^2
+3.3123999999999983*10^-12)/((5.8239999999999998*10^-17*%pi^4*x^4-4.2398720000000008*10^
-34*%pi^6*x^6)/1000000000000+7.662076006399998*10^-46*%pi^6*x^6-1.9291417599999991*10^
-28*%pi^4*x^4+1.3249599999999992*10^-11*%pi^2*x^2)))/(250000000000)], [x,1000,10^9],
[gnuplot_preamble, "set logscale x; set grid;set logscale y;"])$



回路シミュレーターで同じ定数の等価回路のAC特性を取ってみると共振周波数が違うが同じ傾向が確認できる。

不思議な回路である。

ただよく考えたらスイッチを開いた状態(R=∞）の場合には、Isの式の分母の実数部が∞になるのでIsは０になってしまうことになる。これも問題としてはなんだかなということになる。

もはや禁断の領域へ踏み込んでしまったか。

この問題は面白いので後日実験してみよう。