次ぎは交流ブリッジを応用した損失のあるケーブルの容量の測定回路の問題。



交流ブリッジの平衡条件

Z1*Z4=Z2*Z3

∴Z4=Z2*Z3/Z1

これに

Z1=1/(1/P+jωC)
Z2=Q
Z3=1/jωCs

を代入すると

Z4=Q*(1/jωCs)/(1/(1/P+jωC))
=-j*(Q/ωCs)/(P/(1+jωC*P))
=-j*(Q/ωCs)*(1+jωC*P)/P
=(Q/ωCs)*(ωC*P-j)/P
=Q*C/Cs-j*Q/ωCs*P

一方

Z4=1/(1/Rx+jωCx)
=Rx/(1+jωCx*Rx)
=Rx*(1-jωCx*Rx)/(1+ω^2*Cx^2*Rx^2)
=(Rx-jωCx*Rx^2)/(1+ω^2*Cx^2*Rx^2)

２つの式が等価であるためにはそれぞれの実数部と虚数部が等しくなければならず

Q*C/Cs=Rx/(1+ω^2*Cx^2*Rx^2)

Q/ωCs*P=ωCx*Rx^2/(1+ω^2*Cx^2*Rx^2)

が成り立つ必要がある。

上記の２式をCx,Rxに関する連立方程式として解くと

(%i71) e1:Q*C/Cs=Rx/(1+o^2*Cx^2*Rx^2);
(%o71) (C*Q)/Cs=Rx/(Cx^2*o^2*Rx^2+1)
(%i72) e2:Q/(o*Cs*P)=o*Cx*Rx^2/(1+o^2*Cx^2*Rx^2);
(%o72) Q/(Cs*o*P)=(Cx*o*Rx^2)/(Cx^2*o^2*Rx^2+1)
(%i73) solve([e1,e2],[Cx,Rx]);
(%o73) [[Cx=(Cs*P)/((o^2*C^2*P^2+1)*Q),Rx=((o^2*C^2*P^2+1)*Q)/(Cs*o^2*C*P^2)]]

従って

Cx=(Cs*P)/((ω^2*C^2*P^2+1)*Q)

Rx=((ω^2*C^2*P^2+1)*Q)/(Cs*ω^2*C*P^2)

ということになる。

従って力率cosφは

cosφ=Rx/|Z4|
=Rx/sqrt(Rx^2/(Cx^2*ω^2*Rx^2+1)^2+(Cx^2*ω^2*Rx^4)/(Cx^2*ω^2*Rx^2+1)^2)
=Rx*(Cx^2*ω^2*Rx^2+1)/sqrt(Rx^2+(Cx^2*ω^2*Rx^4))
=Rx*(Cx^2*ω^2*Rx^2+1)/(Rx*sqrt(1+(Cx^2*ω^2*Rx^2)))
=(Cx^2*ω^2*Rx^2+1)/sqrt(1+(Cx^2*ω^2*Rx^2))
=1/sqrt(1+(Cx^2*ω^2*Rx^2))
=1/sqrt(1+(((Cs*P)/((ω^2*C^2*P^2+1)*Q))^2*ω^2*(((ω^2*C^2*P^2+1)*Q)/(Cs*ω^2*C*P^2))^2)
=1/sqrt(1+((Cs*P)^2*ω^2/(Cs*ω^2*C*P^2))^2)
=1/sqrt(1+1/(ω*C*P)^2)
=ω*C*P/sqrt(1+ω^2*C^2*P^2)

ということになる。

著者は平衡条件の式をアドミッタンスの式に直して解いている。そっちの方が素直に解ける。