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webadm | 投稿日時: 2008-9-6 23:18 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3068 |
【85】直線を描くベクトルの逆数ベクトルの軌跡 これも理論でやった問題のおさらい。
直線を描くベクトルの座標(x,y)には以下の関係が成り立つ y=-m*x+k mは直線の実軸に対する傾き、kは直線の虚軸との交点。 そのベクトルは Z=x+j*y で表される。 従ってその逆数は Y=1/Z=1/(x+j*y) =(x-j*y)/(x^2+y^2) =x/(x^2+y^2)-j*y/(x^2+y^2) ここで G=x/(x^2+y^2) B=-y/(x^2+y^2) とすると Y=B+jG で表される。 一方 G^2+B^2=x^2/(x^2+y^2)^2+(-y)^2/(x^2+y^2) =(x^2+y^2)/(x^2+y^2)^2 =1/(x^2+y^2) =G/x =-B/y 従って x=G/(G^2+B^2) y=-B/(G^2+B^2) これを最初の直線の式に代入すると -B/(G^2+B^2)=-m*G/(G^2+B^2)+k 両辺に(G^2+B^2)/kを乗じると -B/k=-(m/k)*G+(G^2+B^2) 整理すると G^2-(m/k)*G+B^2+B/k=0 従って (G-m/2*k)^2+(B+1/2*k)^2=(m/2*k)^2+(1/2*k)^2 (G-m/2*k)^2+(B+1/2*k)^2=(m^2+1)/(2*k))^2 従ってこれは中心を(m/2*k,-1/2*k)とする半径sqrt(m^2+1)/2*kの円の式となる。 直線が実軸と並行な場合(m=0)円の中心は(0,-1/2*k)となり半径は1/2*kとなる。 一方直線が x=n*y+l で表される時同様に x=G/(G^2+B^2) y=-B/(G^2+B^2) を代入すると G/(G^2+B^2)=n*(-B/(G^2+B^2))+l 両辺に(G^2+B^2)/lを乗じると G/l=-B*(n/l)+(G^2+B^2) 整理すると G^2-G/l+B^2-B*(n/l)=0 従って (G-1/2*l)^2+(B-n/2*l)^2=(1/2*l)^2+(n/2*l)^2 (G-1/2*l)^2+(B-n/2*l)^2=(1+n^2)/(2*l)^2 従って逆数のベクトルは中心を(1/2*l,n/2*l)とし半径をsqrt(1+n^2)/2*lとする円を描く。 直線が虚軸と交わらない場合(n=0の場合)、中心が(1/2*l,0)で半径が1/2*lの円を描く。 |
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