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webadm | 投稿日時: 2009-8-13 8:34 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3068 |
【4】ノコギリ波のFourier級数展開 次ぎもFourier級数展開の問題。
ノコギリ波は、アナログオシロスコープの水平スイープ偏向信号とか、スイープジェネレーターのVCOの制御信号とか、アナログTVの水平偏向信号とかいろいろ使われている。 いずれもリニアに右上がりで上昇する電圧が、ある時点でリセットするか急降下するを繰り返すもの。リニアな上昇のところでオシロスコープやTVなどでビームを水平方向に走査される。スイープジェネレータではVCOの周波数がリニアに上昇する。 ノコギリ波は時間軸の原点をどこにおいても対称波でもなく、偶関数でもなく奇関数でもない。 題意から e(t) =(2*A/T)*t (0≦t≦T/2) =0 (T/2≦t≦T) Fouier級数を e(t)=(1/2)b0+Σ(an*sin(nωt)+bn*cos(nωt))dt とするとFourier係数はそれぞれ b0=(2/T)∫y(t)dt (0≦t≦T) =(2/T)∫(2*A/T)*tdt (0≦t≦T/2) +(2/T)∫0dt (T/2≦t≦T) =(2/T)*(2*A/T)*(T^2/8) =A/2 an=(2/T)∫y(t)*sin(nωt)dt (0≦t≦T) =(2/T)∫(2*A/T)*t*sin(nωt)dt (0≦t≦T/2) +(2/T)∫0*sin(nωt)dt (T/2≦t≦T) =(2/T)*(2*A/T)*(sin(nωT/2)-nωT*cos(nωT/2))/(2*n^2*ω^2) =(2*A/T^2)*(sin(nωT/2)-nωT*cos(nωT/2))/(n^2*ω^2) ここで ω=2π/T を代入すると an=(2*A/T^2)*(sin(nπ)-2πn*cos(nπ))/(n^2*(2π/T)^2) =(A/2π^2)*(sin(nπ)-2πn*cos(nπ))/n^2 =-(A/π)*cos(nπ)/n =-(A/π)*(-1)^n/n (n=1,∞) また bn=(2/T)∫y(t)*cos(nωt)dt (0≦t≦T) =(2/T)∫(2*A/T)*t*cos(nωt)dt (0≦t≦T/2) +(2/T)∫0*cos(nωt)dt (T/2≦t≦T) =(2/T)*(2*A/T)∫t*cos(nωt)dt (0≦t≦T/2) =(4*A/T^2)*((nωT*sin(nωT/2)+2*cos(nωT/2))/(2*n^2*ω^2)-1/(n^2ω^2)) ここで ω=2π/T を代入すると bn=(4*A/T^2)*(2πn*sin(nπ)+2*cos(nπ))/(2*n^2*(2π/T)^2)-1/(n^2*(2π/T)^2)) =(A/π^2)*(2πn*sin(nπ)+2*cos(nπ))/(2*n^2)-1/n^2) =(A/π^2)*(cos(nπ)/n^2-1/n^2) =(A/π^2)*((-1)^n/n^2-1/n^2) (n=1,∞) =-(2*A/π^2)/n^2 (n=1,3,5,...) =0 (n=2,4,6,...) ということになる。 従ってFourier級数は e(t)=(1/2)b0+Σ(an*sin(nωt)+bn*cos(nωt)) =(1/2)*(A/2)+Σ((-(A/π)*(-1)^n/n)*sin(nωt)+(A/π^2)*((-1)^2n/n^2-1/n^2)*cos(nωt)) (n=1,∞) =A/4+(A/π)*(sin(ωt)-(1/2)*sin(2ωt)+(1/3)*sin(3ωt)+...) -(2*A/π^2)*(cos(ωt)+(1/9)*cos(3ωt)+(1/25)*cos(5ωt)+...) ということになる。 これをプロットしてみると wxplot2d([-(2*(cos(5*x)/25+cos(3*x)/9+cos(x)))/%pi^2+(sin(3*x)/3-sin(2*x)/2+sin(x))/%pi +1/4], [x,0,4*%pi])$ ううむ、いまいち直線性が悪く収束が甘いけど致し方ない。 これから判るのは、ノコギリ波の直線性を良くするには回路にかなりの広帯域特性が要求されるということである。昔からアマチュア無線の送信機の終段にはTV用の水平偏向出力管がよく流用されていたのは広帯域性と直線性の良さからだろう。 |
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