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webadm | 投稿日時: 2009-8-14 10:46 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3086 |
【6】奇関数波のFourier係数 次ぎも理論の時に出てきた奇関数のFouier係数の式を導く問題。
奇関数は原点を中心に対称な波形なので y(t)=-y(-t) が成り立つ。 従ってFourier級数展開 y(t)=(1/2)b0+Σ(an*sin(nωt)+bn*cos(nωt)) -y(-t)=-(1/2)b0-Σ(an*sin(-nωt)+bn*cos(-nωt)) =-(1/2)b0+Σan*sin(nωt)-Σbn*cos(nωt) 上記の2式が相等しくなければならず、それには b0=bn=0 でなければならない また an=(2/T)∫y(t)*sin(nωt)dt (0≦t≦T) =(2/T)∫y(t)*sin(nωt)dt (0≦t≦T/2) +(2/T)∫y(t+T/2)*sin(nω(t+T/2))dt (0≦t≦T/2) =(2/T)∫y(t)*sin(nωt)dt (0≦t≦T/2) -(2/T)∫(-t-T/2)*sin(nω(t+T/2))dt (0≦t≦T/2) =(2/T)∫y(t)*sin(nωt)dt (0≦t≦T/2) +(2/T)∫y(t)*sin(nωt)dt (-T/2≧t≧0) =(2/T)∫y(t)*sin(nωt)dt (0≦t≦T/2) +(2/T)∫y(-t)*sin(-nωt)dt (0≦t≦T/2) =(2/T)∫y(t)*sin(nωt)dt+(2/T)∫y(t)*sin(nωt)dt (0≦t≦T/2) =(4/T)∫y(t)*sin(nωt)dt (0≦t≦T/2) ということになる。 面倒なのは一周期の積分ではなく半周期の積分の2倍で表されるという証明である。左右波形は対称なので半周期の積分は等しいのは自明だが、数学的に証明するのは結構骨がおれる。 繰り返し関数なので y(t)=y(t+T)=y(t-T) また奇関数の性質 y(t)=-y(-t) と、定積分の ∫f(x)dx (x=a,c) +∫f(x)dx (x=c,b) =∫f(x)dx (x=a,b) という性質やf(x)の原始関数をF(x)とした場合 -∫f(x)dx (x=a,b) =∫f(x)dx (x=b,a) =-(F(b)-F(a)) =F(a)-F(b) を利用した。 IQ値の低い者にとってはつらいのう。 |
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