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webadm | 投稿日時: 2009-8-14 11:12 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3068 |
【7】偶関数波のFourier係数 次ぎは同様に偶関数波のFourier係数の式の導出問題。
偶関数波は時間0を境に左右対称になるので y(t)=y(-t) が成り立つ。 従ってFourier級数展開は y(t)=(1/2)b0+Σ(an*sin(nωt)+bn*cos(nωt)) y(-t)=(1/2)b0+Σ(an*sin(-nωt)+bn*cos(-nωt)) =(1/2)b0-Σan*sin(nωt)+Σbn*cos(nωt) 上記の二式は相等しくなければならないため an=0でなければならない。 b0=(2/T)∫y(t)dt (0≦t≦T) =(2/T)∫y(t)dt (0≦t≦T/2) +(2/T)∫y(t)dt (T/2≦t≦T) =(2/T)∫y(t)dt (0≦t≦T/2) +(2/T)∫y(t-T)dt (T/2≦t≦T) =(2/T)∫y(t)dt (0≦t≦T/2) +(2/T)∫y(-(t-T))dt (T/2≧t≧0) =(2/T)∫y(t)dt (0≦t≦T/2) +(2/T)∫y(t-T)dt (0≦t≦T/2) =(2/T)∫y(t)dt+(2/T)∫y(t)dt (0≦t≦T/2) =(4/T)∫y(t)dt (0≦t≦T/2) ということになる。 面倒なのは一周期の積分ではなく半周期の積分の2倍で表されるという証明である。左右波形は対称なので半周期の積分は等しいのは自明だが、数学的に証明するのは結構骨がおれる。 繰り返し関数なので y(t)=y(t+T)=y(t-T) また偶関数の性質 y(t)=y(-t) と、定積分の ∫f(x)dx (x=a,c) +∫f(x)dx (x=c,b) =∫f(x)dx (x=a,b) という性質やf(x)の原始関数をF(x)とした場合 -∫f(x)dx (x=a,b) =∫f(x)dx (x=b,a) =-(F(b)-F(a)) =F(a)-F(b) を利用した。 まさに数式の知恵の輪を解くようなものである。 |
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