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投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2009-8-20 8:03
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3068
【11】台形波のFourier級数展開
次ぎもFourier級数展開の問題。以下の様な台形波をFourier級数展開する。



波形は明らかに奇関数波なので奇関数の基本波と高調波のみでFourier級数展開されることは想像に難くない。

それだと著者の解と同じなので面白くないので、別の方法でやってみよう。

以前の問題でもやった重ね合わせの理で求めてみよう。

問題の台形波はデューティ比50%の矩形波に以下のノコギリ波を重ね合わせたものと考えることが出来る。



この波形も奇関数波でかつ対称波である。

最初に矩形波のFourier級数展開を導くと奇関数波でかつ対称波なので奇数次の高調波からなり

b0=bn=0

従って

an=(4/T)∫f(t)*sin((2m+1)ωt)dt (0≦t≦T/2)
=(8/T)∫f(t)*sin((2m+1)ωt)dt (0≦t≦T/4)
=(8/T)∫A*sin((2m+1)ωt)dt (m=0,∞)
=(8*A/T)∫sin((2m+1)ωt)dt (0≦t≦T/4)
=(8*A/T)*(1/(2m+1)ω-cos((2m+1)ωT/4)/(2m+1)ω)

ここで

ω=2π/T

を代入すると

an=(8*A/T)*(T/2π(2m+1)-Tcos((2m+1)π/2)/2π(2m+1))
=4*A/(2m+1)π

従って矩形波のFourier級数展開は

f(t)=(4*A/π)Σ(sin((2m+1)ωt)/(2m+1))
=(4*A/π)*(sin(ωt)+sin(3ωt)/3+sin(5ωt)/5+...)

ということになる。プロットしてみると、

wxplot2d([(4*(sin(5*x)/5+sin(3*x)/3+sin(x)))/%pi], [x,-5,5])$



一方重ね合わせるノコギリ波のFourier級数展開も奇関数波でかつ対称波なので

g(t)=-(A/τ)*(τ-t)
=-f(τ-t) (0≦t≦τ)
=0 (τ≦t≦T/4)

従ってFourier係数は

an=(8/T)∫g(t)*sin((2m+1)ωt)dt (0≦t≦T/4)
=(8/T)∫(-A/τ)*(τ-t)*sin((2m+1)ωt)dt (0≦t≦τ)
=-(8*A/Tτ)∫(τ-t)*sin((2m+1)ωt)dt
=-(8*A/Tτ)*(τ/(2m+1)ω-sin((2m+1)ωτ)/(2m+1)^2*ω^2)

ここで

T=2π/ω

を代入すると

an=-(4*A/πτ)*(τ/(2m+1)-sin((2m+1)ωτ)/(2m+1)^2*ω)
=-4*A/(2m+1)π+(4*A/(2m+1)^2*πω^2τ)*sin((2m+1)ωτ)
=(4*A/π)*(-1/(2m+1)+sin((2m+1)ωτ)/(2m+1)^2ωτ)

ということになり

g(t)=(4*A/π)Σ(-1/(2m+1)+sin((2m+1)ωτ)/(2m+1)^2ωτ)*sin((2m+1)ωt)

と表すことができる。

τ=π/8としてプロットしてみると

wxplot2d([(4*((8*sin((5*%pi)/8)*sin(5*x))/(25*%pi)-sin(5*x)/5+(8*sin((3*%pi)/8)*sin(3*x))/(9*%pi)
-sin(3*x)/3+(8*sin(%pi/8)*sin(x))/%pi-sin(x)))/%pi], [x,-5,5])$



題意の台形波は上記2つの関数の合成なので

y(t)=f(t)+g(t)
=(4*A/π)Σ(sin((2m+1)ωt)/(2m+1))+(4*A/π)Σ(-1/(2m+1)+sin((2m+1)ωτ)/(2m+1)^2ωτ)*sin((2m+1)ωt)
=(4*A/π)Σ(sin((2m+1)ωτ)/(2m+1)^2ωτ)*sin((2m+1)ωt)
=(4*A/πωτ)*(sin(ωτ)*sin(ωt)+(sin(3ωτ)/3^2)*sin(3ωt)+(sin(5ωτ)/5^2)*sin(5ωt)+...)

ということになる。これは著者の解と同じ。

5次までの高調波をプロットしてみると

wxplot2d([(32*((sin((3*%pi)/8)*sin(3*x))/9+sin(%pi/8)*sin(x)+sin((5*%pi)/8)/25))/%pi^2],
[x,-5,5])$



ちょっと収束が甘いけど台形に近づいてはいる。

P.S

良く見るとg(t)のFourier級数展開はy(t)-f(t)の形をしている。つまり極性を反転した矩形波に目的の台形波を重ね合わせたものになっている。考えてみれば当たり前だが。
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題名 投稿者 日時
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     【4】ノコギリ波のFourier級数展開 webadm 2009-8-13 8:34
     【5】対称波のFourier係数 webadm 2009-8-14 9:45
     【6】奇関数波のFourier係数 webadm 2009-8-14 10:46
     【7】偶関数波のFourier係数 webadm 2009-8-14 11:12
     【8】奇数次高調波のみの波形 webadm 2009-8-18 9:46
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     【10】ノコギリ波のFourier級数展開(その3) webadm 2009-8-20 6:58
   » 【11】台形波のFourier級数展開 webadm 2009-8-20 8:03
     【12】ノコギリ波のFourier級数展開(その4) webadm 2009-8-21 10:15
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