フラット表示 | 前のトピック | 次のトピック |
投稿者 | スレッド |
---|---|
webadm | 投稿日時: 2009-8-25 10:05 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3068 |
【24】キャパシタンスに流れる電流のFourier級数展開 次ぎは以下の様な電圧波形をキャパシタンスCに加えた時に流れる電流をFourier級数により求めると供に電圧の時間微分より求めた電流と比較して一致するか確かめよというもの。
電圧波形を式で表すと e(t)=A*t/(T/2) (0≦t≦T/2) =A-A*t/(T/2) (T/2≦t≦T) これは偶関数波なので偶関数の基本波、高調波のみからなるためそのFourier級数展開は e(t)=(1/2)b0+Σbn*cos(nωt) という形になる。 従って b0=(4/T)∫e(t)dt (0≦t≦T/2) =(4/T)∫(A*t/(T/2))dt =(8*A/T^2)∫tdt =(8*A/T^2)*(T^2/8) =A bn=(4/T)∫e(t)*cos(nωt)dt (0≦t≦T/2) =(4/T)∫(A*t/(T/2))*cos(nωt)dt =(8*A/T^2)∫t*cos(nωt)dt =(8*A/T^2)*((nωT*sin(nωT/2)+2*cos(nωT/2))/2n^2ω^2-1/n^2ω^2) ここで ω=2π/T を代入すると bn=(8*A/T^2)*((2πn*sin(nπ)+2*cos(nπ))/2n^2(2π/T)^2-1/n^2(2π/T)^2) =(8*A/T^2)*(cos(nπ)-1)*T^2/4π^2n^2 =(2*A/π^2)*((-1)^2-1)/n^2 =-(4*A/π^2)/(2m+1)^2 (m=0,∞) 従って e(t)=A/2+Σ(-(4*A/π^2)/(2m+1)^2)*cos((2m+1)ωt) (m=0,∞) =A/2-(4*A/π^2)*(cos(ωt)+(1/3^2)*cos(3ωt)+(1/5^2)*cos(5ωt)+...) ということになる。 この電圧瞬時値をキャパシタンスCに加えると流れる電流は以下の回路で基本波及び高調波をそれぞれ単独で考えた場合に流れる電流の重ね合わせであるので 基本波電源に関して流れる電流は i(t)=C*d(e(t))/dt =C*d(A/2-(4*A/π^2)*(cos(ωt)+(1/3^2)*cos(3ωt)+(1/5^2)*cos(5ωt)+...))/dt =(4*A*ωC/π^2)*(sin(ωt)+(1/3)*sin(3ωt)+(1/5)*sin(5ωt)+...) ということになる。 一方電圧波形を微分して得られる電流波形は i(t)=C*d(A*t/(T/2))/dt (0≦t≦T/2) =2*A*C/T (0≦t≦T/2) =C*d(A-A*t/(T/2))/dt (T/2≦t≦T) =-2*A*C/T (T/2≦t≦T) ということになる。これは方形波で奇数波かつ対称波であるのでFourier級数展開は奇数時で奇関数の基本波と高調波からなる i(t)=Σa(2m+1)*sin((2m+1)ωt) (m=0,∞) a(2m+1)=(4/T)∫(2*A*C/T)*sin((2m+1)ωt)dt (0≦t≦T/2) =(8*A*C/T^2)∫sin(nωt)dt =(8*A*C/T^2)*(1/(2m+1)ω-cos((2m+1)ωT/2)/(2m+1)ω) ここで ω=2π/T を代入すると a(2m+1)=(8*A*C/T^2)*(1/(2m+1)*(2π/T)-cos((2m+1)*(2π/T)*T/2)/(2m+1)*(2π/T)) =(4*A*C/T)*(1/(2m+1)π-cos((2m+1)π)/(2m+1)π) =(4*A*C/πT)*(1-(-1)^(2m+1))/(2m+1) ここで T=2π/ω を代入すると an(2m+1)=(4*A*C/π(2π/ω))*(1-(-1)^(2m+1))/(2m+1) =(2*A*ωC/π^2)*(1-(-1)^(2m+1))/(2m+1) =(4*A*ωC/π^2)/(2m+1) ということになる。従ってFourier級数展開は i(t)=(4*A*ωC/π^2)Σsin((2m+1)/(2m+1) =(4*A*ωC/π^2)*(sin(ωt)+(1/3)*sin(3ωt)+(1/5)*sin(5ωt)+...) ということになる。これは先に導いた式と一致している。 |
フラット表示 | 前のトピック | 次のトピック |
投稿するにはまず登録を | |