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投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2009-8-25 10:05
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3068
【24】キャパシタンスに流れる電流のFourier級数展開
次ぎは以下の様な電圧波形をキャパシタンスCに加えた時に流れる電流をFourier級数により求めると供に電圧の時間微分より求めた電流と比較して一致するか確かめよというもの。



電圧波形を式で表すと

e(t)=A*t/(T/2) (0≦t≦T/2)
=A-A*t/(T/2) (T/2≦t≦T)

これは偶関数波なので偶関数の基本波、高調波のみからなるためそのFourier級数展開は

e(t)=(1/2)b0+Σbn*cos(nωt)

という形になる。

従って

b0=(4/T)∫e(t)dt (0≦t≦T/2)
=(4/T)∫(A*t/(T/2))dt
=(8*A/T^2)∫tdt
=(8*A/T^2)*(T^2/8)
=A

bn=(4/T)∫e(t)*cos(nωt)dt (0≦t≦T/2)
=(4/T)∫(A*t/(T/2))*cos(nωt)dt
=(8*A/T^2)∫t*cos(nωt)dt
=(8*A/T^2)*((nωT*sin(nωT/2)+2*cos(nωT/2))/2n^2ω^2-1/n^2ω^2)

ここで

ω=2π/T

を代入すると

bn=(8*A/T^2)*((2πn*sin(nπ)+2*cos(nπ))/2n^2(2π/T)^2-1/n^2(2π/T)^2)
=(8*A/T^2)*(cos(nπ)-1)*T^2/4π^2n^2
=(2*A/π^2)*((-1)^2-1)/n^2
=-(4*A/π^2)/(2m+1)^2 (m=0,∞)

従って

e(t)=A/2+Σ(-(4*A/π^2)/(2m+1)^2)*cos((2m+1)ωt) (m=0,∞)
=A/2-(4*A/π^2)*(cos(ωt)+(1/3^2)*cos(3ωt)+(1/5^2)*cos(5ωt)+...)

ということになる。

この電圧瞬時値をキャパシタンスCに加えると流れる電流は以下の回路で基本波及び高調波をそれぞれ単独で考えた場合に流れる電流の重ね合わせであるので



基本波電源に関して流れる電流は

i(t)=C*d(e(t))/dt
=C*d(A/2-(4*A/π^2)*(cos(ωt)+(1/3^2)*cos(3ωt)+(1/5^2)*cos(5ωt)+...))/dt
=(4*A*ωC/π^2)*(sin(ωt)+(1/3)*sin(3ωt)+(1/5)*sin(5ωt)+...)

ということになる。

一方電圧波形を微分して得られる電流波形は

i(t)=C*d(A*t/(T/2))/dt (0≦t≦T/2)
=2*A*C/T (0≦t≦T/2)
=C*d(A-A*t/(T/2))/dt (T/2≦t≦T)
=-2*A*C/T (T/2≦t≦T)

ということになる。これは方形波で奇数波かつ対称波であるのでFourier級数展開は奇数時で奇関数の基本波と高調波からなる

i(t)=Σa(2m+1)*sin((2m+1)ωt) (m=0,∞)

a(2m+1)=(4/T)∫(2*A*C/T)*sin((2m+1)ωt)dt (0≦t≦T/2)
=(8*A*C/T^2)∫sin(nωt)dt
=(8*A*C/T^2)*(1/(2m+1)ω-cos((2m+1)ωT/2)/(2m+1)ω)

ここで

ω=2π/T

を代入すると

a(2m+1)=(8*A*C/T^2)*(1/(2m+1)*(2π/T)-cos((2m+1)*(2π/T)*T/2)/(2m+1)*(2π/T))
=(4*A*C/T)*(1/(2m+1)π-cos((2m+1)π)/(2m+1)π)
=(4*A*C/πT)*(1-(-1)^(2m+1))/(2m+1)

ここで

T=2π/ω

を代入すると

an(2m+1)=(4*A*C/π(2π/ω))*(1-(-1)^(2m+1))/(2m+1)
=(2*A*ωC/π^2)*(1-(-1)^(2m+1))/(2m+1)
=(4*A*ωC/π^2)/(2m+1)

ということになる。従ってFourier級数展開は

i(t)=(4*A*ωC/π^2)Σsin((2m+1)/(2m+1)
=(4*A*ωC/π^2)*(sin(ωt)+(1/3)*sin(3ωt)+(1/5)*sin(5ωt)+...)

ということになる。これは先に導いた式と一致している。
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題名 投稿者 日時
   Fourier変換と波形解析:演習問題 webadm 2009-8-7 11:06
     【1】波形補間 webadm 2009-8-7 12:03
     【2】Fourier係数の式の導出 webadm 2009-8-8 21:17
     【3】半波整流波のFourier級数展開 webadm 2009-8-12 10:08
     【4】ノコギリ波のFourier級数展開 webadm 2009-8-13 8:34
     【5】対称波のFourier係数 webadm 2009-8-14 9:45
     【6】奇関数波のFourier係数 webadm 2009-8-14 10:46
     【7】偶関数波のFourier係数 webadm 2009-8-14 11:12
     【8】奇数次高調波のみの波形 webadm 2009-8-18 9:46
     【9】ノコギリ波のFourier級数展開(その2) webadm 2009-8-19 2:40
     【10】ノコギリ波のFourier級数展開(その3) webadm 2009-8-20 6:58
     【11】台形波のFourier級数展開 webadm 2009-8-20 8:03
     【12】ノコギリ波のFourier級数展開(その4) webadm 2009-8-21 10:15
     【13】ひずみ波の電流 webadm 2009-8-22 7:06
     【14】ひずみ波の実効値 webadm 2009-8-22 11:14
     【15】インダクタンスの補正係数 webadm 2009-8-22 12:02
     【16】キャパシタンスの補正係数 webadm 2009-8-22 20:09
     【17】キャパシタンスの補正係数(その2) webadm 2009-8-22 20:25
     【18】RL直列回路に流れるひずみ波電流の実効値 webadm 2009-8-22 21:07
     【19】ひずみ波の有効電力 webadm 2009-8-22 21:39
     【20】ひずみ波の電力と力率 webadm 2009-8-23 2:47
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