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webadm | 投稿日時: 2009-8-26 2:16 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3084 |
【28】全波整流波電圧のFourier級数展開と波形率、波高率 次の問題は全波整流波電圧のFourier級数展開を求め、その波形率と波高率を求めよというもの。
波形を式で表すと e(t)=A*sin(ωt) (0≦t≦T/2) =-A*sin(ωt) (T/2≦t≦T) この波形は遇関数波で、1/4周期毎に対称なのでそのFourier級数展開は e(t)=(1/2)b0+Σbn*cos(nωt) の形をとるはずである。従って b0=(4/T)∫e(t)dt (0≦t≦T/2) =(4/T)∫A*sin(ωt)dt =(4*A/T)∫sin(ωt)dt =(4*A/T)*(1/ω-cos(ωT/2)/ω) ここで ω=2π/T を代入すると b0=(4*A/T)*(1/(2π/T)-cos((2π/T)*T/2)/(2π/T)) =(2*A/π)*(1-cos(π)) =4*A/π また bn=(4/T)∫e(t)*cos(nωt)dt (0≦t≦T/2) =(4/T)∫A*sin(ωt)*cos(nωt)dt =(4*A/T)∫sin(ωt)*cos(nωt)dt =(4*A/T)*(-((n-1)*cos(((n+1)ωT)/2)+(-n-1)*cos(((n-1)ωT)/2))/((2*n^2-2)ω)-1/((n^2-1)ω) ここで ω=2π/T を代入すると bn=(4*A/T)*(((-cos(nπ)-1)*T)/(2πn^2-2π)) =-(2*A/π)*(cos(nπ)+1)/(n^2-1) =-(2*A/π)*((-1)^n+1)/(n^2-1) (n≠1) =-(4*A/π)/((2m)^2-1) (m=1,∞) ということになる。n=1の場合には別途求める必要がある b1=(4/T)∫e(t)*cos(ωt)dt (0≦t≦T/2) =(4/T)∫A*sin(ωt)*cos(ωt)dt =(4*A/T)∫sin(ωt)*cos(ωt)dt =(4*A/T)*(1/2ω-cos(ωT/2)^2/2ω) ここで ω=2π/T を代入すると b1=(4*A/T)*(1/2*(2π/T)-cos((2π/T)*T/2)^2/2*(2π/T)) =(A/π)*(1-cos(π)^2) =(A/π)*(1-(-1)^2) =0 ということになる。従ってFourier級数展開は e(t)=(1/2)*(4*A/π)+Σ(-(4*A/π)/((2m)^2-1))*cos((2m)ωt) (m=1,∞) =(4*A/π)*(1/2-(1/3)*cos(2ωt)-(1/15)*cos(4ωt)-(1/35)*cos(6ωt)-...) ということになる。 なんと整流前の基本波は含まれておらず、偶数次の高調波から成ることがわかる。 波形率は実効値と平均値の比なので 波形率=実効値/平均値 =sqrt((1/T)∫e(t)^2dt)/(1/T)∫e(t)dt (0≦t≦T) =sqrt((4/T)∫e(t)^2dt)/(4/T)∫e(t)dt (0≦t≦T/4) =sqrt((4/T)∫(A*sin(ωt))^2dt/(4/T)∫A*sin(ωt)dt =sqrt((4*A^2/T)∫(1/2-cos(2ωt)/2)dt/(4*A/T)∫sin(ωt)dt =2*A*sqrt((1/T)*(-(2*sin(ωT/2)-ωT)/8ω)/(4*A/T)*(-(cos(ωT/4)-1)/ω) ここで ω=2π/T を代入すると 波形率=2*A*sqrt((1/T)*(-(2*sin((2π/T)*T/2)-(2π/T)*T)/8*(2π/T))/(4*A/T)*(-(cos((2π/T)*T/4)-1)/(2π/T)) =2*A*sqrt(1/8)/(2*A)*(1/π) =π*sqrt(1/8) =π/2√2 ということになる。 また波高率は最大値と実効値の比なので 波高率=最大値/実効値 =A/2*A*sqrt(1/8) =1/2*sqrt(1/8) =1/2*(1/2√2) =√2 ということになる。 |
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