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webadm | 投稿日時: 2009-9-13 3:02 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3084 |
【54】対称三相交流ひずみ波(その5) 次ぎの問題は、前問のような対称三相回路ひずみ波電流が流れているときに中性線の有無による有効電力の相違を示せというもの。
中性線がある場合の有効電力は線間電圧と線電流より Pa=(1/T)∫pdt=(1/T)∫(ea*ia+eb*ib+ec*ic)dt =(1/T)∫((E1*sin(ωt+θ1)+E3*sin(3ωt+θ3))*(I1*sin(ωt+θ1+φ1)+I3*sin(3ωt+θ3+φ3))+(E1*sin(ωt+θ1-2π/3)+E3*sin(3ωt+θ3-3*2π/3))*(I1*sin(ωt+θ1-2π/3+φ1)+I3*sin(ωt+θ1-3*3π/3+φ3)+(E1*sin(ωt+θ1-4π/3)+E3*sin(3ωt+θ3-3*4π/3))*(I1*sin(ωt+θ1-4π/3)+I3*sin(3ωt+θ3-3*4π/3)))dt =(1/T)*(∫(E1*sin(ωt+θ1)+E3*sin(3ωt+θ3))*(I1*sin(ωt+θ1+φ1)+I3*sin(3ωt+θ3+φ3))dt+∫(E1*sin(ωt+θ1-2π/3)+E3*sin(3ωt+θ3))*(I1*sin(ωt+θ1-2π/3+φ1)+I3*sin(3ωt+θ3+φ3))dt+∫(E1*sin(ωt+θ1-4π/3)+E3*sin(3ωt+θ3))*(I1*sin(ωt+θ1-4π/3+φ1)+I3*sin(3ωt+θ3-3*4π/3+φ3))dt) =(1/T)*(∫(E1*I1*sin(ωt+θ1)*sin(ωt+θ1+φ1)+E3*I3*sin(3ωt+θ3)*sin(3ωt+θ3+φ3))dt+∫(E1*I1*sin(ωt+θ1-2π/3)*sin(ωt+θ1-2π/3+φ1)+E3*I3*sin(3ωt+θ3)*sin(3ωt+θ3+φ3))dt+∫(E1*I1sin(ωt+θ1-4π/3)*sin(ωt+θ1-4π/3+φ1)+E3*I3sin(3ωt+θ3)*sin(3ωt+θ3+φ3))dt) =(1/T)*(∫(1/2)*E1*I1(cos(-φ1)-cos(2ωt+2θ1))dt+∫(1/2)*E3*I3*(cos(-φ3)-cos(6ωt+2θ3))dt+∫(1/2)*E1*I1*(cos(-φ1)-cos(2ωt+2θ1-4π/3+φ1))dt+∫(1/2)*E3*I3*(cos(-φ3)-cos(6ωt+2θ3+φ3))dt+∫(1/2)*E1*I1*(cos(-φ1)-cos(2ωt+2θ1-8π/3+φ1))dt+∫(1/2)*E3*I3*(cos(-φ3)-cos(6ωt+2θ3+φ3))dt) =(3/2)*E1*I1*cos(φ1)+(3/2)*E3*I3*cos(φ3) ここで相電圧と線電流の実効値は E1=√2|E1| E3=√2|E3| I1=√2|I1| I3=√2|I3| であるのでそれぞれ代入すると Pa=3*|E1||I1|cos(φ1)+3*|E3||I3|cos(φ3) =3*(|E1|I1|cos(φ1)+|E3||I3|cos(φ3)) ということになる。 他方中性線が無い場合の有効電力は相間電圧と線電流から Pa=(1/T)∫pdt=(1/T)∫(eba*ib+eca*ic)dt =(1/T)∫((eb-ea)*ib+(ec-ea)*ic)dt =(1/T)∫(((E1*sin(ωt+θ1-2π/3)+E3*sin(3ωt+θ3))-(E1*sin(ωt+θ1)+E3*sin(3ωt+θ3)))*(I1*sin(ωt+θ1-2π/3+φ1)+I3*sin(3ωt+θ3+φ3))+((E1*sin(ωt+θ1-4π/3)+E3*sin(3ωt+θ3))-(E1*sin(ωt+θ1)+E3*sin(3ωt+θ3)))*(I1*sin(ωt+θ1-4π/3+φ1)+I3*sin(3ωt+θ3+φ3))))dt =(1/T)∫((E1*sin(ωt+θ1-2π/3)-E1*sin(ωt+θ1))*(I1*sin(ωt+θ1-2π/3+φ1)+I3*sin(3ωt+θ3+φ3))+(E1*sin(ωt+θ1-4π/3)-E1*sin(ωt+θ1))*(I1*sin(ωt+θ1-4π/3+φ1)+I3*sin(3ωt+θ3+φ3)))dt =(1/T)*(∫E1*I1*(sin(ωt+θ1-2π/3)-sin(ωt+θ1))*sin(ωt+θ1-2π/3+φ1)dt+∫E1*I1*(sin(ωt+θ1-4π/3)-sin(ωt+θ1))*sin(ωt+θ1-4π/3+φ1)dt) =(1/T)*(∫E1*I1*sin(ωt+θ1-2π/3)*sin(ωt+θ1-2π/3+φ1)dt-∫E1*I1*sin(ωt+θ1)*sin(ωt+θ1-2π/3+φ1)dt+∫E1*I1*sin(ωt+θ1-4π/3)*sin(ωt+θ1-4π/3+φ1)dt-∫E1*I1*sin(ωt+θ1)*sin(ωt+θ1-4π/3+φ1)dt) =(1/T)*(∫E1*I1*(1/2)*(cos(-φ1)-cos(2ωt+2θ1-4π/3+φ1))dt-∫E1*I1*(1/2)*(cos(2π/3-φ1)-cos(2ωt+2θ1-2π/3+φ1))dt+∫E1*I1*(1/2)*(cos(-φ1)-cos(2ωt+2θ1-8π/3+φ1))dt-∫E1*I1*(1/2)*(cos(4π/3-φ1)-cos(2ωt+2θ1-4π/3+φ1))dt) =(1/T)*(∫E1*I1*(1/2)*cos(φ1)dt-∫E1*I1*(1/2)*cos(2π/3-φ1)dt+∫E1*I1*(1/2)*cos(φ1)dt-∫E1*I1*(1/2)*cos(4π/3-φ1)dt =E1*I1*(1/2)*(2*cos(φ1)-cos(2π/3-φ1)-cos(4π/3-φ1)) =E1*I1*(cos(φ1)-(1/2)*cos(2π/3-φ1)-(1/2)cos(4π/3-φ1)) =E1*I1*(cos(φ1)-(1/2)*(cos(2π/3)*cos(φ1)+sin(2π/3)*sin(φ1))-(1/2)*(cos(4π/3)*cos(φ1)+sin(4π/3)*sin(φ1))) =E1*I1*(cos(φ1)-(1/2)*((-1/2)*cos(φ1)+(√3/2)*sin(φ1))-(1/2)*((-1/2)*cos(φ1)+(-√3/2)*sin(φ1))) =E1*I1*(cos(φ1)+(1/4)*cos(φ1)+(1/4)*cos(φ1)) =E1*I1*(3/2)*cos(φ1) =3*|E1||I1|cos(φ1) というわけで中性線が無いと、第三高調波分だけ有効電力が少なくなる。 式の整理の最後でsin(φ1)項が現れたときにはどうなるかと気が滅入ったが、ちょうど相殺されて消えてくれてほっとした。 |
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