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webadm | 投稿日時: 2009-9-22 23:16 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3086 |
【63】Fourier級数の振幅及び位相スペクトル 次ぎの問題は理論の時には出てこなかった振幅と位相スペクトルに関するもの。
命題として 実時間関数y(t)のスペクトルをF(ω)とした場合、その実数部と虚数部がωに関してそれぞれ偶関数と奇関数になることを示せ。 またF(ω)を指数表示すると F(ω)=|F(ω)|*exp(jθ(ω)) と書け、|F(ω)|を振幅スペクトル、θ(ω)を位相スペクトルと言うが前者がωに関して偶関数、後者が奇関数であることを示せ。 というもの。 一件難しそうだが、基本となるFourier変換対の式は既に学んでいるし、偶関数と奇関数の定義も知っているのでやれば出来そうである。 関数y(t)のFourier変換は F(ω)=∫y(t)*exp(-jωt)dt であるのでオイラーの公式 exp(jωt)=cos(ωt)+j*sin(ωt) より F(ω)=∫y(t)*(cos(-ωt)+j*sin(-ωt))dt =∫y(t)*cos(ωt)dt-j*∫y(t)*sin(ωt)dt ということになり、実数部と虚数部はそれぞれ Re(F(ω))=∫y(t)*cos(ωt)dt Img(F(ω))=-∫y(t)*sin(ωt)dt ということになる。 ここで偶関数の条件は F(ω)=F(-ω) なのでωの代わりに-ωを実数部の式に代入すると Re(F(-ω))=∫y(t)*cos(-ωt)dt =∫y(t)*cos(ωt)dt =Re(F(ω)) ということになり偶関数である。 一方虚数部は Img(F(-ω))=-∫y(t)*sin(-ωt)dt =∫y(t)*sin(ωt)dt =-Img(F(ω)) ということになり、これは奇関数の条件 F(ω)=-F(-ω) を満たすので虚数部は奇関数である。 またF(ω)の指数表示 F(ω)=|F(ω)|*exp(jθ(ω)) において|F(ω)|は |F(ω)|=|∫y(t)*exp(-jωt)dt| =|∫y(t)*(cos(ωt)-j*sin(ωt))dt| =sqrt((∫y(t)*cos(ωt)dt)^2+(∫y(t)*sin(ωt)dt)^2) ということになる。ωを-ωに変えると |F(-ω)|=sqrt((∫y(t)*cos(-ωt)dt)^2+(∫y(t)*sin(-ωt)dt)^2) =sqrt((∫y(t)*cos(ωt)dt)^2+(-∫y(t)*sin(ωt)dt)^2) =sqrt((∫y(t)*cos(ωt)dt)^2+(∫y(t)*sin(ωt)dt)^2) =|F(ω)| 従って|F(ω)|はωに関して偶関数である。 他方θ(ω)は θ(ω)=atan(Img(F(ω))/Re(F(ω))) ωを-ωに変えると θ(-ω)=atan(Img(F(-ω))/Re(F(-ω))) =atan(-Img(F(ω))/Re(F(ω))) =-atan(Img(F(ω))/Re(F(ω))) =-θ(ω) ということになり、これはωに関して奇関数であることを意味する。 |
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