次ぎの問題も方形パルス列のFourier変換を求める問題。

以下のように符号が反転した同じ大きさのパルスが連結している波形のFourier変換を求めよというもの。



これも著者の解とは別方法で解いてみよう。

信号を式で表すと

y(t)=1 (-T≦t＜0)
=-1 (0≦t≦T)
=0 (-T＞t＞T)

この関数は可積分(∫|y(t)|＜∞)なのでそのままFourier変換してもよいが、今回はこれを微分してみよう

d(y(t))/dt=δ(t+T)-2*δ(t)+δ(t-T)

Fourier変換の諸性質で導関数のFourier変換は元の関数のFourier変換にjωを乗じた形となることがわかっている。

従って

jωF(ω)=∫(d(y(t))/dt)*exp(-jωt)dt

という関係が成り立つことから元の関数のFourier変換は

F(ω)=(1/jω)∫(d(y(t))/dt)*exp(-jωt)dt
=(1/jω)∫(δ(t+T)-2*δ(t)+δ(t-T))*exp(-jωt)dt
=(1/jω)(∫δ(t+T)*exp(-jωt)dt+∫(-2*δ(t))*exp(-jωt)dt+∫δ(t-T)*exp(-jωt)dt)
=(1/jω)(exp(jωT)-2*exp(0)+exp(-jωT))
=(1/jω)(exp(jωT)-2+exp(-jωT))
=(1/jω)(2*cos(ωT)-2)
=(1/jω)(2*(2*cos(ωT/2)^2-1)-2)
=(1/jω)(4*cos(ωT/2)^2-4)
=(4/jω)(cos(ωT/2)^2-1)
=(4/jω)(-sin(ωT/2)^2)
=(j4/ω)*sin(ωT/2)^2

ということになる。

T=1とおいてプロットしてみると

wxplot2d([(4*sin(x/2)^2)/x], [x,-10*%pi,10*%pi])$



不思議な波形になる。