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webadm | 投稿日時: 2009-10-2 9:50 |
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3084 |
【72】指数関数のFourier変換 次ぎは指数関数のFourier変換。
これまで直流、正弦波、余弦波、方形パルス、三角パルスなど比較的基本的な波形のFourier変換を求めてきたけれども指数関数もそのひとつ。実は基本関数が一番Fourier変換が求め難いという理由から、Fourier変換対を示すだけですませている本も多い。 負の乗数を伴う指数関数は数学的には優等生で、すべての区間において無限回に微分可能。 しかし積分に関しても優等性かというとそうでもなく、 y(t)=exp(-at) ただし a>0 t≧0の範囲ではy(t)は有界であるがt<0の範囲ではそうではない。Fourier変換は関数の値が有限個の特異点を除いては有界でないと収束しないというディレクレの条件からすると上の関数の場合負のtの範囲に関してはFourier変換が成り立たない。 従って題意では y(t)=exp(-at) (t≧0) =0 (t<0) ただし a > 0 ということになっている。 これならFourier変換が可能なのでやってみることにする F(ω)=∫y(t)*exp(-jωt)dt (t=-∞,+∞) =∫exp(-at)*exp(-jωt)dt (t=0,+∞) =∫exp(-(a+jω)t)dt =-exp(-(a+jω)∞)/(a+jω)+exp(-(a+jω)0)/(a+jω) =exp(0)/(a+jω) =1/(a+jω) ということになる。 スペクトルと位相をプロットするために指数表記に直すと F(ω)=1/(a+jω) =(1/sqrt(a^2+ω^2))*exp(-j*atan(ω/a)) a=1とおいてプロットすると wxplot2d([1/sqrt(1+x^2),-atan(x)], [x,-5,5])$ ということになる。 |
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