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webadm	投稿日時: 2010-4-11 1:24
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3086	【8】続：正実関数前問に引き続き次ぎも正実関数に関する問題。もうね、いくらでもかかってきなさいと。前問では分母の実数係数に関して正実関数となる条件を問題にしていたが、今度は分子を含めてすべての実数係数に範囲が拡大している。 $\text{(1)}\,\,Z_1(s)=\frac{\left(s+b\right)^2}{s+a}$ これは前問では分子の式で定数になっていたところが不定元bに、分母のxが不定元aに一般化されたものと捉えることができる。 s=jωと置いて実数部を展開してみると $\begin{eqnarray}Re\left(Z_1(j\omega)\right)&=&Re\left(\frac{\left(j\omega+b\right)^2}{j\omega+a}\right)\\&=&Re\left(\frac{\left(b^2-\omega^2+2j\omega b\right)\left(a-j\omega\right)}{\left(a+j\omega\right)\left(a-j\omega\right)}\right)\\&=&Re\left(\frac{a\left(b^2-\omega^2\right)+2\omega^2 b-j\omega\left(b^2-\omega^2\right)+2j\omega ab}{\omega^2+a^2}\right)\\&=&\frac{a\left(b^2-\omega^2\right)+2\omega^2 b}{\omega^2+a^2}\\&=&\frac{\omega^2\left(2b-a\right)+ab^2}{\omega^2+a^2}\,\ge\,0\,\,\forall\omega\end{eqnarray}$ ここでa,bは正の実数であるので問題の関数の実数部がすべてのωに対して正の値をとるためには $2b-a\ge 0$ を満たす必要がある。すなわち $0\le a\le 2b$ という条件で問題の関数は正実関数となる。 $\text{(2)}\,\,Z_2(s)=\frac{3s^2+bs+c}{s+a}$ 今度は分子が二次の多項式になっている。a,b,cはそれぞれ正の実数をとる不定元である。 s=jωで置き換えて実数部を抜き出すと $\begin{eqnarray}Re\left(Z_2(j\omega)\right)&=&Re\left(\frac{3\left(j\omega\right)^2+b\left(j\omega\right)+c}{j\omega+a}\right)\\&=&Re\left(\frac{\left(\left(c-3\omega^2\right)+j\omega b\right)\left(a-j\omega\right)}{\left(a+j\omega\right)\left(a-j\omega\right)}\right)\\&=&\frac{a\left(c-3\omega^2\right)+\omega^2 b}{\omega^2+a^2}\\&=&\frac{\omega^2\left(b-3a\right)+ac}{\omega^2+a^2}\\&=&\frac{\left(b-3a\right)\left(\omega+j\sqrt{\frac{ac}{b-3a}}\right)\left(\omega-j\sqrt{\frac{ac}{b-3a}}\right)}{\omega^2+a^2}\,\ge\,0\,\,\forall\omega\end{eqnarray}$ 上記を満たすための必要条件は $b-3a\ge 0$ a,b,cはいずれも正の実数であるので、必要十分条件は $0\le 3a\le b$ ということになる。 $\text{(3)}\,\,Z_3(s)=\frac{\left(cs+d\right)^2}{as^2+bs+3}$ 今度は分母が二次の多項式。同様に実数部を求めてみると $\begin{eqnarray}Re\left(Z_3(j\omega)\right)&=&Re\left(\frac{c\left(j\omega\right)+d}{a\left(j\omega\right)^2+b\left(j\omega\right)+3}\right)\\&=&Re\left(\frac{d+j\omega c}{\left(3-a\omega^2\right)+j\omega b}\right)\\&=&Re\left(\frac{\left(d+j\omega c\right)\left(\left(3-a\omega^2\right)-j\omega b\right)}{\left(\left(3-a\omega^2\right)+j\omega b\right)\left(\left(3-a\omega^2\right)-j\omega b\right)}\right)\\&=&\frac{\omega^2\left(cb-ad\right)+3d}{\left(3-a\omega^2\right)^2+\omega^2 b^2}\,\ge\,0\,\,\forall\omega\end{eqnarray}$ 従って上の条件を満たす必要条件は $\left(cb-ad\right)\ge 0$ 従ってa,b,c,dは正の実数なので必要十分条件は $0\le ad\le cb$ ということになる。 P.S 最後の設問で問題文の分子の式を二のべき乗だと勘違いして条件が複雑になって悩んだのは内緒だ。

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題名	投稿者	日時
一端子対回路：演習問題	webadm	2009-12-28 23:05
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