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webadm	投稿日時: 2010-4-24 11:55
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3085	【23】またまた：インピーダンス関数前問はインピーダンス関数をCauer展開だったが、今度はインピーダンス関数のFoster展開問題。以下の関数から２種類のFoster形回路を合成せよというもの。 $\text{(1)}\,Z_1(s)=\frac{\left(s+3\right)\left(s+5\right)}{\left(s+2\right)\left(s+4\right)}$ 第一Foster形だとインピーダンスの総和に展開されるので $\begin{eqnarray}<br />Z_1(s)&=&\frac{\left(s+3\right)\left(s+5\right)}{\left(s+2\right)\left(s+4\right)}\\<br />&=&\frac{H_1}{s+2}+\frac{H_2}{s+4}+H_\infty\\<br />&=&\frac{1}{C_1 s+G_1}+\frac{1}{C_2 s+G_2}+R_\infty\\<br />C_1&=&\frac{1}{H_1}=\frac{2}{3}\,[F]\\<br />G_1&=&\frac{2}{H_1}=\frac{4}{3}\,[S]\\<br />C_2&=&\frac{1}{H_2}=2\,[F]\\<br />G_2&=&\frac{4}{H_2}=8\,[S]\\<br />R_\infty&=&H_\infty=1\,[\Omega]\\<br />H_1&=&\lim_{s\to-2}\left(s+2\right)Z_1(s)\\<br />&=&\left.\frac{\left(s+3\right)\left(s+5\right)}{\left(s+4\right)}\right\|_{s=-2}\\<br />&=&\frac{\left(-2+3\right)\left(-2+5\right)}{\left(-2+4\right)}\\<br />&=&\frac{3}{2}\\<br />H_2&=&\lim_{s\to-4}\left(s+4\right)Z_1(s)\\<br />&=&\left.\frac{\left(s+3\right)\left(s+5\right)}{\left(s+2\right)}\right\|_{s=-4}\\<br />&=&\frac{\left(-4+3\right)\left(-4+5\right)}{\left(-4+2\right)}\\<br />&=&\frac{1}{2}\\<br />H_\infty&=&\lim_{s\to\infty}Z_1(s)\\<br />&=&\left.\frac{\left(s+3\right)\left(s+5\right)}{\left(s+2\right)\left(s+4\right)}\right\|_{s=\infty}\\<br />&=&\left.\frac{\left(1+\frac{3}{s}\right)\left(1+\frac{5}{s}\right)}{\left(1+\frac{2}{s}\right)\left(1+\frac{4}{s}\right)}\right\|_{s=\infty}\\<br />&=&1<br />\end{eqnarra}$ これは２つのRC並列回路と抵抗の直列接続となる。回路図に表すとということになる。もうひとつ第二Foster形は単純にアドミッタンスの総和へ部分分数展開すると負の留数が出てしまうのでちょっと操作する必要がある $\begin{eqnarray}<br />Y_1(s)&=&\frac{1}{Z_1(s)}\\<br />&=&\frac{\left(s+2\right)\left(s+4\right)}{\left(s+3\right)\left(s+5\right)}\\<br />&=&s\left(\frac{\left(s+2\right)\left(s+4\right)}{s\left(s+3\right)\left(s+5\right)}\right)\\<br />&=&s\left(\frac{H_0}{s}+\frac{H_1}{s+3}+\frac{H_2}{s+5}\right)\\<br />&=&H_0+\frac{H_1 s}{s+3}+\frac{H_2 s}{s+5}\\<br />&=&G_0+\frac{1}{R_1+\frac{1}{C_1 s}}+\frac{1}{R_2+\frac{1}{C_2 s}}\\<br />G_0&=&H_0=\frac{8}{15}\,[S]\\<br />R_1&=&\frac{1}{H_1}=6\,[\Omega]\\<br />C_1&=&\frac{H_1}{3}=\frac{1}{18}\,[F]\\<br />R_2&=&\frac{1}{H_2}=\frac{10}{3}\,[\Omega]\\<br />C_2&=&\frac{H_2}{5}=\frac{3}{50}\,[F]\\<br />H_0&=&\lim_{s\to0}Y_1(s)\\<br />&=&\left.\frac{\left(s+2\right)\left(s+4\right)}{\left(s+3\right)\left(s+5\right)}\right\|_{s=0}\\<br />&=&\frac{\left(0+2\right)\left(0+4\right)}{\left(0+3\right)\left(0+5\right)}\\<br />&=&\frac{8}{15}\\<br />H_1&=&\lim_{s\to-3}\frac{\left(s+3\right)Y_1(s)}{s}\\<br />&=&\left.\frac{\left(s+2\right)\left(s+4\right)}{s\left(s+5\right)}\right\|_{s=-3}\\<br />&=&\frac{\left(-3+2\right)\left(-3+4\right)}{-3\left(-3+5\right)}\\<br />&=&\frac{1}{6}\\<br />H_2&=&\lim_{s\to-5}\frac{\left(s+5\right)Y_1(s)}{s}\\<br />&=&\left.\frac{\left(s+2\right)\left(s+4\right)}{s\left(s+3\right)}\right\|_{s=-4}\\<br />&=&\frac{\left(-5+2\right)\left(-5+4\right)}{-5\left(-5+3\right)}\\<br />&=&\frac{3}{10}<br />\end{eqnarra}$ 従って２つのRC直列回路と抵抗の並列接続で構成される。回路図に描くとということになる。 $\text{(2)}\,Z_2(s)=\frac{s\left(s+3\right)\left(s+5\right)}{\left(s+2\right)\left(s+4\right)}$ 前の設問の式の分子の次数がひとつ多くなっただけだが、単純に部分分数展開すると負の留数が出てしまうのでちょっとした数式操作が必要だ。 $\begin{eqnarray}<br />Z_2(s)&=&\frac{s\left(s+3\right)\left(s+5\right)}{\left(s+2\right)\left(s+4\right)}\\<br />&=&s\left(\frac{\left(s+3\right)\left(s+5\right)}{\left(s+2\right)\left(s+4\right)}\right)\\<br />&=&s\left(\frac{H_1}{s+2}+\frac{H_2}{s+4}+H_\infty\right)\\<br />&=&\frac{H_1 s}{s+2}+\frac{H_2 s}{s+4}+H_\infty s\\<br />&=&\frac{1}{G_1+\frac{1}{L_1 s}}+\frac{1}{G_2+\frac{1}{L_2 s}}+L_\infty s\\<br />G_1&=&\frac{1}{H_1}=\frac{2}{3}\,[S]\\<br />L_1&=&\frac{H_1}{2}=\frac{3}{4}\,[H]\\<br />G_2&=&\frac{1}{H_2}=2\,[S]\\<br />L_2&=&\frac{H_2}{4}=\frac{1}{8}\,[H]\\<br />L_\infty&=&H_\infty=1\,[H]\\<br />H_1&=&\lim_{s\to-2}\frac{\left(s+2\right)Z_2(s)}{s}\\<br />&=&\left.\frac{\left(s+3\right)\left(s+5\right)}{\left(s+4\right)}\right\|_{s=-2}\\<br />&=&\frac{\left(-2+3\right)\left(-2+5\right)}{\left(-2+4\right)}\\<br />&=&\frac{3}{2}\\<br />H_2&=&\lim_{s\to-4}\frac{\left(s+4\right)Z_2(s)}{s}\\<br />&=&\left.\frac{\left(s+3\right)\left(s+5\right)}{\left(s+2\right)}\right\|_{s=-4}\\<br />&=&\frac{\left(-4+3\right)\left(-4+5\right)}{\left(-4+2\right)}\\<br />&=&\frac{1}{2}\\<br />H_\infty&=&\lim_{s\to\infty}\frac{Z_2(s)}{s}\\<br />&=&\left.\frac{\left(s+3\right)\left(s+5\right)}{\left(s+2\right)\left(s+4\right)}\right\|_{s=\infty}\\<br />&=&\left.\frac{\left(1+\frac{3}{s}\right)\left(1+\frac{5}{s}\right)}{\left(1+\frac{2}{s}\right)\left(1+\frac{4}{s}\right)}\right\|_{s=\infty}\\<br />&=&1<br />\end{eqnarray}$ 従って２つのRL並列回路と抵抗の直列接続となる。回路図に描くとということになる。第二Foster展開は逆に単純にアドミッタンスの総和へ部分分数展開すればよく $\begin{eqnarray}<br />Y_2(s)&=&\frac{1}{Z_2(s)}\\<br />&=&\frac{\left(s+2\right)\left(s+4\right)}{s\left(s+3\right)\left(s+5\right)}\\<br />&=&\frac{H_0}{s}+\frac{H_1}{s+3}+\frac{H_2}{s+5}\\<br />&=&\frac{1}{L_0 s}+\frac{1}{L_1 s+R_1}+\frac{1}{L_2 s+R_2}\\<br />L_0&=&\frac{1}{H_0}=\frac{15}{8}\,[H]\\<br />L_1&=&\frac{1}{H_1}=6\,[H]\\<br />R_1&=&\frac{3}{H_1}=18\,[\Omega]\\<br />L_2&=&\frac{1}{H_2}=\frac{10}{3}\,[H]\\<br />R_2&=&\frac{5}{H_2}=\frac{50}{3}\,[\Omega]\\<br />H_0&=&\lim_{s\to0}sY_2(s)\\<br />&=&\left.\frac{\left(s+2\right)\left(s+4\right)}{\left(s+3\right)\left(s+5\right)}\right\|_{s=0}\\<br />&=&\frac{\left(0+2\right)\left(0+4\right)}{\left(0+3\right)\left(0+5\right)}\\<br />&=&\frac{8}{15}\\<br />H_1&=&\lim_{s\to-3}\left(s+3\right)Y_2(s)\\<br />&=&\left.\frac{\left(s+2\right)\left(s+4\right)}{s\left(s+5\right)}\right\|_{s=-3}<br />&=&\frac{\left(-3+2\right)\left(-3+4\right)}{-3\left(-3+5\right)}\\<br />&=&\frac{1}{6}\\<br />H_2&=&\lim_{s\to-5}\left(s+5\right)Y_2(s)\\<br />&=&\left.\frac{\left(s+2\right)\left(s+4\right)}{s\left(s+3\right)}\right\|_{s=-5}\\<br />&=&\frac{\left(-5+2\right)\left(-5+4\right)}{-5\left(-5+3\right)}\\<br />&=&\frac{3}{10}<br />\end{eqnarray}$ ということで２つのRL直列回路とLとの並列接続で構成される。回路図に描くとということになる。

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題名	投稿者	日時
一端子対回路：演習問題	webadm	2009-12-28 23:05
【1】複素周波数の意味	webadm	2010-1-1 20:59
【2】インピーダンス関数	webadm	2010-1-8 11:16
【3】インピーダンス関数に対する一端子対回路	webadm	2010-1-8 11:24
【4】一端子対回路のインピーダンス関数	webadm	2010-1-8 21:05
【5】インピーダンス関数の零点及び極と留数	webadm	2010-1-9 20:37
【6】正実関数、インピーダンス関数、アドミッタンス関数	webadm	2010-1-10 20:46
【７】正実関数	webadm	2010-3-30 9:20
【8】続：正実関数	webadm	2010-4-11 1:24
【9】続々：正実関数	webadm	2010-4-13 10:40
【10】インピーダンス関数とその回路	webadm	2010-4-15 9:49
【11】リアクタンス回路	webadm	2010-4-15 17:02
【12】続：リアクタンス回路	webadm	2010-4-15 19:39
【13】リアクタンス関数	webadm	2010-4-17 22:57
【14】相互インダクタンスを含むリアクタンス回路	webadm	2010-4-17 23:35
【15】続々：リアクタンス回路	webadm	2010-4-18 0:34
【16】リアクタンス回路の合成	webadm	2010-4-19 2:30
【17】続：リアクタンス回路の合成	webadm	2010-4-19 10:09
【18】続々：リアクタンス回路の合成	webadm	2010-4-20 4:22
【19】またまた：リアクタンス回路	webadm	2010-4-20 9:55
【20】インピーダンス関数	webadm	2010-4-21 23:11
【21】続：インピーダンス関数	webadm	2010-4-22 12:29
【22】続々：インピーダンス関数	webadm	2010-4-24 4:03
» 【23】またまた：インピーダンス関数	webadm	2010-4-24 11:55
【24】アドミッタンス関数	webadm	2010-4-24 20:47
【25】続：アドミッタンス関数	webadm	2010-4-27 10:19
【26】密結合変成器の分離	webadm	2010-4-28 9:20
【27】逆回路	webadm	2010-4-29 19:35
【28】続：逆回路	webadm	2010-4-30 9:49
【29】続々：逆回路	webadm	2010-4-30 10:15
【30】まだまだ：逆回路	webadm	2010-4-30 10:59
【31】もうひとつの：逆回路	webadm	2010-4-30 12:03
【32】定抵抗回路	webadm	2010-5-1 9:55
【33】続：定抵抗回路	webadm	2010-5-2 16:00

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