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投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2010-5-23 10:12
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3068
インピーダンス行列とアドミッタンス行列
次ぎは以下に示す回路のインピーダンス行列とアドミッタンス行列を求めよという問題。



2つの端子対は内部でストレートで結ばれていてインピーダンスZだけのshunt回路。

端子対に流れる電流I1,I2はそれぞれ独立で、端子対の電圧E1,E2は常に同一でI1,I2とZによって以下の通り定まる

\begin{eqnarray}<br />E_1&=Z I_1+Z I_2\\<br />E_2&=Z I_1+Z I_2<br />\end{eqnarray}

従ってインピーダンス行列で表すと

\begin{eqnarray}<br />\left[\begin{array}<br />E_1\\<br />E_2<br />\end{array}\right]&=&\left[\begin{array}<br />Z & Z\\<br />Z & Z<br />\end{array}\right]\left[\begin{array}<br />I_1\\<br />I_2<br />\end{array}\right]<br />\end{eqnarray}

ということになる。

アドミッタンス行列はインピーダンスの逆行列なので、それで求めようとすると、この回路のインピーダンス行列は行列式の値が0となってしまうので逆行列が存在しない。

というのも先に書いた通りに、E1,E2は独立な値は取り得ない(端子同士が内部で直結しているので常に同じ電圧しか取り得ない)ためだ。敢えて関係式を書くとすると

\begin{eqnarray}<br />I_1&=Y E_1=Y E_2\\<br />I_2&=Z E_2=Y E_1<br />\end{eqnarray}

強いて行列表現すれば

\begin{eqnarray}<br />\left[\begin{array}<br />I_1\\<br />I_2<br />\end{array}\right]&=&\left[\begin{array}<br />Y & 0\\<br />Y & 0<br />\end{array}\right]\left[\begin{array}<br />E_1\\<br />E_2<br />\end{array}\right]=\left[\begin{array}<br />0 & Y\\<br />0 & Y<br />\end{array}\right]<br />\end{eqnarray}

しかしこれも逆行列は存在しない。

以下の表現は一見すると逆行列を持ちそうにみえるが

\begin{eqnarray}<br />\left[\begin{array}<br />I_1\\<br />I_2<br />\end{array}\right]&=&\left[\begin{array}<br />Y & 0\\<br />0 & Y<br />\end{array}\right]\left[\begin{array}<br />E_1\\<br />E_2<br />\end{array}\right]<br />\end{eqnarray}

しかしこの逆行列は先に導いたインピーダンス行列とは異なる。

従ってこの回路にはインピーダンス行列と等価なアドミッタンス行列は存在しないということになる。



次ぎは端子対間の一方にインピーダンスZが直列に挿入されている回路。

一つの閉ループしか存在しないのでI1,I2が一次独立では無い時点で破綻している。ちょうど前の設問の逆である。

一方アドミッタンス行列としてはE1,E2は独立なので重ね合わせの理で

\begin{eqnarray}<br />I_1&=\frac{1}{Z} E_1-\frac{1}{Z} E_2\\<br />I_2&=-\frac{1}{Z} E_1+\frac{1}{Z} E_2<br />\end{eqnarray}

という関係が成り立ち、行列で表すと

\begin{eqnarray}<br />\left[\begin{array}<br />I_1\\<br />I_2<br />\end{array}\right]&=&\left[\begin{array}<br />\frac{1}{Z} & -\frac{1}{Z}\\<br />-\frac{1}{Z} & \frac{1}{Z}<br />\end{array}\right]\left[\begin{array}<br />E_1\\<br />E_2<br />\end{array}\right]<br />\end{eqnarray}

ということになる。これも逆行列は存在しない。



最後の回路はE1,E2,I1,I2とも独立だが、E1,I1とE2,I2の間にまったく線形的な結合が無い。従って

\begin{eqnarray}<br />I_1&=Z_1 E_1\\<br />I_2&=Z_2 E_2<br />\end{eqnarray}

という関係が成り立ち、インピーダンス行列で表すと

\begin{eqnarray}<br />\left[\begin{array}<br />E_1\\<br />E_2<br />\end{array}\right]&=&\left[\begin{array}<br />Z_1 & 0\\<br />0 & Z_2<br />\end{array}\right]\left[\begin{array}<br />I_1\\<br />I_2<br />\end{array}\right]<br />\end{eqnarray}

ということになる。これは逆行列であるアドミッタンス行列が存在し

\begin{eqnarray}<br />\left[\begin{array}<br />I_1\\<br />I_2<br />\end{array}\right]&=&\left[\begin{array}<br />Z_1 & 0\\<br />0 & Z_2<br />\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}<br />E_1\\<br />E_2<br />\end{array}\right]\\<br />&=&\frac{1}{Z_1 Z_2}\left[\begin{array}<br />Z_2 & 0\\<br />0 & Z_1<br />\end{array}\right]\left[\begin{array}<br />E_1\\<br />E_2<br />\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}<br />\frac{1}{Z_1} & 0\\<br />0 & \frac{1}{Z_2}<br />\end{array}\right]\left[\begin{array}<br />E_1\\<br />E_2<br />\end{array}\right]<br />\end{eqnarray}

ということになる。
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