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投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2010-5-26 15:14
Webmaster
登録日: 2004-11-7
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投稿: 3068
T形回路の伝送行列
次ぎも伝送行列の問題。

T形回路の伝送行列を導いて、AD-BC=1であること対称回路ではA=Dが成り立つことを確認し、与えられた回路の伝送行列を求めよというもの。



前問と同様にFパラメータ条件(出力端開放:I2=0,出力端短絡:E2=0)で解析すると

\begin{eqnarray}<br />E_2&=&\left.Z_2 I_1\right|_{I_2=0}\\<br />I_1&=&\left.\frac{E_1}{Z_1+Z_2}\right|_{I_2=0}\\<br />I_2&=&\left.\frac{\frac{E_1 Z_2}{Z_1+Z_2}}{\frac{Z_1 Z_2}{Z_1+Z_2}+Z_3}\right|_{E_2=0}\\<br />I_1&=&\left.\frac{E_1}{Z_1+\frac{Z_2 Z_3}{Z_2+Z_3}}\right|_{E_2=0}<br />\end{eqnarray}

従ってFパラメータは

\begin{eqnarray}<br />A&=&\left.\frac{E_1}{E_2}\right|_{I_2=0}\\<br />&=&\left.\frac{\cancel{I_1}\left(Z_1+Z_2\right)}{Z_2 \cancel{I_1}}\right|_{I_2=0}\\<br />&=&\frac{Z_1+Z_2}{Z_2}\\<br />&=&1+\frac{Z_1}{Z_2}\\<br />B&=&\left.\frac{E_1}{I_2}\right|_{E_2=0}\\<br />&=&\left.\frac{\frac{\cancel{I_2}\left(\frac{Z_1 Z_2}{Z_1+Z_2}+Z_3\right)}{\frac{Z_2}{Z_1+Z_2}}}{\cancel{I_2}}\right|_{E_2=0}\\<br />&=&\frac{\frac{Z_1 Z_2}{Z_1+Z_2}+Z_3}{\frac{Z_2}{Z_1+Z_2}}\\<br />&=&\frac{Z_1 Z_2+Z_1 Z_3+Z_2 Z_3}{Z_2}\\<br />C&=&\left.\frac{I_1}{E_2}\right|_{I_2=0}\\<br />&=&\left.\frac{\cancel{I_1}}{Z_2 \cancel{I_1}}\right|_{I_2=0}\\<br />&=&\frac{1}{Z_2}\\<br />D&=&\left.\frac{I_1}{I_2}\right|_{E_2=0}\\<br />&=&\left.\frac{\frac{\cancel{E_1}}{Z_1+\frac{Z_2 Z_3}{Z_2+Z_3}}}{\frac{\frac{\cancel{E_1} Z_2}{Z_1+Z_2}}{\frac{Z_1 Z_2}{Z_1+Z_2}+Z_3}}\right|_{E_2=0}\\<br />&=&\frac{\frac{\frac{Z_1 Z_2}{Z_1+Z_2}+Z_3}{Z_1+\frac{Z_2 Z_3}{Z_2+Z_3}}}{\frac{Z_2}{Z_1+Z_2}}\\<br />&=&\frac{\frac{\frac{\cancel{Z_1 Z_2+Z_1 Z_3+Z_2 Z_3}}{\cancel{Z_1+Z_2}}}{\frac{\cancel{Z_1 Z_2+Z_1 Z_3+Z_2 Z_3}}{Z_2+Z_3}}}{\frac{Z_2}{\cancel{Z_1+Z_2}}}\\<br />&=&\frac{Z_2+Z_3}{Z_2}\\<br />&=&1+\frac{Z_3}{Z_2}\\<br />\left[\begin{array}<br />A & B\\<br />C & D<br />\end{array}\right]&=&\left[\begin{array}<br />1+\frac{Z_1}{Z_2} & \frac{Z_1 Z_2+Z_1 Z_3+Z_2 Z_3}{Z_2}\\<br />\frac{1}{Z_2} & 1+\frac{Z_3}{Z_2}<br />\end{array}\right]<br />\end{eqnarray}

ということになる。

従ってAD-BCは

\begin{eqnarray}<br />A D - B C&=&\left(1+\frac{Z_1}{Z_2}\right)\left(1+\frac{Z_3}{Z_2}\right)-\left(\frac{Z_1 Z_2+Z_1 Z_3+Z_2 Z_3}{Z_2}\right)\left(\frac{1}{Z_2}\right)\\<br />&=&\left(\frac{Z_1+Z_2}{Z_2}\right)\left(\frac{Z_2+Z_3}{Z_2}\right)-\frac{Z_1 Z_2+Z_1 Z_3+Z_2 Z_3}{{Z_2}^2}\\<br />&=&\frac{Z_1 Z_2+Z_1 Z_3+Z_2 Z_3+{Z_2}^2}{{Z_2}^2}-\frac{Z_1 Z_2+Z_1 Z_3+Z_2 Z_3}{{Z_2}^2}\\<br />&=&1<br />\end{eqnarray}

ということになる。

また対称回路ではZ1=Z3となることから

\begin{eqnarray}<br />A&=&1+\frac{Z_1}{Z_2}\\<br />&=&1+\frac{Z_3}{Z_2}\\<br />&=&D<br />\end{eqnarray}

ということになる。

以下の回路について伝送行列を求めると



\begin{eqnarray}<br />Z_1&=&R\\<br />Z_2&=&j\omega L\\<br />Z_3&=&-\frac{j}{\omega C}<br />\end{eqnarray}

を先のF行列に代入すると

\begin{eqnarray}<br />A&=&1+\frac{Z_1}{Z_2}\\<br />&=&\1+\frac{R}{j\omega L}\\<br />&=&1-j\frac{R}{\omega L}\\<br />B&=&\frac{Z_1 Z_2+Z_1 Z_3+Z_2 Z_3}{Z_2}\\<br />&=&\frac{j\omega L R-\frac{j R}{\omega C}+\frac{\omega L}{\omega C}}{j\omega L}\\<br />&=&\frac{R\left(\omega L\right-\frac{1}{\omega C})-j\frac{L}{C}}{\omega L}\\<br />&=&R\left(1-\frac{1}{{\omega}^2 L C}\right)-j\frac{L}{\omega C}\\<br />C&=&\frac{1}{Z_2}\\<br />&=&\frac{1}{j\omega L}\\<br />D&=&1+\frac{Z_3}{Z_2}\\<br />&=&1-\frac{\frac{j}{\omega C}}{j\omega L}\\<br />&=&1-\frac{1}{{\omega}^2 L C}\\<br />\left[\begin{array}<br />A & B\\<br />C & D<br />\end{array}\right]&=&\left[\begin{array}<br />1-j\frac{R}{\omega L} & R\left(1-\frac{1}{{\omega}^2 L C}\right)-j\frac{L}{\omega C}\\<br />\frac{1}{j\omega L} & 1-\frac{1}{{\omega}^2 L C}<br />\end{array}\right]<br />\end{eqnarray}

ということになる。

同様に次ぎの回路も



\begin{eqnarray}<br />Z_1&=&j\omega L\\<br />Z_2&=&\frac{1}{j\omega C}\\<br />Z_3&=&j\omega L<br />\end{eqnarray}

を先のF行列に代入すると

\begin{eqnarray}<br />A&=&1+\frac{Z_1}{Z_2}\\<br />&=&\1-\frac{j\omega L}{\frac{j}{\omega C}}\\<br />&=&1-{\omega}^2 L C\\<br />B&=&\frac{Z_1 Z_2+Z_1 Z_3+Z_2 Z_3}{Z_2}\\<br />&=&\frac{j\omega L \frac{1}{j\omega C}+j\omega L j\omega L+\frac{1}{j\omega C} j\omega L}{\frac{1}{j\omega C}}\\<br />&=&j\omega C\left(\frac{L}{C}-{\omega}^2 L^2+\frac{L}{C}\right)\\<br />&=&j\omega L\left(2-{\omega}^2L C\right)\\<br />C&=&\frac{1}{Z_2}\\<br />&=&\frac{1}{\frac{1}{j\omega C}}\\<br />&=&j\omega C\\<br />D&=&1+\frac{Z_3}{Z_2}\\<br />&=&1+\frac{j\omega L}{\frac{1}{j\omega C}}\\<br />&=&1-{\omega}^2 L C\\<br />\left[\begin{array}<br />A & B\\<br />C & D<br />\end{array}\right]&=&\left[\begin{array}<br />1-{\omega}^2 L C & j\omega L\left(2-{\omega}^2L C\right)\\<br />j\omega C & 1-{\omega}^2 L C<br />\end{array}\right]<br />\end{eqnarray}

ということになる。
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