ログイン
ユーザ名:

パスワード:


パスワード紛失

新規登録
Main Menu
Tweet
Facebook
Line
:-?
フラット表示 前のトピック | 次のトピック
投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2010-6-13 5:07
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3068
続:影像パラメータ
次ぎは影像パラメータの応用問題。

以下の二端子対回路の影像パラメータをZ01,Z02,θとするにはZ1,Z2,Z3をどのようにすればよいか求めよというもの。



まず題意を理解する必要がある。これはこれまでの問題と趣旨が違って、解析的ではなく設計的な問題である。

今までは影像パラメータを予め与えられた何かで表せというものだった、これは言い換えると影像パラメータが他の何かのパラメータから一意に決まる関数だということと、その関数の式を明らかにせよというものだったが、これは影像パラメータとそれを実現する回路の形が予め指定されていて、未知数である素子の定数を決定せよというもの。

設計問題は解析問題の逆問題である。これまでに影像パラメータは以下の通り4端子定数の関数として表されることを知っている

\begin{eqnarray}<br />Z_{01}&=&f_1\left(A,B,C,D\right)=\sqrt{\frac{A B}{C D}}\\<br />Z_{02}&=&f_2\left(A,B,C,D\right)=\sqrt{\frac{B D}{A C}}\\<br />\theta&=&f_3\left(A,B,C,D\right)=\ln\left(A D+B C\right)<br />\end{eqnarray}

今度の問題は逆にT型回路のZ1,Z2,Z3が影像パラメータの関数で表されるとしたら、それはどういった関数になるかというもの

\begin{eqnarray}<br />Z_1&=&g_1\left(Z_{01},Z_{02},\theta\right)\\<br />Z_2&=&g_2\left(Z_{01},Z_{02},\theta\right)\\<br />Z_3&=&g_3\left(Z_{01},Z_{02},\theta\right)<br />\end{eqnarray}

考えられる解法のアプローチとしてはZ1,Z2,Z3を不定元としたままで影像パラメータをZ1,Z2,Z3の関数として導き、連立方程式としてZ1,Z2,Z3を解くことが考えられる。

\begin{eqnarray}<br />Z_{01}&=&h_1\left(Z_1,Z_2,Z_3\right)\\<br />Z_{02}&=&h_2\left(Z_1,Z_2,Z_3\right)\\<br />\theta&=&h_3\left(Z_1,Z_2,Z_3\right)<br />\end{eqnarray}

しかしこれは以前の問題でも4端子定数で表された影像パラメータの式から逆に4端子定数を影像パラメータで表す式を導出する際でも試みたが方程式は得られるがそれを解くのは人間がやっても容易ではないし、ましてやMaximaでは解けないことが判っている。本当かどうかは実際にやって確かめてみればよい。

従ってこのアプローチは早々に捨てて別のアプローチを探る必要がある。

既に4端子定数が以下の通り影像パラメータの関数として表されることを知っている

\begin{eqnarray}<br />A&=&u_1\left(Z_{01},Z_{02},\theta\right)=\sqrt{\frac{Z_{01}}{Z_{02}}}\,\cosh(\theta)\\<br />B&=&u_2\left(Z_{01},Z_{02},\theta\right)=\sqrt{Z_{01}Z_{02}}\,\sinh(\theta)\\<br />C&=&u_3\left(Z_{01},Z_{02},\theta\right)=\frac{1}{\sqrt{Z_{01}Z_{02}}}\,\sinh(\theta)\\<br />D&=&u_4\left(Z_{01},Z_{02},\theta\right)=\sqrt{\frac{Z_{02}}{Z_{01}}}\,\cosh(\theta)<br />\end{eqnarray}

ならばZ1,Z2,Z3が4端子定数の関数として表すことができれば、それは影像パラメータの関数でもあることになる

\begin{eqnarray}<br />Z_1&=&v_1\left(A,B,C,D\right)=v_1\left(u_1,u_2,u_3,u_4\right)=g_1\left(Z_{01},Z_{02},\theta\right)\\<br />Z_2&=&v_2\left(A,B,C,D\right)=v_2\left(u_1,u_2,u_3,u_4\right)=g_2\left(Z_{01},Z_{02},\theta\right)\\<br />Z_3&=&v_3\left(A,B,C,D\right)=v_3\left(u_1,u_2,u_3,u_4\right)=g_3\left(Z_{01},Z_{02},\theta\right)<br />\end{eqnarray}

u1,u2,u3,u4は既知なので、v1,v2,v3がわかればA,B,C,Dをu1,u2,u3,u4で置き換えたものがg1,g2,g3ということになる。

長々となったが、著者の解も基本的には同じアプローチをとっている。著者はオーソドックスな代数操作で結果を得ているが、こちらはそれとは違う線形代数的手法でやってみよう。

さてここで足踏み状態。オーソドックスな式の代入とか操作なら著者の解と何一つ変わらないので意味が無い。理論の時に試みようとしたが壁にぶち当たってしまった。同じ課題に直面している。どうしても元の回路にアドミッタンス要素があるので有理式が出てきてしまう。それをインピーダンスに直すと今度は不定元の二次式になってしまう。二次形式を使わないと行列では表現することができない。二次形式をどう扱えばよいかは勉強していないので解らない。

歴史的には線形代数よりも二次形式の方がずっと古い。古くはDiophantusに始まり、彼の著書にインスパイアされたFermatによって重要な課題がいくつも見いだされ、以後Eulerや多くの数学者がその課題に挑んできた。GaussによればLagrangeが既に多くの発見をしており、その後を継いだのがLegendreだが近代数学に至る道を切り開いたのがGaussであった。Gauss以前の数学者は個々の特殊な問題に対する興味深い発見を提供したが、一般化を目指すものではなく発展性もなかった。それら散在する発見をひとまとめに包含しそれを超える一般論を構築したのがGaussの天才性である。Gaussはそれを20代で成し遂げて著作にしたのだが、その時代には行列も行列式も代数理論も無かったもののGauss自身は生来の天才性で近代に通用する代数的概念を常識的に利用していた。後生になってDirichletがGaussの著書を常に携帯し急発展してきた代数理論と照らし合わせて解釈するという偉業を成し遂げた。Dirichletはそれを講義でしか公開しなかったので、後にDedekindがそれらを著書にまとめた。Gaussの著書"Disquisitiones Arithmeticae"(略してD.A.と呼ばれる、日本語訳では"ガウス整数論"として知られる)数学史上の遺産だがそれを近代的な代数理論で再構成し平易化したDirichlet-Dedekindの"Vorlesungen uber Zahlentheoric"(日本語訳本"ディレクレ デデキント整数論講義")は代数的数論論のバイブルである。

実のところこの問題はそういった数学の血脈につながるものがあるのだが、そうした方向に目を向かせると電気回路理論の本道ではなく脇道にそれ近代数学の世界にワープしかねないブラックホールが潜んでいるので、絶対にそのブラックホールに近づかないように安易な解法を教えてしまうことにしているように見える。こっから先は闇だと言うと若い人は好んでそっちへ行こうとするので、その道の存在自体を教えなければ良いのである。

そもそも電気回路を代数的に扱おうとする時点で、こうした近代数学理論へつながるブラックホール(境界領域)はいたるところに潜んでいる運命にある。残念ながら大学ではそんな脇道にそれていたら満足に卒業できないので時間の都合上脇目をそらせないように教える必要があるわけである。しかし独学だとそういった結界は無いので、境界領域のその先を覗き見することは自由である。

二次形式はそんなわけで、歴史的には線形代数よりも遙かに歴史は古いが固有値問題よりも後にならないと教えられない。

しばらく二次形式について勉強してくる(;´Д`)

ふう、二次形式を調べているつもりだったけど、とっくに通り過ぎて代数幾何やグロブナー基底の世界やら非線形方程式や無理方程式を眺めてた、最近の学校はエクセルで方程式の解法を教えるのね。

結局自分の納得の行くやり方は見つからず。自分でゼロから考えるしかないという結論に。

最初からやってみると、まず問題の回路の4端子定数を導いてみよう。Z1,Z2,Z3それぞれひとつだけから成る部分回路の従属接続として計算することができる。

\begin{eqnarray}<br />F_1&=&\left[\begin{array}1&Z_1\\0&1\end{array}\right]\\<br />F_2&=&\left[\begin{array}1&0\\\frac{1}{Z_2}&1\end{array}\right]<br />F_3&=&\left[\begin{array}1&Z_3\\0&1\end{array}\right]\\<br />F&=&F_1 F_2 F_3\\<br />&=&\left[\begin{array}1&Z_1\\0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}1&0\\\frac{1}{Z_2}&1\end{array}\right]\left[\begin{array}1&Z_3\\0&1\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{Z_1}{Z_2}+1 & Z_1\,\left( \frac{Z_3}{Z_2}+1\right) +Z_3\\ \frac{1}{Z_2} & \frac{Z_3}{Z_2}+1\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{Z_2+Z_1}{Z_2} & \frac{Z_2\,Z_3+Z_1\,Z_3+Z_1\,Z_2}{Z_2}\\ \frac{1}{Z_2} & \frac{Z_3+Z_2}{Z_2}\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}A&B\\C&D\end{array}\right]<br />\end{eqnarray}

この結果から逆にZ1,Z2,Z3を解こうとしてもMaximaでは解けない。中学生で習う代入法を使えばC=1/Z2からZ2=1/Cが、それをAの式に代入してA=1+CZ1からZ1=(A-1)/Cが導かれそれらをBかDの式に代入すれば残りのZ3が導かれる。それがMaximaでは出来ないというのがsolveで実装されているアルゴリズムの守備範囲で無いということだろうか。しかし代入法以外に解法はないのかという納得がいかない疑問が残る。連立方程式に二次と一次の項が混じっているのが原因かもしれない。二次の項だけなら過去さらりと解いているし。

それで二次形式を勉強している間に重要な事に気づいた。二次の項が伴うだけで既に線形ではないということである。また二次の項のみなら二次形式で表されるが、一次の項が混じるとそうはいかない。それに早い時点で気づくべきだった...orz

二次形式は二次同次多項式のみを対象とするのに対して、二次曲面は二次方程式一般を対象とするため、そちらを勉強すべきだった。実は二次曲面を扱っている線形代数の本もある。既に線形ではないのにどういうことだろう。

実は一般的な二次方程式は適当な座標軸をうまくとると二次形式で表される。それによって得られる二次形式はいくつかの種類のどれかになる。

一般の二次方程式の二次の項は二次形式で以下の様に行列表記される

x^{t}A x&=&\begin{eqnarray}<br />\left[\begin{array}x_1.x_2,\cdots,x_n\end{array}\right]\left[\begin{array}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right]\left[\begin{array}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{array}\right]<br />\end{eqnarray}

残る一次の項は

\begin{eqnarray}<br />2 b x&=&2\left[\begin{array}b_1,b_2,\cdots,b_n\end{array}\right]\left[\begin{array}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{array}\right]<br />\end{eqnarray}

従ってn元の二次方程式は一般に

\begin{eqnarray}<br />x^{t}A x+2 b x+c&=&\left[\begin{array}x_1.x_2,\cdots,x_n\end{array}\right]\left[\begin{array}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right]\left[\begin{array}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{array}\right]+2\left[\begin{array}b_1,b_2,\cdots,b_n\end{array}\right]\left[\begin{array}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{array}\right]+c\\<br />&=&0<br />\end{eqnarray}

と行列表記することができる。

ここでxがx'から座標軸の回転と並行移動を施したものとすると

\begin{eqnarray}<br />x&=&P x^{\'}+x_0\\<br />x^{t}A x+2 b x+c&=&\left(P x^{\'}+x_0\right)^{t}A \left(P x^{\'}+x_0\right)+2 b \left(P x^{\'}+x_0\right)+c\\<br />&=&\left(P x^{\'}\right)^{t}A P x^{\'}+{x_0}^{t}A P x^{\'}+\left(P x^{\'}\right)^{t}A x_0+2 b P x^{\'}+{x_0}^{t} A x_0+2 b x_0+c\\<br />&=&x^{\'}^{t}P^{t}A P x^{\'}+{x_0}^{t}A P x^{\'}+x^{\'}^{t}P^{t}A x_0+2 b P x^{\'}+{x_0}^{t} A x_0+2 b x_0+c\\<br />&=&x^{\'}^{t}A^{\'}x^{\'}+2b^{\'}x^{\'}+c^{\'}\\<br />&=&0\\<br />A^{\'}&=&P^{t}A P\\<br />b^{\'}&=&\left({x_0}^{t}A+b\right) P\\<br />c^{\'}&=&\left({x_0}^{t} A+2 b\right) x_0+c<br />\end{eqnarray}

と書き換えることができる。

ここで以下が成り立つように並行移動量x0を適切に選ぶと

\begin{eqnarray}<br />{x_0}^{t}A+b&=&0\\<br />{x_0}^{t}A&=&-b<br />\end{eqnarray}

b'=0となるので

\begin{eqnarray}<br />x^{\'}^{t}A^{\'}x^{\'}+c^{\'}&=&0<br />\end{eqnarray}

という標準形となり二次形式論とつながる。

二次曲面は二次元の場合、線形変換Aと回転Pと並行移動x0によって1点、円、楕円、双曲線、2直線、1直線、放物線、空集合のいずれかをとる。

3次元の場合には同様にして楕円面、一様双曲面、二葉双曲面、推面、楕円放物線、双曲放物線、楕円柱面、双曲柱面、交差2平面、放物柱面、並行2平面、1平面、1直線、1点のいずれかになる。

従って先の連立方程式の解はそれぞれの方程式が与えるすべての二次曲面が交わる点の集合である。実際に3次元と行っても複素数なので普段見慣れている三次元空間の曲面とは厳密には同じではないが、数式上では同じように扱うことができる。

歴史的には二次形式論がずっと古く線形代数や代数幾何は戦後に後から構築されたのだが構造的には新しい順から学んだ方が体系的には見通しが良くなる。しかし歴史的な経緯で戦前や戦後の線形代数も代数幾何もまだなかった頃の二次形式論が長い間教えられてきた関係で上記の二次曲面(二次曲線)論と二次形式論の講義の順番はまちまちである。

さてこっからどうすんだ(;´Д`)

ふと思い立ってA,B,Cに関する連立方程式のみMaximaに与えたらあっさり解けた...orz

\begin{verbatim}<br />solve([e1,e2,e3],[Z1,Z2,Z3]);<br />\end{verbatim}\\<br />\left[\left[Z_1=\frac{A-1}{C},Z_2=\frac{1}{C},Z_3=\frac{B\,C-A+1}{A\,C}\right]\right]

Maximaはいったいどうやって解いているんだろ。確かにA,B,C,Dは一次独立ではないので行列Rank=3で3つが決まれば十分なのだけれども。

上記のA,B,Cにそれぞれ影像パラメータ表記を代入すると

\begin{eqnarray}<br />Z_1&=&\frac{A-1}{C}=\frac{\sqrt{\frac{Z_{01}}{\cancel{Z_{02}}}}\,\cosh(\theta)-1}{\frac{1}{\sqrt{Z_{01}\cancel{Z_{02}}}}\,\sinh(\theta)}=Z_{01}\coth(\theta)-\sqrt{Z_{01}Z_{02}}\,cosech(\theta)\\<br />Z_2&=&\frac{1}{C}=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{Z_{01}Z_{02}}}\,\sinh(\theta)}=\sqrt{Z_{01}Z_{02}}\,cosech(\theta)\\<br />Z_3&=&\frac{B\,C-A+1}{A\,C}=\frac{\sqrt{\cancel{Z_{01}Z_{02}}}\,\sinh(\theta)\,\frac{1}{\sqrt{\cancel{Z_{01}Z_{02}}}}\,\sinh(\theta)-\sqrt{\frac{Z_{01}}{Z_{02}}}\,\cosh(\theta)+1}{\sqrt{\frac{\cancel{Z_{01}}}{Z_{02}}}\,\cosh(\theta)\,\frac{1}{\sqrt{\cancel{Z_{01}}Z_{02}}}\,\sinh(\theta)}=Z_{02}\,\coth(\theta)-\sqrt{Z_{01}Z_{02}}\,cosech(\theta)<br />\end{eqnarray}

ということになり著者と同じ結果が得られる。

これでよしとしよう。
フラット表示 前のトピック | 次のトピック

題名 投稿者 日時
   2端子対回路演習問題 webadm 2010-5-20 4:53
     インピーダンスパラメータ webadm 2010-5-20 5:54
     インピーダンスパラメータとアドミッタンスパラメータ webadm 2010-5-22 23:43
     インピーダンスパラメータとハイブリッドパラメータ webadm 2010-5-23 1:32
     インピーダンス行列とアドミッタンス行列 webadm 2010-5-23 10:12
     T形回路 webadm 2010-5-23 16:25
     続:T形回路 webadm 2010-5-23 16:33
     π形回路 webadm 2010-5-23 17:20
     Zobel変換 webadm 2010-5-23 17:58
     ハイブリッドパラメータ webadm 2010-5-24 17:53
     アドミッタンスパラメータと4端子定数 webadm 2010-5-26 11:41
     伝送行列 webadm 2010-5-26 14:34
     T形回路の伝送行列 webadm 2010-5-26 15:14
     4端子定数 webadm 2010-5-27 3:18
     続:伝送行列 webadm 2010-5-27 13:50
     続:4端子定数 webadm 2010-5-27 22:14
     続々:4端子定数 webadm 2010-5-29 3:39
     インピーダンス行列 webadm 2010-5-29 11:27
     アドミッタンス行列 webadm 2010-5-29 11:57
     またまた:4端子定数 webadm 2010-5-30 11:15
     二端子対回路の並列接続 webadm 2010-5-30 12:37
     もうひとつの:4端子定数 webadm 2010-5-30 12:45
     アドミッタンスパラメータ webadm 2010-6-3 12:42
     まだまだ:4端子定数 webadm 2010-6-5 13:04
     影像パラメータと4端子定数 webadm 2010-6-5 13:44
     影像パラメータ webadm 2010-6-12 22:30
   » 続:影像パラメータ webadm 2010-6-13 5:07
     続々:影像パラメータ webadm 2010-6-17 5:13
     影像インピーダンス webadm 2010-6-17 16:21
     続:影像インピーダンス webadm 2010-6-17 19:40
     まだまだ:影像パラメータ webadm 2010-6-22 18:50
     もうひとつの:影像パラメータ webadm 2010-6-25 21:54
     4端子定数と影像インピーダンス webadm 2010-6-26 0:45
     インピーダンス整合 webadm 2010-6-26 11:27
     もうひとつの:影像インピーダンス webadm 2010-6-26 21:55
     反復インピーダンスと4端子定数 webadm 2010-6-27 0:05
     反復パラメータ webadm 2010-6-28 21:04
     影像インピーダンスと反復インピーダンス webadm 2010-6-29 18:16
     π形回路の伝送行列、影像パラメータ、反復パラメータ webadm 2010-7-8 21:06
     相互誘導回路と理想変成器 webadm 2010-7-28 6:11
     Norton変換 webadm 2010-8-17 10:44
     続:Norton変換 webadm 2010-8-17 20:48
     容量性変成器 webadm 2010-8-18 3:42
     抵抗性変成器 webadm 2010-8-21 10:11
     理想ジャイレーター webadm 2010-10-31 3:26
     続:理想ジャイレータ webadm 2010-11-19 2:41
     続々:ジャイレータ webadm 2010-11-23 21:29
     対称回路 webadm 2010-11-25 9:18
     続:対称回路 webadm 2010-11-30 0:01
     続々:対称回路 webadm 2010-11-30 9:27
     またまた:対称回路 webadm 2010-11-30 23:28
     軸対称二端子対回路 webadm 2010-12-3 8:26
     一方向性回路 webadm 2010-12-8 9:13
     続:一方向性回路 webadm 2010-12-8 10:37
     Zパラメータ webadm 2010-12-9 22:51
     続:Zパラメータ webadm 2010-12-10 0:17
     4端子定数 webadm 2010-12-14 6:51
     理想オペアンプ webadm 2010-12-14 7:03
     続々:Zパラメータ webadm 2010-12-20 10:10
     reactance回路 webadm 2010-12-20 22:52
     全域通過回路 webadm 2010-12-23 13:53
     最小位相推移回路 webadm 2010-12-23 21:54
     続:最小位相推移回路 webadm 2011-4-22 7:02
     続々:最小位相推移回路 webadm 2011-4-22 9:38

投稿するにはまず登録を
 
ページ変換(Google Translation)
サイト内検索