Gan's blog - フォーラム

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webadm	投稿日時: 2010-6-17 5:13
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3084	続々：影像パラメータ次ぎは影像パラメータを求める問題。以下の２つのL型回路の伝送行列と影像パラメータを求めよというもの。著者のとは違う方法で求めてみよう。ストラテジーとしては伝送行列を２つの部分回路の縦続接続として導いた後、その鏡像回路と縦続接続した対称回路の伝送行列の固有値と固有ベクトルとして影像パラメータを導く。左端の回路の伝送行列F1は $\begin{eqnarray}<br />F_1&=&\left[\begin{array}1&0\\\frac{1}{Z_1}&1\end{array}\right]\left[\begin{array}1&Z_2\\0&1\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}1 & Z_2\\ \frac{1}{Z_1} & \frac{Z_2+Z_1}{Z_1}\end{array}\right]<br />\end{eqnarray}$ 次ぎに鏡像回路との従属接続した対称回路の固有値と固有ベクトルとして影像パラメータを求めると $\begin{eqnarray}<br />A_{01}&=&F_1 F_{i1}=\left[\begin{array}1 & Z_2\\ \frac{1}{Z_1} & \frac{Z_2+Z_1}{Z_1}\end{array}\right]\left[\begin{array}\frac{Z_2+Z_1}{Z_1} & Z_2\\ \frac{1}{Z_1} & 1\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{2\,Z_2+Z_1}{Z_1} & 2\,Z_2\\ \frac{2\,\left( Z_2+Z_1\right) }{{Z_1}^{2}} & \frac{2\,Z_2+Z_1}{Z_1}\end{array}\right]\\<br />\left\|\lambda I-A_{01}\right\|&=&\left\|\begin{array}\lambda-\frac{2\,Z_2+Z_1}{Z_1} & -2\,Z_2\\ -\frac{2\,\left( Z_2+Z_1\right) }{{Z_1}^{2}} & \lambda-\frac{2\,Z_2+Z_1}{Z_1}\end{array}\right\|\\<br />&=&{\left( \lambda-\frac{2\,Z_2+Z_1}{Z_1}\right) }^{2}-\frac{4\,Z_2\,\left( Z_2+Z_1\right) }{{Z_1}^{2}}\\<br />&=&\left(\lambda-\frac{2\,Z_2+Z_1}{Z_1}+\sqrt{\frac{4\,Z_2\,\left( Z_2+Z_1\right) }{{Z_1}^{2}}}\right)\left(\lambda-\frac{2\,Z_2+Z_1}{Z_1}-\sqrt{\frac{4\,Z_2\,\left( Z_2+Z_1\right) }{{Z_1}^{2}}}\right)\\<br />&=&\left(\lambda-\left(\frac{2\,Z_2+Z_1-2\sqrt{\,Z_2\,\left( Z_2+Z_1\right)}}{Z_1}\right)\right)\left(\lambda-\left(\frac{2\,Z_2+Z_1+2\sqrt{\,Z_2\,\left( Z_2+Z_1\right) }}{Z_1}\right)\right)\\<br />\lambda&=&\frac{2\,Z_2+Z_1\pm 2\sqrt{\,Z_2\,\left( Z_2+Z_1\right)}}{Z_1}\\<br />\left[\begin{array}\lambda-\frac{2\,Z_2+Z_1}{Z_1} & -2\,Z_2\\ -\frac{2\,\left( Z_2+Z_1\right) }{{Z_1}^{2}} & \lambda-\frac{2\,Z_2+Z_1}{Z_1}\end{array}\right]x&=&\left[\begin{array}\frac{\cancel{2\,Z_2+Z_1}\pm 2\sqrt{\,Z_2\,\left( Z_2+Z_1\right)}}{Z_1}-\frac{\cancel{2\,Z_2+Z_1}}{Z_1} & -2\,Z_2\\ -\frac{2\,\left( Z_2+Z_1\right) }{{Z_1}^{2}} & \frac{\cancel{2\,Z_2+Z_1}\pm 2\sqrt{\,Z_2\,\left( Z_2+Z_1\right)}}{Z_1}-\frac{\cancel{2\,Z_2+Z_1}}{Z_1}\end{array}\right]x\\<br />&=&\left[\begin{array}\pm\frac{2\sqrt{\,Z_2\,\left( Z_2+Z_1\right)}}{Z_1} & -2\,Z_2\\ -\frac{2\,\left( Z_2+Z_1\right) }{{Z_1}^{2}} & \pm\frac{2\sqrt{\,Z_2\,\left( Z_2+Z_1\right)}}{Z_1}\end{array}\right]\left[\begin{array}Z_{01}\\1\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\pm Z_{01}\frac{2\sqrt{\,Z_2\,\left( Z_2+Z_1\right)}}{Z_1}-2\,Z_2\\\pm Z_{01}\frac{2\,\left( Z_2+Z_1\right) }{{Z_1}^{2}}-\frac{2\sqrt{\,Z_2\,\left( Z_2+Z_1\right)}}{Z_1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}0\\0\end{array}\right]\\<br />Z_{01}&=&\frac{Z_1\,Z_2}{\sqrt{Z_2\,\left( Z_2+Z_1\right) }}\\<br />&=&Z_1\sqrt{\frac{Z_2}{Z_2+Z_1}}\\<br />\end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray}<br />A_{02}&=& F_{i1} F_1=\left[\begin{array}\frac{Z_2+Z_1}{Z_1} & Z_2\\ \frac{1}{Z_1} & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}1 & Z_2\\ \frac{1}{Z_1} & \frac{Z_2+Z_1}{Z_1}\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{2\,Z_2+Z_1}{Z_1} & \frac{2\,Z_2\,\left( Z_2+Z_1\right) }{Z_1}\\ \frac{2}{Z_1} & \frac{2\,Z_2+Z_1}{Z_1}\end{array}\right]\\<br />\left[\begin{array}\lambda-\frac{2\,Z_2+Z_1}{Z_1} & -\frac{2\,Z_2\,\left( Z_2+Z_1\right) }{Z_1}\\ -\frac{2}{Z_1} & \lambda-\frac{2\,Z_2+Z_1}{Z_1}\end{array}\right]x&=&\left[\begin{array}\frac{\cancel{2\,Z_2+Z_1}\pm 2\sqrt{\,Z_2\,\left( Z_2+Z_1\right)}}{Z_1}-\frac{\cancel{2\,Z_2+Z_1}}{Z_1} & -\frac{2\,Z_2\,\left( Z_2+Z_1\right) }{Z_1}\\ -\frac{2}{Z_1} & \frac{\cancel{2\,Z_2+Z_1}\pm 2\sqrt{\,Z_2\,\left( Z_2+Z_1\right)}}{Z_1}-\frac{\cancel{2\,Z_2+Z_1}}{Z_1}\end{array}\right]x\\<br />&=&\left[\begin{array}\pm\frac{2\sqrt{\,Z_2\,\left( Z_2+Z_1\right)}}{Z_1} & -\frac{2\,Z_2\,\left( Z_2+Z_1\right) }{Z_1}\\ -\frac{2}{Z_1} & \pm\frac{2\sqrt{\,Z_2\,\left( Z_2+Z_1\right)}}{Z_1}\end{array}\right]\left[\begin{array}Z_{02}\\1\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\pm Z_{02}\frac{2\sqrt{\,Z_2\,\left( Z_2+Z_1\right)}}{Z_1}-\frac{2\,Z_2\,\left( Z_2+Z_1\right) }{Z_1}\\\pm Z_{02}\frac{2}{Z_1}-\frac{2\sqrt{\,Z_2\,\left( Z_2+Z_1\right)}}{Z_1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}0\\0\end{array}\right]\\<br />Z_{02}&=&\sqrt{Z_2\,\left( Z_2+Z_1\right) }\\<br />\end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray}<br />2\theta&=&\ln\left(\lambda\right)=\ln\left(\frac{2\,Z_2+Z_1+ 2\sqrt{\,Z_2\,\left( Z_2+Z_1\right)}}{Z_1}\right)\\<br />&=&\ln\left(2\sqrt{\frac{ Z_2}{Z_1}}\sqrt{\frac{ Z_2}{Z_1}+1}+\frac{2 Z_2}{Z_1}+ 1\right)\\<br />&=&\ln\left(\sqrt{\frac{Z_2}{Z_1}}+\sqrt{\frac{Z_2}{Z_1}+1}\right)^2\\<br />&=&2\ln\left(\sqrt{\frac{Z_2}{Z_1}}+\sqrt{\frac{Z_2}{Z_1}+1}\right)\\<br />\theta&=&\ln\left(\sqrt{\frac{Z_2}{Z_1}}+\sqrt{\frac{Z_2}{Z_1}+1}\right)\\<br />exp{\theta}&=&\sqrt{\frac{Z_2}{Z_1}}+\sqrt{\frac{Z_2}{Z_1}+1}\\<br />exp{-\theta}&=&\frac{1}{\sqrt{\frac{Z_2}{Z_1}}+\sqrt{\frac{Z_2}{Z_1}+1}}=\frac{\sqrt{Z_1}}{\sqrt{Z_2+Z_1}+\sqrt{Z_2}}\\<br />\cosh(\theta)&=&\frac{exp{\theta}+exp{-\theta}}{2}=\frac{\sqrt{\frac{Z_2}{Z_1}}+\sqrt{\frac{Z_2}{Z_1}+1}+\frac{\sqrt{Z_1}}{\sqrt{Z_2+Z_1}+\sqrt{Z_2}}}{2}=\frac{\left( \sqrt{Z_2}\,\sqrt{Z_2+Z_1}+Z_2+Z_1\right) }{\sqrt{Z_1}\,\left( \sqrt{Z_2+Z_1}+\sqrt{Z_2}\right)}=\frac{\sqrt{Z_2+Z_1}\left( \cancel{\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_2+Z_1}}\right) }{\sqrt{Z_1}\,\left( \cancel{\sqrt{Z_2+Z_1}+\sqrt{Z_2}}\right)}\\<br />&=&\sqrt{\frac{Z_2}{Z_1}+1}\\<br />\theta&=&\cosh^{-1}(\sqrt{\frac{Z_2}{Z_1}+1})<br />\end{eqnarray}$ ということになる。一方右端の回路の伝送行列は $\begin{eqnarray}<br />F_2&=&\left[\begin{array}1&\frac{Z_1}{2}\\0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}1&0\\\frac{1}{2 Z_2}&1\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{Z_1}{4\,Z_2}+1 & \frac{Z_1}{2}\\ \frac{1}{2\,Z_2} & 1\end{array}\right]<br />\end{eqnarray}$ 従って影像パラメータは $\begin{eqnarray}<br />B_{01}&=&F_2 F_{i2} =\left[\begin{array}\frac{Z_1}{4\,Z_2}+1 & \frac{Z_1}{2}\\ \frac{1}{2\,Z_2} & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}1 & \frac{Z_1}{2}\\ \frac{1}{2\,Z_2} & \frac{Z_1}{4\,Z_2}+1\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{2\,Z_2+Z_1}{2\,Z_2} & \frac{Z_1\,\left( 4\,Z_2+Z_1\right) }{4\,Z_2}\\ \frac{1}{Z_2} & \frac{2\,Z_2+Z_1}{2\,Z_2}\end{array}\right]\\<br />\left\|\lambda I-B_{01}\right\|&=&\left\|\begin{array}\lambda-\frac{2\,Z_2+Z_1}{2\,Z_2} & -\frac{Z_1\,\left( 4\,Z_2+Z_1\right) }{4\,Z_2}\\ -\frac{1}{Z_2} & \lambda-\frac{2\,Z_2+Z_1}{2\,Z_2}\end{array}\right\|\\<br />&=&{\left( \lambda-\frac{2\,Z_2+Z_1}{2\,Z_2}\right) }^{2}-\frac{Z_1\,\left( 4\,Z_2+Z_1\right) }{4\,{Z_2}^{2}}\\<br />&=&\left(\lambda-\left(\frac{2\,Z_2+Z_1}{2\,Z_2}-\sqrt{\frac{Z_1\,\left( 4\,Z_2+Z_1\right) }{4\,{Z_2}^{2}}}\right)\right)\left(\lambda-\left(\frac{2\,Z_2+Z_1}{2\,Z_2}+sqrt{\frac{Z_1\,\left( 4\,Z_2+Z_1\right) }{4\,{Z_2}^{2}}}\right)\right)\\<br />&=&\left(\lambda-\left(\frac{2\,Z_2+Z_1-\sqrt{Z_1\,\left( 4\,Z_2+Z_1\right) }}{2\,Z_2}\right)\right)\left(\lambda-\left(\frac{2\,Z_2+Z_1+\sqrt{Z_1\,\left( 4\,Z_2+Z_1\right) }}{2\,Z_2}\right)\right)\\<br />\lambda&=&\frac{2\,Z_2+Z_1\pm\sqrt{Z_1\,\left( 4\,Z_2+Z_1\right) }}{2\,Z_2}\\<br />\left[\begin{array}\lambda-\frac{2\,Z_2+Z_1}{2\,Z_2} & -\frac{Z_1\,\left( 4\,Z_2+Z_1\right) }{4\,Z_2}\\ -\frac{1}{Z_2} & \lambda-\frac{2\,Z_2+Z_1}{2\,Z_2}\end{array}\right]x&=&\left[\begin{array}\frac{\cancel{2\,Z_2+Z_1}\pm\sqrt{Z_1\,\left( 4\,Z_2+Z_1\right) }}{2\,Z_2}-\frac{\cancel{2\,Z_2+Z_1}}{2\,Z_2} & -\frac{Z_1\,\left( 4\,Z_2+Z_1\right) }{4\,Z_2}\\ -\frac{1}{Z_2} & \frac{\cancel{2\,Z_2+Z_1}\pm\sqrt{Z_1\,\left( 4\,Z_2+Z_1\right) }}{2\,Z_2}-\frac{\cancel{2\,Z_2+Z_1}}{2\,Z_2}\end{array}\right]x\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{\pm\sqrt{Z_1\,\left( 4\,Z_2+Z_1\right) }}{2\,Z_2} & -\frac{Z_1\,\left( 4\,Z_2+Z_1\right) }{4\,Z_2}\\ -\frac{1}{Z_2} & \frac{\pm\sqrt{Z_1\,\left( 4\,Z_2+Z_1\right) }}{2\,Z_2}\end{array}\right]\left[\begin{array}Z_{01}\\1\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{\pm Z_{01}\sqrt{Z_1\,\left( 4\,Z_2+Z_1\right) }}{2\,Z_2}-\frac{Z_1\,\left( 4\,Z_2+Z_1\right) }{4\,Z_2}\\ -Z_{01}\frac{1}{Z_2}+\frac{\pm\sqrt{Z_1\,\left( 4\,Z_2+Z_1\right) }}{2\,Z_2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}0\\0\end{array}\right]\\<br />Z_{01}&=&\sqrt{Z_1 Z_2+\frac{{Z_1}^2}{4}}\\<br />\end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray}<br />B_{02}&=&F_{i2} F_2 =\left[\begin{array}1 & Z_2\\ \frac{1}{Z_1} & \frac{Z_2+Z_1}{Z_1}\end{array}\right]\left[\begin{array}\frac{Z_2+Z_1}{Z_1} & Z_2\\ \frac{1}{Z_1} & 1\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{2\,Z_2+Z_1}{2\,Z_2} & Z_1\\ \frac{4\,Z_2+Z_1}{4\,{Z_2}^{2}} & \frac{2\,Z_2+Z_1}{2\,Z_2}\end{array}\right]\\<br />\left[\begin{array}\lambda-\frac{2\,Z_2+Z_1}{2\,Z_2} & -Z_1\\ -\frac{4\,Z_2+Z_1}{4\,{Z_2}^{2}} & \lambda-\frac{2\,Z_2+Z_1}{2\,Z_2}\end{array}\right]x&=&\left[\begin{array}\frac{\cancel{2\,Z_2+Z_1}\pm\sqrt{Z_1\,\left( 4\,Z_2+Z_1\right) }}{2\,Z_2}-\cancel{\frac{2\,Z_2+Z_1}{2\,Z_2}} & -Z_1\\ -\frac{4\,Z_2+Z_1}{4\,{Z_2}^{2}} & \frac{\cancel{2\,Z_2+Z_1}\pm\sqrt{Z_1\,\left( 4\,Z_2+Z_1\right) }}{2\,Z_2}-\cancel{\frac{2\,Z_2+Z_1}{2\,Z_2}}\end{array}\right]x\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{\pm\sqrt{Z_1\,\left( 4\,Z_2+Z_1\right) }}{2\,Z_2} & -Z_1\\ -\frac{4\,Z_2+Z_1}{4\,{Z_2}^{2}} & \frac{\pm\sqrt{Z_1\,\left( 4\,Z_2+Z_1\right) }}{2\,Z_2}\end{array}\right]\left[\begin{array}Z_{02}\\1\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{\pm Z_{02}\sqrt{Z_1\,\left( 4\,Z_2+Z_1\right) }}{2\,Z_2}-Z_1\\ -Z_{02}\frac{4\,Z_2+Z_1}{4\,{Z_2}^{2}}+\frac{\pm\sqrt{Z_1\,\left( 4\,Z_2+Z_1\right) }}{2\,Z_2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}0\\0\end{array}\right]\\<br />Z_{02}&=&2 Z_2\sqrt{\frac{Z_1}{Z_1+4 Z_2}}\\<br />\end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray}<br />2\theta&=&\ln\left(\lambda\right)=\ln\left(\frac{2\,Z_2+Z_1+\sqrt{Z_1\,\left( 4\,Z_2+Z_1\right) }}{2\,Z_2}\right)\\<br />&=&\ln\left(\sqrt{\frac{Z_1}{4 Z_2}}\sqrt{\frac{Z_1}{4 Z_2}+1}+\frac{Z_1}{2 Z_2}+1\right)\\<br />&=&\ln\left(\sqrt{\frac{Z_1}{4 Z_2}}+\sqrt{\frac{Z_1}{4 Z_2}+1}\right)^2\\<br />&=&2\ln\left(\sqrt{\frac{Z_1}{4 Z_2}}+\sqrt{\frac{Z_1}{4 Z_2}+1}\right)\\<br />\theta&=&\ln\left(\sqrt{\frac{Z_1}{4 Z_2}}+\sqrt{\frac{Z_1}{4 Z_2}+1}\right)\\<br />exp{\theta}&=&\sqrt{\frac{Z_1}{4 Z_2}}+\sqrt{\frac{Z_1}{4 Z_2}+1}\\<br />exp{-\theta}&=&\frac{1}{\sqrt{\frac{Z_1}{4 Z_2}}+\sqrt{\frac{Z_1}{4 Z_2}+1}}=\frac{2\,Z_2}{\sqrt{Z_1\,\left( 4\,Z_2+Z_1\right) }+2\,Z_2+Z_1}\\<br />\cosh(\theta)&=&\frac{exp{\theta}+exp{-\theta}}{2}=\frac{\sqrt{\frac{Z_1}{4 Z_2}}+\sqrt{\frac{Z_1}{4 Z_2}+1}+\frac{2\,Z_2}{\sqrt{Z_1\,\left( 4\,Z_2+Z_1\right) }+2\,Z_2+Z_1}}{2}=\frac{\sqrt{Z_1}\,\sqrt{4\,Z_2+Z_1}+4\,Z_2+Z_1}{2\,\sqrt{Z_2}\,\left( \sqrt{4\,Z_2+Z_1}+\sqrt{Z_1}\right) }=\frac{\,\sqrt{4\,Z_2+Z_1}\left(\cancel{\sqrt{Z_1}+\sqrt{4\,Z_2+Z_1}}\right)}{2\,\sqrt{Z_2}\,\left( \cancel{\sqrt{4\,Z_2+Z_1}+\sqrt{Z_1}}\right) }\\<br />&=&\sqrt{\frac{Z_1}{4 Z_2}+1}\\<br />\theta&=&\cosh^{-1}(\sqrt{\frac{Z_1}{4 Z_2}+1})<br />\end{eqnarray}$ ということになる。 P.S 二つ目の回路で対称回路の伝送行列が間違っていて期待と違う計算結果しかでなくだいぶ悩んだのは内緒だ。転記した際に間違えたのかもしれないが、幸いもう片方の対称回路で固有値と固有ベクトルをMaximaで計算をやり直したら期待した結果がでたので間違いだとわかった。計算結果があっているかどうかは、(1)固有値を固有値ー固有ベクトル方程式に代入してみて行列式の値がゼロになるかどうか確認する。(2)４端子パラメータの影像パラメータ表現式に得られた影像パラメータを代入し元の４端子パラメータと一致するか検算することで確認できる。面倒でパズル的な固有値の素因子分解は最初自分でやったが、後半はMaximaを使用した便利である。 $\begin{verbatim}<br />solve([2ab=sqrt(Z1(4Z2+Z1))/(2Z2),a^2+b^2=(2Z2+Z1)/(2*Z2)],[a,b]);<br />\end{verbatim}\\<br />\left[\left[a=-\frac{\sqrt{\frac{Z_1}{Z_2}+4}}{2},b=-\frac{\sqrt{Z_1}}{2\,\sqrt{Z_2}}],[a=\frac{\sqrt{\frac{Z_1}{Z2}+4}}{2},b=\frac{\sqrt{Z_1}}{2\,\sqrt{Z_2}}],[a=-\frac{\sqrt{\frac{Z_1}{Z_2}}}{2},b=-\frac{\sqrt{4\,Z_2+Z_1}}{2\,\sqrt{Z_2}}],[a=\frac{\sqrt{\frac{Z_1}{Z_2}}}{2},b=\frac{\sqrt{4\,Z_2+Z_1}}{2\,\sqrt{Z_2}}\right]\right]<br />$

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続：伝送行列	webadm	2010-5-27 13:50
続：４端子定数	webadm	2010-5-27 22:14
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続：影像パラメータ	webadm	2010-6-13 5:07
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続：影像インピーダンス	webadm	2010-6-17 19:40
まだまだ：影像パラメータ	webadm	2010-6-22 18:50
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