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webadm	投稿日時: 2010-6-17 16:21
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3086	影像インピーダンス次ぎは影像インピーダンスの理解を試す問題。以下の回路で端子対1-1'から見た駆動点インピーダンスがZ01に等しく、端子対2-2'から見た駆動点インピーダンスがZ02に等しくなるようにするにはZ01,Z02をどのように選べば良いか導けというもの。影像インピーダンスの問題だと気づかないと大変難しい問題となる。問題文には一言も影像インピーダンスとは書いていないので用語と公式一夜漬けだと落とす問題。実務でもそういわれれば知っているが、言われるまでそうとは気が付かないということがよくある。影像インピーダンスを導く問題だとわかれば簡単だが、そうとわからないようにしているところがひっかけ問題である。著者の解答は記憶力優秀で公式を正確に記憶して思い出せる場合の解答である。しかし人は思い出した時には既に記憶があやふやだということが少なくない。Z01=sqrt(AB/CD)だったかな、いやAC/BDだったかもしれないとか、いろいろ組み合わせがあったのを思い出してしまってどれがどれだか混乱してしまう。大抵そういうときは間違った記憶に基づいて計算して出来たつもりになってしまう。計算自体は式が間違っていても結果は出るからね。ここではずぼらな一夜漬けもせず暗記もしない、もしくは一夜漬けはしたけど肝心の公式を忘れてしまったという場合の解法をやってみよう。公式を忘れても固有値問題のことを忘れていなければ問題ない。最初に二端子対回路としての伝送行列をもとめると３つの部分回路に分けてその縦続接続とすれば $\begin{eqnarray}<br />F_1&=&\left[\begin{array}1&Z_1\\0&1\end{array}\right]\\<br />F_2&=&\left[\begin{array}1&0\\\frac{1}{Z_2}&1\end{array}\right]\\<br />F_3&=&\left[\begin{array}1&Z_3\\0&1\end{array}\right]\\<br />F&=&F_1 F_2 F_3=\left[\begin{array}1&Z_1\\0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}1&0\\\frac{1}{Z_2}&1\end{array}\right]\left[\begin{array}1&Z_3\\0&1\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{Z_2+Z_1}{Z_2} & \frac{Z_2\,Z_3+Z_1\,Z_3+Z_1\,Z_2}{Z_2}\\ \frac{1}{Z_2} & \frac{Z_3+Z_2}{Z_2}\end{array}\right]<br />\end{eqnarray}$ 次ぎに端子対2-2'に鏡を置いて端子対1-1'から眺めたような対称回路の伝送行列を求めてその固有ベクトルとして影像インピーダンスZ01を求める。 $\begin{eqnarray}<br />A_{01}&=&F F_i=\left[\begin{array}\frac{Z_2+Z_1}{Z_2} & \frac{Z_2\,Z_3+Z_1\,Z_3+Z_1\,Z_2}{Z_2}\\ \frac{1}{Z_2} & \frac{Z_3+Z_2}{Z_2}\end{array}\right]\left[\begin{array}\frac{Z_3+Z_2}{Z_2} & \frac{Z_2\,Z_3+Z_1\,Z_3+Z_1\,Z_2}{Z_2}\\ \frac{1}{Z_2} & \frac{Z_2+Z_1}{Z_2}\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{2 Z_2 Z_3+2 Z_1 Z_3+{Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2}{{Z_2}^{2}} & \frac{2 \left( Z_2+Z_1\right) \,\left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right) }{{Z_2}^{2}}\\ \frac{2\,\left( Z_3+Z_2\right) }{{Z_2}^{2}} & \frac{2 Z_2 Z_3+2 Z_1 Z_3+{Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2}{{Z_2}^{2}}\end{array}\right]\\<br />\left\|\lambda I-A_{01}\right\|&=&\left\|\begin{array}\lambda-\frac{2 Z_2 Z_3+2 Z_1 Z_3+{Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2}{{Z_2}^{2}} & -\frac{2 \left( Z_2+Z_1\right) \left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right) }{{Z_2}^{2}}\\ -\frac{2 \left( Z_3+Z_2\right) }{{Z_2}^{2}} & \lambda-\frac{2 Z_2 Z_3+2 Z_1 Z_3+{Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2}{{Z_2}^{2}}\end{array}\right\|\\<br />&=&{\left( \lambda-\frac{2 Z_2 Z_3+2 Z_1 Z_3+{Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2}{{Z_2}^{2}}\right) }^{2}-\frac{4 \left( Z_2+Z_1\right) \left( Z_3+Z_2\right) \left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right) }{{Z_2}^{4}}\\<br />&=&\left(\lambda-\left(\frac{2 Z_2 Z_3+2 Z_1 Z_3+{Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2-2\sqrt{\left( Z_2+Z_1\right) \left( Z_3+Z_2\right) \left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}}{{Z_2}^{2}}\right)\right)\left(\lambda-\left(\frac{2 Z_2 Z_3+2 Z_1 Z_3+{Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2+2\sqrt{\left( Z_2+Z_1\right) \left( Z_3+Z_2\right) \left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}}{{Z_2}^{2}}\right)\right)\\<br />\lambda&=&\frac{2 Z_2 Z_3+2 Z_1 Z_3+{Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2\pm 2\sqrt{\left( Z_2+Z_1\right) \left( Z_3+Z_2\right) \left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}}{{Z_2}^{2}}\\<br />&&\left[\begin{array}\lambda-\frac{2 Z_2 Z_3+2 Z_1 Z_3+{Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2}{{Z_2}^{2}} & -\frac{2 \left( Z_2+Z_1\right) \left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right) }{{Z_2}^{2}}\\ -\frac{2 \left( Z_3+Z_2\right) }{{Z_2}^{2}} & \lambda-\frac{2 Z_2 Z_3+2 Z_1 Z_3+{Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2}{{Z_2}^{2}}\end{array}\right]x\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{\cancel{2 Z_2 Z_3+2 Z_1 Z_3+{Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2}\pm 2\sqrt{\left( Z_2+Z_1\right) \left( Z_3+Z_2\right) \left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}}{{Z_2}^{2}}-\cancel{\frac{2 Z_2 Z_3+2 Z_1 Z_3+{Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2}{{Z_2}^{2}}} & -\frac{2 \left( Z_2+Z_1\right) \left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right) }{{Z_2}^{2}}\\ -\frac{2 \left( Z_3+Z_2\right) }{{Z_2}^{2}} & \frac{\cancel{2 Z_2 Z_3+2 Z_1 Z_3+{Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2}\pm 2\sqrt{\left( Z_2+Z_1\right) \left( Z_3+Z_2\right) \left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}}{{Z_2}^{2}}-\cancel{\frac{2 Z_2 Z_3+2 Z_1 Z_3+{Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2}{{Z_2}^{2}}}\end{array}\right]x\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{\pm 2\sqrt{\left( Z_2+Z_1\right) \left( Z_3+Z_2\right) \left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}}{{Z_2}^{2}} & -\frac{2 \left( Z_2+Z_1\right) \left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right) }{{Z_2}^{2}}\\ -\frac{2 \left( Z_3+Z_2\right) }{{Z_2}^{2}} & \frac{\pm 2\sqrt{\left( Z_2+Z_1\right) \left( Z_3+Z_2\right) \left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}}{{Z_2}^{2}}\end{array}\right]\left[\begin{array}Z_{01}\\1\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{\pm 2Z_{01}\sqrt{\left( Z_2+Z_1\right) \left( Z_3+Z_2\right) \left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}}{{Z_2}^{2}}-\frac{2 \left( Z_2+Z_1\right) \left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right) }{{Z_2}^{2}}\\ -Z_{01}\frac{2 \left( Z_3+Z_2\right) }{{Z_2}^{2}}+\frac{\pm 2\sqrt{\left( Z_2+Z_1\right) \left( Z_3+Z_2\right) \left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}}{{Z_2}^{2}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}0\\0\end{array}\right]\\<br />Z_{01}&=&\sqrt{\frac{\left( Z_2+Z_1\right) \left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}{ Z_3+Z_2}}<br />\end{eqnarray}$ 同様に反対向きも $\begin{eqnarray}<br />A_{02}&=&F_i F =\left[\begin{array}\frac{Z_3+Z_2}{Z_2} & \frac{Z_2\,Z_3+Z_1\,Z_3+Z_1\,Z_2}{Z_2}\\ \frac{1}{Z_2} & \frac{Z_2+Z_1}{Z_2}\end{array}\right]\left[\begin{array}\frac{Z_2+Z_1}{Z_2} & \frac{Z_2\,Z_3+Z_1\,Z_3+Z_1\,Z_2}{Z_2}\\ \frac{1}{Z_2} & \frac{Z_3+Z_2}{Z_2}\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{2 Z_2 Z_3+2 Z_1 Z_3+{Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2}{{Z_2}^{2}} & \frac{2 \left( Z_3+Z_2\right) \left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right) }{{Z_2}^{2}}\\ \frac{2 \left( Z_2+Z_1\right) }{{Z_2}^{2}} & \frac{2 Z_2 Z_3+2 Z_1 Z_3+{Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2}{{Z_2}^{2}}\end{array}\right]\\<br />&&\left[\begin{array}\lambda-\frac{2 Z_2 Z_3+2 Z_1 Z_3+{Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2}{{Z_2}^{2}} & -\frac{2 \left( Z_3+Z_2\right) \left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right) }{{Z_2}^{2}}\\ -\frac{2 \left( Z_2+Z_1\right) }{{Z_2}^{2}} & \lambda-\frac{2 Z_2 Z_3+2 Z_1 Z_3+{Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2}{{Z_2}^{2}}\end{array}\right]x\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{\cancel{2 Z_2 Z_3+2 Z_1 Z_3+{Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2}\pm 2\sqrt{\left( Z_2+Z_1\right) \left( Z_3+Z_2\right) \left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}}{{Z_2}^{2}}-\cancel{\frac{2 Z_2 Z_3+2 Z_1 Z_3+{Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2}{{Z_2}^{2}}} & -\frac{2 \left( Z_3+Z_2\right) \left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right) }{{Z_2}^{2}}\\ -\frac{2 \left( Z_2+Z_1\right) }{{Z_2}^{2}} & \frac{\cancel{2 Z_2 Z_3+2 Z_1 Z_3+{Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2}\pm 2\sqrt{\left( Z_2+Z_1\right) \left( Z_3+Z_2\right) \left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}}{{Z_2}^{2}}-\cancel{\frac{2 Z_2 Z_3+2 Z_1 Z_3+{Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2}{{Z_2}^{2}}}\end{array}\right]x\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{\pm 2\sqrt{\left( Z_2+Z_1\right) \left( Z_3+Z_2\right) \left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}}{{Z_2}^{2}} & -\frac{2 \left( Z_3+Z_2\right) \left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right) }{{Z_2}^{2}}\\ -\frac{2 \left( Z_2+Z_1\right) }{{Z_2}^{2}} & \frac{\pm 2\sqrt{\left( Z_2+Z_1\right) \left( Z_3+Z_2\right) \left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}}{{Z_2}^{2}}\end{array}\right]\left[\begin{array}Z_{02}\\1\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{\pm 2 Z_{02}\sqrt{\left( Z_2+Z_1\right) \left( Z_3+Z_2\right) \left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}}{{Z_2}^{2}}-\frac{2 \left( Z_3+Z_2\right) \left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right) }{{Z_2}^{2}}\\ -Z_{02}\frac{2 \left( Z_2+Z_1\right) }{{Z_2}^{2}}+\frac{\pm 2\sqrt{\left( Z_2+Z_1\right) \left( Z_3+Z_2\right) \left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}}{{Z_2}^{2}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}0\\0\end{array}\right]\\<br />Z_{02}&=&\sqrt{\frac{\left( Z_2+Z_3\right) \left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}{ Z_1+Z_2}}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。ところで既に賢明な読者は２つの対称回路で違うのはZ1とZ3の位置だけだということにお気づきだろう。Z02は計算せずともZ01の式のZ1とZ3をスワップすれば良い。元の回路が対称回路の場合にはZ1=Z3であることから $\begin{eqnarray}<br />Z_{01}&=&\sqrt{\frac{\left( Z_2+Z_1\right) \left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}{ Z_3+Z_2}}\\<br />&=&\sqrt{\frac{\cancel{\left( Z_2+Z_1\right)} \left( Z_2 Z_1+Z_1 Z_1+Z_1 Z_2\right)}{ \cancel{Z_1+Z_2}}}\\<br />&=&\sqrt{Z_1\left( 2 Z_2+Z_1\right)}\\<br />Z_{02}&=&\sqrt{\frac{\left( Z_2+Z_3\right) \left( Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}{ Z_1+Z_2}}\\<br />&=&\sqrt{\frac{\cancel{\left( Z_2+Z_1\right)} \left( Z_2 Z_1+Z_1 Z_1+Z_1 Z_2\right)}{ \cancel{Z_1+Z_2}}}\\<br />&=&\sqrt{Z_1\left( 2 Z_2+Z_1\right)}\\<br />&=&Z_{01}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。 P.S 前問と同じだという思われるかもしれない。その通りだ。馬鹿の一つ覚えというやつである。（ﾟεﾟ）ｷﾆｼﾅｲ!!（ﾟεﾟ）ｷﾆｼﾅｲ!!

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題名	投稿者	日時
2端子対回路演習問題	webadm	2010-5-20 4:53
インピーダンスパラメータ	webadm	2010-5-20 5:54
インピーダンスパラメータとアドミッタンスパラメータ	webadm	2010-5-22 23:43
インピーダンスパラメータとハイブリッドパラメータ	webadm	2010-5-23 1:32
インピーダンス行列とアドミッタンス行列	webadm	2010-5-23 10:12
T形回路	webadm	2010-5-23 16:25
続：T形回路	webadm	2010-5-23 16:33
π形回路	webadm	2010-5-23 17:20
Zobel変換	webadm	2010-5-23 17:58
ハイブリッドパラメータ	webadm	2010-5-24 17:53
アドミッタンスパラメータと４端子定数	webadm	2010-5-26 11:41
伝送行列	webadm	2010-5-26 14:34
T形回路の伝送行列	webadm	2010-5-26 15:14
4端子定数	webadm	2010-5-27 3:18
続：伝送行列	webadm	2010-5-27 13:50
続：４端子定数	webadm	2010-5-27 22:14
続々：４端子定数	webadm	2010-5-29 3:39
インピーダンス行列	webadm	2010-5-29 11:27
アドミッタンス行列	webadm	2010-5-29 11:57
またまた：４端子定数	webadm	2010-5-30 11:15
二端子対回路の並列接続	webadm	2010-5-30 12:37
もうひとつの：４端子定数	webadm	2010-5-30 12:45
アドミッタンスパラメータ	webadm	2010-6-3 12:42
まだまだ：４端子定数	webadm	2010-6-5 13:04
影像パラメータと４端子定数	webadm	2010-6-5 13:44
影像パラメータ	webadm	2010-6-12 22:30
続：影像パラメータ	webadm	2010-6-13 5:07
続々：影像パラメータ	webadm	2010-6-17 5:13
» 影像インピーダンス	webadm	2010-6-17 16:21
続：影像インピーダンス	webadm	2010-6-17 19:40
まだまだ：影像パラメータ	webadm	2010-6-22 18:50
もうひとつの：影像パラメータ	webadm	2010-6-25 21:54
４端子定数と影像インピーダンス	webadm	2010-6-26 0:45
インピーダンス整合	webadm	2010-6-26 11:27
もうひとつの：影像インピーダンス	webadm	2010-6-26 21:55
反復インピーダンスと４端子定数	webadm	2010-6-27 0:05
反復パラメータ	webadm	2010-6-28 21:04
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π形回路の伝送行列、影像パラメータ、反復パラメータ	webadm	2010-7-8 21:06
相互誘導回路と理想変成器	webadm	2010-7-28 6:11
Norton変換	webadm	2010-8-17 10:44
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抵抗性変成器	webadm	2010-8-21 10:11
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対称回路	webadm	2010-11-25 9:18
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またまた：対称回路	webadm	2010-11-30 23:28
軸対称二端子対回路	webadm	2010-12-3 8:26
一方向性回路	webadm	2010-12-8 9:13
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Zパラメータ	webadm	2010-12-9 22:51
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４端子定数	webadm	2010-12-14 6:51
理想オペアンプ	webadm	2010-12-14 7:03
続々：Zパラメータ	webadm	2010-12-20 10:10
reactance回路	webadm	2010-12-20 22:52
全域通過回路	webadm	2010-12-23 13:53
最小位相推移回路	webadm	2010-12-23 21:54
続：最小位相推移回路	webadm	2011-4-22 7:02
続々：最小位相推移回路	webadm	2011-4-22 9:38

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