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webadm	投稿日時: 2010-6-27 0:05
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3086	反復インピーダンスと４端子定数次ぎの問題は理論の時に見通しの悪い方法だけど一度やっているが、反復インピーダンスを４端子定数で表せというもの。理論の時とは違う線型代数的手法でやってみよう。まず反復インピーダンスの式を４端子定数で与えられた二端子対回路の伝送行列の固有ベクトルから求める。 $\begin{eqnarray}<br />F&=&\left[\begin{array}A&B\\C&D\end{array}\right]\\<br />\left\|\lambda I-F \right\|&=&\left\|\begin{array}\lambda-A & -B\\ -C & \lambda-D\end{array}\right\|\\<br />&=&\left( \lambda-A\right) \left( \lambda-D\right) -B C\\<br />&=&\left( \lambda-\left(\frac{A+D}{2}\right)\right)^2 -\left(B C+\left(\frac{A+D}{2}\right)^2-A D\right)\\<br />&=&\left( \lambda-\left(\frac{A+D}{2}\right)\right)^2 -\left(\frac{\left(A+D\right)^2-4 A D+4 B C}{4}\right)\\<br />&=&\left( \lambda-\left(\frac{A+D-\sqrt{\left(A+D\right)^2-4 A D+4 B C}}{2}\right)\right)\left( \lambda-\left(\frac{A+D+\sqrt{\left(A+D\right)^2-4 A D+4 B C}}{2}\right)\right)\\<br />\lambda&=&\frac{A+D\pm\sqrt{\left(A+D\right)^2-4 A D+4 B C}}{2}\\<br />\left(\lambda I-F\right)x&=&\left[\begin{array}\frac{A+D\pm\sqrt{\left(A+D\right)^2-4 A D+4 B C}}{2}-A & -B\\ -C & \frac{A+D\pm\sqrt{\left(A+D\right)^2-4 A D+4 B C}}{2}-D\end{array}\right]x\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{D-A\pm\sqrt{\left(A+D\right)^2-4 A D+4 B C}}{2} & -B\\ -C & \frac{A-D\pm\sqrt{\left(A+D\right)^2-4 A D+4 B C}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}Z_{01}\\1\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{D-A\pm\sqrt{\left(A+D\right)^2-4 A D+4 B C}}{2}Z_{01} -B\\ -C Z_{01}+ \frac{A-D\pm\sqrt{\left(A+D\right)^2-4 A D+4 B C}}{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}0\\0\end{array}\right]\\<br />Z_{01}&=&\frac{2 B}{D-A+\sqrt{\left(A+D\right)^2-4 A D+4 B C}}\\<br />&=&\frac{2 B\left(A-D+\sqrt{\left(A+D\right)^2-4 A D+4 B C}\right)}{\left(D-A+\sqrt{\left(A+D\right)^2-4 A D+4 B C}\right)\left(A-D+\sqrt{\left(A+D\right)^2-4 A D+4 B C}\right)}\\<br />&=&\frac{2 B\left(A-D+\sqrt{\left(A+D\right)^2-4 A D+4 B C}\right)}{\cancel{-{D}^{2}+2 A D-{A}^{2}+\left(A+D\right)^2-4 A D}+4 B C}\\<br />&=&\frac{ {2 B}\left(A-D+\sqrt{\left(A-D\right)^2+4 B C}\right)}{{4 B} C}\\<br />&=&\frac{ \left(A-D+\sqrt{\left(A-D\right)^2+4 B C}\right)}{2 C}\\<br />Z_{02}&=&\frac{ \left(D-A+\sqrt{\left(D-A\right)^2+4 B C}\right)}{2 C}\\<br />\end{eqnarray}$ Q.E.D ふう（；´Д｀）最後の反復インピーダンスの式を整理する際に一瞬やばいかと思ったけどトリッキーな数式操作でうまく切り抜けることができた。まるで数式の智慧の輪みたいだ。 Z02はZ01の鏡像回路の反復インピーダンスなので、鏡像回路の伝送行列はもとのそれとAとDが入れ替わるだけである。従って反復インピーダンスの式もAとDが入れ替わるのみなのは自明とした。 P.S これまで非対称な伝送行列の固有値と固有ベクトルが物理的に何を意味するのか今まで謎だったが今回の問題ではっきりした。それは反復パラメータだったわけである。なんだそうだったのか(´∀` ) もしやとおもったら、度々紹介している「回路網理論I」の反復パラメータのところに同じようなことが書いてあった。良く読むんだった。Sパラメータが中心なので難しくて読んでなかった。既にこのことは自明であるかのようにさりげない記述である。さすがである。

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題名	投稿者	日時
2端子対回路演習問題	webadm	2010-5-20 4:53
インピーダンスパラメータ	webadm	2010-5-20 5:54
インピーダンスパラメータとアドミッタンスパラメータ	webadm	2010-5-22 23:43
インピーダンスパラメータとハイブリッドパラメータ	webadm	2010-5-23 1:32
インピーダンス行列とアドミッタンス行列	webadm	2010-5-23 10:12
T形回路	webadm	2010-5-23 16:25
続：T形回路	webadm	2010-5-23 16:33
π形回路	webadm	2010-5-23 17:20
Zobel変換	webadm	2010-5-23 17:58
ハイブリッドパラメータ	webadm	2010-5-24 17:53
アドミッタンスパラメータと４端子定数	webadm	2010-5-26 11:41
伝送行列	webadm	2010-5-26 14:34
T形回路の伝送行列	webadm	2010-5-26 15:14
4端子定数	webadm	2010-5-27 3:18
続：伝送行列	webadm	2010-5-27 13:50
続：４端子定数	webadm	2010-5-27 22:14
続々：４端子定数	webadm	2010-5-29 3:39
インピーダンス行列	webadm	2010-5-29 11:27
アドミッタンス行列	webadm	2010-5-29 11:57
またまた：４端子定数	webadm	2010-5-30 11:15
二端子対回路の並列接続	webadm	2010-5-30 12:37
もうひとつの：４端子定数	webadm	2010-5-30 12:45
アドミッタンスパラメータ	webadm	2010-6-3 12:42
まだまだ：４端子定数	webadm	2010-6-5 13:04
影像パラメータと４端子定数	webadm	2010-6-5 13:44
影像パラメータ	webadm	2010-6-12 22:30
続：影像パラメータ	webadm	2010-6-13 5:07
続々：影像パラメータ	webadm	2010-6-17 5:13
影像インピーダンス	webadm	2010-6-17 16:21
続：影像インピーダンス	webadm	2010-6-17 19:40
まだまだ：影像パラメータ	webadm	2010-6-22 18:50
もうひとつの：影像パラメータ	webadm	2010-6-25 21:54
４端子定数と影像インピーダンス	webadm	2010-6-26 0:45
インピーダンス整合	webadm	2010-6-26 11:27
もうひとつの：影像インピーダンス	webadm	2010-6-26 21:55
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反復パラメータ	webadm	2010-6-28 21:04
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全域通過回路	webadm	2010-12-23 13:53
最小位相推移回路	webadm	2010-12-23 21:54
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続々：最小位相推移回路	webadm	2011-4-22 9:38

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