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投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2010-7-8 21:06
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3068
π形回路の伝送行列、影像パラメータ、反復パラメータ
次ぎの問題はπ形回路の伝送行列、影像パラメータ、反復パラメータを求める問題。



左端の回路の伝送行列、残りの回路の影像パラメータ、右端の回路の反復パラメータを求めよというもの。

夏風邪をひいたり、アルバイトの仕事が舞い込んだりして時間がとれなくなったが、ほどよい気分転換(現実逃避)になるのでちょくちょく暇を見てやっていこう。

まず左端の回路の伝送行列は、3つの部分回路の縦続接続として計算すると簡単である。

\begin{eqnarray}<br />F_1&=&\left[\begin{array}1&0\\\frac{1}{Z_1}&1\end{array}\right]\\<br />F_2&=&\left[\begin{array}1&Z_2\\0&1\end{array}\right]\\<br />F_3&=&\left[\begin{array}1&0\\\frac{1}{Z_3}&1\end{array}\right]\\<br />F&=&F_1 F_2 F_3=\left[\begin{array}1&0\\\frac{1}{Z_1}&1\end{array}\right]\left[\begin{array}1&Z_2\\0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}1&0\\\frac{1}{Z_3}&1\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}1+\frac{Z_2}{Z_3}&Z_2\\\frac{Z_1+Z_2+Z_3}{Z_1 Z_3}&1+\frac{Z_2}{Z_1}\end{array}\right]<br />\end{eqnarray}

次ぎに上の伝送行列に関する影像パラメータはZ1とZ3が入れ替わった鏡映回路(Fi)と縦続接続した回路の伝送行列の固有値と固有ベクトルから

\begin{eqnarray}<br />F_i&=&\left[\begin{array}1+\frac{Z_2}{Z_1}&Z_2\\\frac{Z_1+Z_2+Z_3}{Z_1 Z_3}&1+\frac{Z_2}{Z_3}\end{array}\right]\\<br />F F_i&=&\left[\begin{array}1+\frac{Z_2}{Z_3}&Z_2\\\frac{Z_1+Z_2+Z_3}{Z_1 Z_3}&1+\frac{Z_2}{Z_1}\end{array}\right]\left[\begin{array}1+\frac{Z_2}{Z_1}&Z_2\\\frac{Z_1+Z_2+Z_3}{Z_1 Z_3}&1+\frac{Z_2}{Z_3}\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{2 Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+2 {Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2}{Z_1 Z_3} & \frac{2 Z_2 \left( Z_3+Z_2\right) }{Z_3}\\ \frac{2 \left( Z_2+Z_1\right)  \left( Z_3+Z_2+Z_1\right) }{{Z_1}^{2} Z_3} & \frac{2 Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+2 {Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2}{Z_1 Z_3}\end{array}\right]\\<br />F_i F&=&\left[\begin{array}\frac{2 Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+2 {Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2}{Z_1 Z_3} & \frac{2 Z_2 \left( Z_2+Z_1\right) }{Z_1}\\ \frac{2 \left( Z_3+Z_2\right)  \left( Z_3+Z_2+Z_1\right) }{Z_1 {Z_3}^{2}} & \frac{2 Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+2 {Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2}{Z_1 Z_3}\end{array}\right]\\<br />\left|\lambda I-F F_i\right|&=&\left|\lambda I-\left[\begin{array}\frac{2 Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+2 {Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2}{Z_1 Z_3} & \frac{2 Z_2 \left( Z_3+Z_2\right) }{Z_3}\\ \frac{2 \left( Z_2+Z_1\right)  \left( Z_3+Z_2+Z_1\right) }{{Z_1}^{2} Z_3} & \frac{2 Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+2 {Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2}{Z_1 Z_3}\end{array}\right]\right|\\<br />&=&\left|\begin{array}\lambda-\frac{2 Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+2 {Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2}{Z_1 Z_3} & -\frac{2 Z_2 \left( Z_3+Z_2\right) }{Z_3}\\ -\frac{2 \left( Z_2+Z_1\right)  \left( Z_3+Z_2+Z_1\right) }{{Z_1}^{2} Z_3} & \lambda-\frac{2 Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+2 {Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2}{Z_1 Z_3}\end{array}\right|\\<br />&=&{\left( \lambda-\frac{2 Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+2 {Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2}{Z_1 Z_3}\right) }^{2}-\frac{4 Z_2 \left( Z_2+Z_1\right)  \left( Z_3+Z_2\right)  \left( Z_3+Z_2+Z_1\right) }{{Z_1}^{2} {Z_3}^{2}}\\<br />&=&\left(\lambda-\left(\frac{2 Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+2 {Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2-2\sqrt{Z_2 \left( Z_2+Z_1\right)  \left( Z_3+Z_2\right)  \left( Z_3+Z_2+Z_1\right)}}{Z_1 Z_3}\right)\right)\left(\lambda-\left(\frac{2 Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+2 {Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2+2\sqrt{Z_2 \left( Z_2+Z_1\right)  \left( Z_3+Z_2\right)  \left( Z_3+Z_2+Z_1\right)}}{Z_1 Z_3}\right)\right)\\<br />\lambda&=&\frac{2 Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+2 {Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2\pm 2\sqrt{Z_2 \left( Z_2+Z_1\right)  \left( Z_3+Z_2\right)  \left( Z_3+Z_2+Z_1\right)}}{Z_1 Z_3}\\<br />&=&\left(\sqrt{\frac{\left( Z_2+Z_1\right)  \left( Z_3+Z_2\right) }{Z_1 Z_3}}\pm \sqrt{\frac{ Z_2\left(Z_3+Z_2+Z_1\right)}{Z_1 Z_3}}\right)^2\\<br />\theta&=&\ln\left(\sqrt{\frac{\left( Z_2+Z_1\right)  \left( Z_3+Z_2\right) }{Z_1 Z_3}}+ \sqrt{\frac{ Z_2\left(Z_3+Z_2+Z_1\right)}{Z_1 Z_3}}\right)\\<br />\cosh\left(\theta\right)&=&\frac{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2}=\sqrt{\frac{\left(Z_2+Z_1\right)\left(Z_3+Z_2\right)}{Z_1 Z_3}}\\<br />\theta&=&\cosh^{-1}\left(\sqrt{\frac{\left( Z_2+Z_1\right)  \left( Z_3+Z_2\right) }{Z_1 Z_3}}\right)\\<br />\left(\lambda I-F F_i\right)x&=&\left[\begin{array}\frac{\cancel{2 Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+2 {Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2}\pm 2\sqrt{Z_2 \left( Z_2+Z_1\right)  \left( Z_3+Z_2\right)  \left( Z_3+Z_2+Z_1\right)}}{Z_1 Z_3}-\cancel{\frac{2 Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+2 {Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2}{Z_1 Z_3}} & -\frac{2 Z_2 \left( Z_3+Z_2\right) }{Z_3}\\ -\frac{2 \left( Z_2+Z_1\right)  \left( Z_3+Z_2+Z_1\right) }{{Z_1}^{2} Z_3} & \frac{\cancel{2 Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+2 {Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2}\pm 2\sqrt{Z_2 \left( Z_2+Z_1\right)  \left( Z_3+Z_2\right)  \left( Z_3+Z_2+Z_1\right)}}{Z_1 Z_3}-\cancel{\frac{2 Z_2 Z_3+Z_1 Z_3+2 {Z_2}^{2}+2 Z_1 Z_2}{Z_1 Z_3}}\end{array}\right]x\\<br />&=&\left[\begin{array}\pm \frac{2\sqrt{Z_2 \left( Z_2+Z_1\right)  \left( Z_3+Z_2\right)  \left( Z_3+Z_2+Z_1\right)}}{Z_1 Z_3} & -\frac{2 Z_2 \left( Z_3+Z_2\right) }{Z_3}\\ -\frac{2 \left( Z_2+Z_1\right)  \left( Z_3+Z_2+Z_1\right) }{{Z_1}^{2} Z_3} & \pm \frac{2\sqrt{Z_2 \left( Z_2+Z_1\right)  \left( Z_3+Z_2\right)  \left( Z_3+Z_2+Z_1\right)}}{Z_1 Z_3}\end{array}\right]\left[\begin{array}Z_{01}\\1\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\pm \frac{2\sqrt{Z_2 \left( Z_2+Z_1\right)  \left( Z_3+Z_2\right)  \left( Z_3+Z_2+Z_1\right)}}{Z_1 Z_3}Z_{01} -\frac{2 Z_2 \left( Z_3+Z_2\right) }{Z_3}\\ -\frac{2 \left( Z_2+Z_1\right)  \left( Z_3+Z_2+Z_1\right) }{{Z_1}^{2} Z_3}Z_{01}  \pm \frac{2\sqrt{Z_2 \left( Z_2+Z_1\right)  \left( Z_3+Z_2\right)  \left( Z_3+Z_2+Z_1\right)}}{Z_1 Z_3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}0\\0\end{array}\right]\\<br />Z_{01}&=&\frac{2 Z_1 Z_2 \left( Z_3+Z_2\right)}{2\sqrt{Z_2 \left( Z_2+Z_1\right)  \left( Z_3+Z_2\right)  \left( Z_3+Z_2+Z_1\right)}}=Z_1 \sqrt{\frac{Z_2 \left( Z_3+Z_2\right)}{\left( Z_2+Z_1\right)  \left( Z_3+Z_2+Z_1\right)}}\\<br />Z_{02}&=&\frac{2 Z_3 Z_2 \left( Z_1+Z_2\right)}{2\sqrt{Z_2 \left( Z_2+Z_3\right)  \left( Z_1+Z_2\right)  \left( Z_3+Z_2+Z_1\right)}}=Z_3 \sqrt{\frac{Z_2 \left( Z_1+Z_2\right)}{\left( Z_2+Z_3\right)  \left( Z_3+Z_2+Z_1\right)}}<br />\end{eqnarray}

ということになる、FとFiは互いに鏡映回路なのでZ1とZ3が入れ替わっただけの違いでしかない、従ってZ01,Z02もZ1とZ3が入れ替わっただけの違いでしかない。

ここで問題の2つの回路の影像パラメータを計算してみることにする。

中央の非対称回路の場合、

\begin{eqnarray}<br />Z_1&=&-\frac{j}{\omega C},\,Z_2=2 j\omega L,\,Z_3=-\frac{j}{3\omega C}\\<br />\theta&=&\cosh^{-1}\left(\sqrt{\frac{\left( 2 \omega L-\frac{1}{\omega C}\right)  \left( 2 \omega L-\frac{1}{3\omega C}\right) }{\frac{1}{3{\omega}^2 C^2}}}\right)\\<br />&=&\cosh^{-1}\left(\sqrt{\left(2{\omega}^2 C L-1\right)\left(6{\omega}^2C L-1\right)}\right)\\<br />Z_{01}&=&-\frac{j}{\omega C} \sqrt{\frac{2 \omega L \left( 2 \omega L-\frac{1}{3\omega C}\right)}{\left( 2 \omega L-\frac{1}{\omega C}\right)  \left( 2 \omega L-\frac{1}{\omega C}-\frac{1}{3\omega C}\right)}}\\<br />&=&\sqrt{\frac{L\left(1-6{\omega}^2C L\right)}{C\left(2{\omega}^2 C L-1\right)\left(3{\omega}^2 C L-2\right)}}\\<br />Z_{02}&=&-\frac{j}{3\omega C} \sqrt{\frac{2 \omega L \left( 2 \omega L-\frac{1}{\omega C}\right)}{\left( 2 \omega L-\frac{1}{3\omega C}\right)  \left( 2 \omega L-\frac{1}{\omega C}-\frac{1}{3\omega C}\right)}}\\<br />&=&\sqrt{\frac{L\left(1-2{\omega}^2 C L\right)}{C\left(3{\omega}^2 C L-2\right)\left(6{\omega}^2 C L -1\right)}}<br />\end{eqnarray}

ということになる。

残る右端の回路はZ1=Z3の対称回路であるため

\begin{eqnarray}<br />Z_1&=&Z_3=j\omega L,\,Z_2=-\frac{j}{\omega C}\\<br />\theta&=&\cosh^{-1}\left(\sqrt{\frac{\left( \omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}{{\omega}^2 L^2}}\right)\\<br />&=&\cosh^{-1}\left(1-\frac{1}{{\omega}^2 C L}\right)\\<br />Z_{01}&=&Z_{02}=j\omega L \sqrt{\frac{-\frac{1}{\omega C} \cancel{\left( \omega L-\frac{1}{\omega C}\right)}}{\cancel{\left( \omega L-\frac{1}{\omega C}\right)}  \left( \omega L+\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)}}\\<br />&=&\frac{\omega L}{\sqrt{2{\omega}^2 C L-1}}<br />\end{eqnarray}

ということになる。

また反復パラメータは伝送行列の固有値と固有ベクトルから

\begin{eqnarray}<br />\left|\lambda I-F\right|&=&\left|\begin{array}\lambda-1-\frac{Z_2}{Z_3}&-Z_2\\-\frac{Z_1+Z_2+Z_3}{Z_1 Z_3}&\lambda-1-\frac{Z_2}{Z_1}\end{array}\right|\\<br />&=&\left( \lambda-\frac{Z_2+Z_1}{Z_1}\right)  \left( \lambda-\frac{Z_3+Z_2}{Z_3}\right) -\frac{Z_2 \left( Z_3+Z_2+Z_1\right) }{Z_1 Z_3}\\<br />&=&\left(\lambda-\frac{Z_2 Z_3+2 Z_1 Z_3+Z_1 Z_2}{2 Z_1 Z_3}\right)^2-\left(\frac{Z_2 \left( Z_3+Z_2+Z_1\right) }{Z_1 Z_3}-\frac{\left(Z_2+Z_1\right)\left(Z_3+Z_2\right)}{Z_1 Z_3}+\left(\frac{Z_2 Z_3+2 Z_1 Z_3+Z_1 Z_2}{2 Z_1 Z_3}\right)^2\right)\\<br />&=&\left(\lambda-\left(\frac{Z_2 Z_3+2 Z_1 Z_3+Z_1 Z_2}{2 Z_1 Z_3}-\sqrt{\frac{Z_2 \left( Z_3+Z_1\right)  \left( Z_2 Z_3+4 Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right) }{4 {Z_1}^{2} {Z_3}^{2}}}\right)\right)\left(\lambda-\left(\frac{Z_2 Z_3+2 Z_1 Z_3+Z_1 Z_2}{2 Z_1 Z_3}+\sqrt{\frac{Z_2 \left( Z_3+Z_1\right)  \left( Z_2 Z_3+4 Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right) }{4 {Z_1}^{2} {Z_3}^{2}}}\right)\\<br />&=&\left(\lambda-\left(\frac{Z_2 Z_3+2 Z_1 Z_3+Z_1 Z_2-\sqrt{Z_2 \left( Z_3+Z_1\right)  \left( Z_2 Z_3+4 Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}}{2 Z_1 Z_3}\right)\right)\left(\lambda-\left(\frac{Z_2 Z_3+2 Z_1 Z_3+Z_1 Z_2+\sqrt{Z_2 \left( Z_3+Z_1\right)  \left( Z_2 Z_3+4 Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}}{2 Z_1 Z_3}\right)\right)\\<br />\lambda&=&\frac{Z_2 Z_3+2 Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\pm \sqrt{Z_2 \left( Z_3+Z_1\right)  \left( Z_2 Z_3+4 Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}}{2 Z_1 Z_3}\\<br />\Gamma&=&\ln\left(\frac{Z_2 Z_3+2 Z_1 Z_3+Z_1 Z_2+ \sqrt{Z_2 \left( Z_3+Z_1\right)  \left( Z_2 Z_3+4 Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}}{2 Z_1 Z_3}\right)\\<br />\cosh\left(\Gamma\right)&=&\frac{e^{\Gamma}+e^{-\Gamma}}{2}=\frac{Z_2 Z_3+2 Z_1 Z_3+Z_1 Z_2}{2 Z_1 Z_3}\\<br />\Gamma&=&\cosh^{-1}\left(\frac{Z_2\left( Z_3+Z_1\right)}{2 Z_1 Z_3}+1\right)\\<br />\left(\lambda I-F\right)x&=&\left[\begin{array}\frac{Z_2 Z_3+\cancel{2 Z_1 Z_3}+Z_1 Z_2\pm \sqrt{Z_2 \left( Z_3+Z_1\right)  \left( Z_2 Z_3+4 Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}}{2 Z_1 Z_3}-\cancel{1}-\frac{Z_2}{Z_3}&-Z_2\\-\frac{Z_1+Z_2+Z_3}{Z_1 Z_3}&\frac{Z_2 Z_3+\cancel{2 Z_1 Z_3}+Z_1 Z_2\pm \sqrt{Z_2 \left( Z_3+Z_1\right)  \left( Z_2 Z_3+4 Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}}{2 Z_1 Z_3}-\cancel{1}-\frac{Z_2}{Z_1}\end{array}\right]x\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{Z_2 Z_3-Z_1 Z_2\pm \sqrt{Z_2 \left( Z_3+Z_1\right)  \left( Z_2 Z_3+4 Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}}{2 Z_1 Z_3}&-Z_2\\-\frac{Z_1+Z_2+Z_3}{Z_1 Z_3}&\frac{-Z_2 Z_3+Z_1 Z_2\pm \sqrt{Z_2 \left( Z_3+Z_1\right)  \left( Z_2 Z_3+4 Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}}{2 Z_1 Z_3}\end{array}\right]\left[\begin{array}Z_{k1}\\1\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{Z_2 Z_3-Z_1 Z_2\pm \sqrt{Z_2 \left( Z_3+Z_1\right)  \left( Z_2 Z_3+4 Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}}{2 Z_1 Z_3}Z_{k1}-Z_2\\-\frac{Z_1+Z_2+Z_3}{Z_1 Z_3}Z_{k1}+\frac{-Z_2 Z_3+Z_1 Z_2\pm \sqrt{Z_2 \left( Z_3+Z_1\right)  \left( Z_2 Z_3+4 Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}}{2 Z_1 Z_3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}0\\0\end{array}\right]\\<br />Z_{k1}&=&\frac{2 Z_1 Z_2 Z_3}{Z_2 Z_3-Z_1 Z_2+ \sqrt{Z_2 \left( Z_3+Z_1\right)  \left( Z_2 Z_3+4 Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}}=\frac{2 Z_1 Z_2 Z_3\left(Z_2 Z_3-Z_1 Z_2- \sqrt{Z_2 \left( Z_3+Z_1\right)  \left( Z_2 Z_3+4 Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}\right)}{\left(Z_2 Z_3-Z_1 Z_2+ \sqrt{Z_2 \left( Z_3+Z_1\right)  \left( Z_2 Z_3+4 Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}\right)\left(Z_2 Z_3-Z_1 Z_2- \sqrt{Z_2 \left( Z_3+Z_1\right)  \left( Z_2 Z_3+4 Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}\right)}\\<br />&=&\frac{2 Z_1 Z_2 Z_3\left(Z_2 Z_3-Z_1 Z_2- \sqrt{Z_2 \left( Z_3+Z_1\right)  \left( Z_2 Z_3+4 Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}\right)}{\left(Z_2 Z_3-Z_1 Z_2\right)^2-Z_2 \left( Z_3+Z_1\right)  \left( Z_2 Z_3+4 Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}\\<br />&=&\frac{2 \cancel{Z_1 Z_2 Z_3}\left(Z_1 Z_2-Z_2 Z_3+ \sqrt{Z_2 \left( Z_3+Z_1\right)  \left( Z_2 Z_3+4 Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}\right)}{4 \cancel{Z_1 Z_2 Z_3} \left( Z_3+Z_2+Z_1\right) }\\<br />&=&\frac{Z_1 Z_2-Z_2 Z_3+ \sqrt{Z_2 \left( Z_3+Z_1\right)  \left( Z_2 Z_3+4 Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}}{2\left( Z_3+Z_2+Z_1\right) }\\<br />Z_{k2}&=&\frac{Z_3 Z_2-Z_2 Z_1+ \sqrt{Z_2 \left( Z_3+Z_1\right)  \left( Z_2 Z_3+4 Z_1 Z_3+Z_1 Z_2\right)}}{2\left( Z_3+Z_2+Z_1\right) }\\<br />\end{eqnarray}

これもF,Fiが互いに鏡映回路なのでZ1,Z3が入れ違っただけ違いでしかなくZk1,Zk2もZ1,Z3が入れ替わるだけとなる。

問題の右端の回路の反復パラメータは対称回路では影像パラメータと反復パラメータは等しくなることから計算せずとも

\begin{eqnarray}<br />\Gamma&=&\theta=\cosh^{-1}\left(1-\frac{1}{{\omega}^2 C L}\right)\\<br />Z_{k1}&=&Z_{k2}=Z_{01}=Z_{02}=\frac{\omega L}{\sqrt{2{\omega}^2 C L-1}}<br />\end{eqnarray}

ということになる。

実際にそうなるか上の反復パラメータの式にZ1,Z2,Z3を代入して確認してみるのは読者の課題としよう(´∀` )

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