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投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2010-7-28 6:11
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3068
相互誘導回路と理想変成器
次ぎは相互誘導回路と理想変成器に関わる問題。



上の図のような相互誘導回路に関して

・伝送行列とアドミッタンス行列を求めよ
・密結合(k=1)の場合の等価回路を理想変成器を用いて表せ
・L2とL1の比を一定にしたままでL1→∞,L2→∞とすると相互誘導回路が理想変成器になることを示せ

というもの。

理論の時にはいきなり理想変成器だけ出てきたとまどったが、相互誘導回路は演習問題として残してあったのね。

相互誘導回路の伝送行列を求めるには、Fパラメータの各条件を回路に適用して求めれば良い。だが('A`)マンドクセ

以下の様に等価回路に置き換えてしまえばいいのではないか。



これならT形回路なので部分回路の縦続接続として伝送行列を簡単に導くことが出来る

\begin{eqnarray}<br />F_1&=&\left[\begin{array}1&j\omega\left(L_1-M\right)\\0&1\end{array}\right]\\<br />F_2&=&\left[\begin{array}1&0\\-\frac{j}{\omega M}&1\end{array}\right]\\<br />F_3&=&\left[\begin{array}1&j\omega\left(L_2-M\right)\\0&1\end{array}\right]\\<br />F&=&F_1 F_2 F_3=\left[\begin{array}1&j\omega\left(L_1-M\right)\\0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}1&0\\-\frac{j}{\omega M}&1\end{array}\right]\left[\begin{array}1&j\omega\left(L_2-M\right)\\0&1\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{L_1}{M} & -\frac{j\omega \left( {M}^{2}-L_1 L_2\right) }{M}\\ -\frac{j}{\omega M} & \frac{L_2}{M}\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{L_1}{M} & \frac{j\omega \left( L_1 L_2-{M}^{2}\right) }{M}\\ \frac{1}{j\omega M} & \frac{L_2}{M}\end{array}\right]<br />\end{eqnarray}

ということになる。

アドミッタンス行列は線型代数の座標変換によって

\begin{eqnarray}<br />P&=&\left[\begin{array}E_2\\I_2\end{array}\right],\,Q=\left[\begin{array}E_1\\I_1\end{array}\right]\\<br />P^{\'}&=&\left[\begin{array}E_1\\E_2\end{array}\right],\,Q^{\'}=\left[\begin{array}I_1\\-I_2\end{array}\right]\\<br />Q&=&\left[\begin{array}1&0\\0&0\end{array}\right]P^{\'}+\left[\begin{array}0&0\\1&0\end{array}\right]Q^{\'}\\<br />&=&F P=F\left(\left[\begin{array}0&1\\0&0\end{array}\right]P^{\'}+\left[\begin{array}0&0\\0&-1\end{array}\right]Q^{\'}\right)\\<br />&&\left(\left[\begin{array}0&0\\1&0\end{array}\right]-F\left[\begin{array}0&0\\0&-1\end{array}\right]\right)Q^{\'}=\left(F\left[\begin{array}0&1\\0&0\end{array}\right]-\left[\begin{array}1&0\\0&0\end{array}\right]\right)P^{\'}\\<br />Q^{\'}&=&\left(\left[\begin{array}0&0\\1&0\end{array}\right]-F\left[\begin{array}0&0\\0&-1\end{array}\right]\right)^{-1}\left(F\left[\begin{array}0&1\\0&0\end{array}\right]-\left[\begin{array}1&0\\0&0\end{array}\right]\right)P^{\'}\\<br />&=&\left(\left[\begin{array}0&0\\1&0\end{array}\right]-\left[\begin{array}\frac{L_1}{M} & \frac{j\omega \left( L_1 L_2-{M}^{2}\right) }{M}\\ \frac{1}{j\omega M} & \frac{L_2}{M}\end{array}\right]\left[\begin{array}0&0\\0&-1\end{array}\right]\right)^{-1}\left(\left[\begin{array}\frac{L_1}{M} & \frac{j\omega \left( L_1 L_2-{M}^{2}\right) }{M}\\ \frac{1}{j\omega M} & \frac{L_2}{M}\end{array}\right]\left[\begin{array}0&1\\0&0\end{array}\right]-\left[\begin{array}1&0\\0&0\end{array}\right]\right)P^{\'}\\<br />&=&\left[\begin{array}0 & \frac{j\omega \left( L_1 L_2-{M}^{2}\right) }{M}\\ 1 & \frac{L_2}{M}\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}-1 & \frac{L_1}{M}\cr 0 & \frac{1}{j\omega M}\end{array}\right]P^{\'}\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{L_2}{j\omega \left( {M}^{2}-L_1 L_2\right) } & 1\\ \frac{j M}{\omega \left( {M}^{2}-L_1 L_2\right) } & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}-1 & \frac{L_1}{M}\cr 0 & \frac{1}{j\omega M}\end{array}\right]P^{\'}\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{j L_2}{\omega \left( {M}^{2}-L_1 L_2\right) } & -\frac{j M}{\omega \left( {M}^{2}-L_1 L_2\right) }\cr -\frac{j M}{\omega \left( {M}^{2}-L_1 L_2\right) } & \frac{j L_1}{\omega \left( {M}^{2}-L_1 L_2\right) }\end{array}\right]P^{\'}\\<br />&=&\frac{1}{{\omega}^2\left(M^2-L_1 L_2\right)}\left[\begin{array}j\omega L_2&-j\omega M\\-j \omega M&j\omega L_1\end{array}\right]P^{\'}\\<br />&=&Y P^{\'}\\<br />\end{eqnarray}

ということになる。

さて二番目の題意が判りにくい。理想変成器を用いて等価回路を表せというのはどういうことだろう。問題の意味を理解すれば半分は解けたも同然なのだが。学生の頃に最初の数学の期末試験問題の問題文を見て、まったく意味が解らなくて青ざめた記憶が蘇る。周りにも同じように青くなっているクラスメートが大勢いて少し安心したり。実は問題文の難しさと問題の難しさは無関係である。誰にでも問題の意味が理解できる数学の問題ほど何百年も解けなかった。

逆に問題文が意味不明なのは超簡単であるという可能性がある。

学ぶ身からすればそういった難解な問題文を読み解けるようになるだけの知識を身につけることが必要だが、もっと簡単に意味が解る問題文に言い換える能力も養っておくと後々色々役立つ。なんでもそうだけど難しく書いたり言ったりするのは簡単だが、判りやすく書いたり説明するのは意外に難しい。


アルバイトの仕事で忙しくてまたしても間が空いてしまいそうである。しかし純粋に演習問題の解法を考えるのは現実を忘れられるので今では不可欠である。
(2010/08/16)

さて次ぎなる設問は結合係数が1の理想変成器をつかった等価な回路を示せというものである。題意が掴みかねていたが、以下の図のように考えればよいことになる。



巻線比が1:nの理想変成器と縦続して伝送行列F'の二端子対回路が接続された回路が、前述の二端子回路と等価となるF'を求めよという問題に言い換えることができる。

上記の回路を行列式で表すと

\begin{eqnarray}<br />F^{\'} \left[\begin{array}\frac{1}{n} &0\\0 & n\end{array}\right]&=&F<br />\end{eqnarray}

理想変成器は可逆回路なので伝送行列の逆行列が存在し、それを両辺に乗じるとF'が得られることになる。

\begin{eqnarray}<br />F^{\'} \left[\begin{array}\frac{1}{n} &0\\0 & n\end{array}\right]\left[\begin{array}\frac{1}{n} &0\\0 & n\end{array}\right]^{-1}&=&F\left[\begin{array}\frac{1}{n} &0\\0 & n\end{array}\right]^{-1}\\<br />F^{\'}&=&\left[\begin{array}\frac{L_1}{M} & \frac{j\omega \left( L_1 L_2-{M}^{2}\right) }{M}\\ \frac{1}{j\omega M} & \frac{L_2}{M}\end{array}\right]\left[\begin{array}n &0\\0 & \frac{1}{n}\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{n L_1}{M} & \frac{j \omega\left(L_1 L_2-M^2\right)}{n M}\\\frac{n}{j\omega M} & \frac{L_2}{n M}\end{array}\right]<br />\end{eqnarray}

ということになる。

また題意より結合係数(k)は1であることから以下が成り立つ

\begin{eqnarray}<br />k^2&=&\frac{M^2}{L_1 L_2}\\<br />M^2&=&k^2 L_1 L_2\\<br />M&=&k\sqrt{L_1 L_2}\\<br />M&=&\sqrt{L_1 L_2}\,\left(k=1\right)\\<br />M^2-L_1 L_2&=&0\,\left(k=1\right)<br />\end{eqnarray}

これを代入すると

\begin{eqnarray}<br />F^{\'}&=&\left[\begin{array}\frac{n L_1}{\sqrt{L_1 L_2}} & \frac{j \omega\left(L_1 L_2-L_1 L_2\right)}{n \sqrt{L_1 L_2}}\\\frac{n}{j\omega \sqrt{L_1 L_2}} & \frac{L_2}{n \sqrt{L_1 L_2}}\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}n\sqrt{\frac{L_1}{L_2}} & 0\\\frac{n}{j\omega\sqrt{L_1 L_2}} & \frac{1}{n}\sqrt{\frac{L_2}{L_1}}\end{array}\right]<br />\end{eqnarray}

ここで巻線比nは

\begin{eqnarray}<br />n^2&=&\frac{L_2}{L_1}\\<br />n&=&\sqrt{\frac{L_2}{L_1}}<br />\end{eqnarray}

という関係を最後に代入するとF'は

\begin{eqnarray}<br />F^{\'}&=&\left[\begin{array}\sqrt{\frac{L_2}{L_1}}\sqrt{\frac{L_1}{L_2}} & 0\\\frac{\sqrt{\frac{L_2}{L_1}}}{j\omega\sqrt{L_1 L_2}} & \frac{L_1}{L_2}\frac{L_2}{L_1}\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}1 & 0\\\frac{1}{j\omega L_1} & 1\end{array}\right]<br />\end{eqnarray}

ということになる。これはインダクタンスL1が並列に接続されただけの二端子対回路の伝送行列であるため、理想変成器を用いた等価な回路とは



ということになる。

もうひとつの等価回路として、理想変成器を前に置いたものが当然考えられるが、どこがどう違うか比較するのは読者の課題としよう(´∀` )

最後の設問は巻線比を一定にしたままL1,L2を∞にすると上記等価回路が理想変成器そのものになるということを示せというもの。

これはnはそのまま関係式は変わらずに、L1,L2が∞になることから、L1が∞になると上記等価回路の並列L1のインピーダンスが∞となり、従ってF'及びFは

\begin{eqnarray}<br />F^{\'}&=&\lim_{L_1\to\infty}\left[\begin{array}1 & 0\\\frac{1}{j\omega L_1} & 1\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right]\\<br />F&=&F^{\'}\left[\begin{array}\frac{1}{n} &0\\0 & n\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}\frac{1}{n} &0\\0 & n\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{1}{n} &0\\0 & n\end{array}\right]<br />\end{eqnarray}



ということになりFは理想変成器の伝送行列と等価になる。
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題名 投稿者 日時
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