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投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2010-8-17 20:48
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3068
続:Norton変換
次ぎもNorton変換に関するもの。

以下の2つの回路が等価になる条件を導けというもの。



著者とは別解でやってみよう。

左の回路を右と同様に両脇に理想変成器を縦続接続した等価な回路を考える



これのF'を導けば良いことになる。

\begin{eqnarray}<br />\left[\begin{array}\frac{1}{n} & 0\\0 & n\end{array}\right]F^{\'}\left[\begin{array}n & 0\\0 & \frac{1}{n}\end{array}\right]&=&F\\<br />\end{eqnarray}

F'は2つの理想変成器の伝送行列の逆行列をそれぞれ乗じて

\begin{eqnarray}<br />\left[\begin{array}\frac{1}{n} & 0\\0 & n\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}\frac{1}{n} & 0\\0 & n\end{array}\right]F^{\'}\left[\begin{array}n & 0\\0 & \frac{1}{n}\end{array}\right]\left[\begin{array}n & 0\\0 & \frac{1}{n}\end{array}\right]^{-1}&=&\left[\begin{array}\frac{1}{n} & 0\\0 & n\end{array}\right]^{-1}F\left[\begin{array}n & 0\\0 & \frac{1}{n}\end{array}\right]^{-1}\\<br />F^{\'}&=&\left[\begin{array}n & 0\\0 & \frac{1}{n}\end{array}\right]F\left[\begin{array}\frac{1}{n} & 0\\0 & n\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}n & 0\\0 & \frac{1}{n}\end{array}\right]\left[\begin{array}1 & Z_0\\0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}1 & 0\\Y_0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}\frac{1}{n} & 0\\0 & n\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}n & 0\\0 & \frac{1}{n}\end{array}\right]\left[\begin{array}Y_0 Z_0+1 & Z_0\\Y_0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}\frac{1}{n} & 0\\0 & n\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}Y_0 Z_0+1 & {n}^{2} Z_0\cr \frac{Y_0}{{n}^{2}} & 1\end{array}\right]<br />\end{eqnarray}

一方(b)の真ん中のF'と等価になるべき二端子対部分回路の伝送行列は

\begin{eqnarray}<br />F^{\'}_b&=&\left[\begin{array}1 & Z\\0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}1 & 0\\Y & 1\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}Y Z+1 & Z\\Y & 1\end{array}\right]<br />\end{eqnarray}

F'=F'bとなる条件は自明で

\begin{eqnarray}<br />Z&=&n^2 Z_0\\<br />Y&=&\frac{Y_0}{n^2}<br />\end{eqnarray}

ということになる。

なんだずいぶん温い問題だな(´∀` )

P.S

このへそ曲がりな解法で気づくのは、理想変成器に挟まれた二端子対回路は以下の様な回路と等価であること



巻数比が逆の理想変成器を縦続接続するとその伝送行列は単位行列となり直結と同じになる。一番真ん中のFは更に全体のFで置き換えると無限に置き換えられる。なんだか子供の頃に鏡二枚を向かい合わせにして、横から中を覗き込んだ時に見える無限回廊を思い出す。見ては行けないと言われると覗き込みたくなる。

ここで出てくるFとF'の2つの行列は線形代数では互いに相似な行列として大抵の参考書で出てくる。

手元の「ラング線型代数学(下)」では

引用:

A:V→Vを体Kの上の有限次元ベクトル空間の線型写像とする。βをVの基底とし、βに関してAをあらわす行列をMとする。β'が他の基底ならば、β'に関するAの行列M'が

M^{\'}=N^{-1}M N

であるような、Kの可逆行列Nが存在する。定理13によって、Mの特性多項式はM'の特性多項式と等しい。この特性多項式を、線型写像Aの特性多項式と定義する。


ここでのNが問題の回路では可逆な理想変成器の伝送行列ということになる。MとM'がそれぞれ理想変性器を含まない二端子対回路の伝送行列F,F'ということになる。ここでも電気回路は線形代数の実相であることがわかる。
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