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webadm	投稿日時: 2010-12-23 13:53
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3084	全域通過回路次は対称格子形回路に関する問題以下の回路で負荷抵抗Rに流れる電流Iと入力電圧Eの比（伝達admittance）を求め、その伝達admittanceの零点がs平面上の右半平面内に存在すること、および極と零点との実数部の符号が異なることを示せ。ただしZ1=sL, Z2=R^2/(sL)とする。著者とは違うやり方で解いてみよう。対称格子形回路の伝送行列の伝達admittanceを求める問題ではないことに注意。簡単そうに見えて面倒くさい問題である。最初にIを与えられたE,Z1,Z2,Rで表すことができればいいわけである。以前の問題で出てきた等価電圧源で回路の一部を置き換えて考えると簡単そうである。等価電圧源はもとの回路の負荷抵抗Rを除いたものと等価であるので二等分定理が適用できる。上記のevenおよびodd modeに関して以下の関係が成り立つ $\begin{eqnarray}<br />\left[\begin{array}E_0\\0\end{array}\right]&=&\left[\begin{array}1&Z_0\\0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}\frac{Z_1+Z_2}{Z_2-Z_1}&\frac{2 Z_1 Z_2}{Z_2-Z_1}\\\frac{2}{Z_2-Z_1}&\frac{Z_1+Z_2}{Z_2-Z_1}\end{array}\right]\left[\begin{array}E\\-I_2\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{Z_2+Z_1}{Z_2-Z_1}+\frac{2\,Z_0}{Z_2-Z_1} & \frac{Z_0\,\left( Z_2+Z_1\right) }{Z_2-Z_1}+\frac{2\,Z_1\,Z_2}{Z_2-Z_1}\cr \frac{2}{Z_2-Z_1} & \frac{Z_2+Z_1}{Z_2-Z_1}\end{array}\right]\left[\begin{array}E\\-I_2\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{Z_2+Z_1+2\,Z_0}{Z_2-Z_1} & \frac{2\,Z_1\,Z_2+Z_0\,Z_2+Z_0\,Z_1}{Z_2-Z_1}\cr \frac{2}{Z_2-Z_1} & \frac{Z_2+Z_1}{Z_2-Z_1}\end{array}\right]\left[\begin{array}E\\-I_2\end{array}\right]\\<br />E_0&=&\frac{Z_2+Z_1+2\,Z_0}{Z_2-Z_1}E-\frac{2\,Z_1\,Z_2+Z_0\,Z_2+Z_0\,Z_1}{Z_2-Z_1}I_2\\<br />0&=&\frac{2}{Z_2-Z_1}E-\frac{Z_2+Z_1}{Z_2-Z_1}I_2\\<br />\left[\begin{array}E_0\\\frac{E_0}{Z_0}\end{array}\right]&=&\left[\begin{array}\frac{Z_2+Z_1+2\,Z_0}{Z_2-Z_1} & \frac{2\,Z_1\,Z_2+Z_0\,Z_2+Z_0\,Z_1}{Z_2-Z_1}\cr \frac{2}{Z_2-Z_1} & \frac{Z_2+Z_1}{Z_2-Z_1}\end{array}\right]\left[\begin{array}-E\\I_2^{\'}\end{array}\right]\\<br />E_0&=&-\frac{Z_2+Z_1+2\,Z_0}{Z_2-Z_1}E+\frac{2\,Z_1\,Z_2+Z_0\,Z_2+Z_0\,Z_1}{Z_2-Z_1}I_2^{\'}\\<br />\frac{E_0}{Z_0}&=&-\frac{2}{Z_2-Z_1}E+\frac{Z_2+Z_1}{Z_2-Z_1}I_2^{\'}<br />\end{eqnarray}$ これをE0,Z0,I2,I2'に関する連立方程式として解くと $\begin{eqnarray}<br />E0=\frac{E\,Z_2-E\,Z_1}{Z_2+Z_1},Z_0=\frac{2\,Z_1\,Z_2}{Z_2+Z_1},I_2^{\'}=\frac{E\,Z_2+E\,Z_1}{2\,Z_1\,Z_2},I_2=\frac{2\,E}{Z_2+Z_1}<br />\end{eqnarray}$ と解ける。従って負荷抵抗Rに流れる電流Iは $\begin{eqnarray}<br />I&=&\frac{E_0}{Z_0+R}=\frac{\frac{E\,Z_2-E\,Z_1}{Z_2+Z_1}}{\frac{2\,Z_1\,Z_2}{Z_2+Z_1}+R}\\<br />&=&\frac{E\,\left( Z_2-Z_1\right) }{2\,Z_1\,Z_2+R\,Z_2+R\,Z_1}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。従ってIとEの比はZ1,Z2を代入すると $\begin{eqnarray}<br />Y&=&\frac{I}{E}=\frac{\frac{E\,\left( Z_2-Z_1\right) }{2\,Z_1\,Z_2+R\,Z_2+R\,Z_1}}{E}\\<br />&=&\frac{\left( Z_2-Z_1\right) }{2\,Z_1\,Z_2+R\,Z_2+R\,Z_1}\\<br />&=&\frac{\frac{{R}^{2}}{s\,L}-s\,L}{\frac{{R}^{3}}{s\,L}+2\,{R}^{2}+s\,L\,R}\\<br />&=&\frac{R-s\,L}{R\,\left( R+s\,L\right) }<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これをadmittance関数として見ると $\begin{eqnarray}<br />Y\left(s\right)&=&\frac{R-s\,L}{R\,\left( R+s\,L\right) }\\<br />&=&\frac{\frac{R}{L}-s}{R\,\left(\frac{R}{L}+s\right) }<br />\end{eqnarray}$ s=R/Lを零点、s=-R/Lを極に持つため零点はs平面上の右半平面内にあり、零点と極とでは実数部の符号が異なるだけである。この回路はZ1とZ2が互いに逆回路(R^2=Z1*Z2)とすることによって周波数によらず伝達admittanceの絶対値が一定な全域通過回路(all pass network)と呼ばれ、広く位相補償用に使われているらしい。 P.S 翌朝になって負荷抵抗Rを縦続接続した二端子対回路の伝送行列を考えればもっとエレガントに同じ結果が得られることを閃いた。以下の関係が成り立つ $\begin{eqnarray}<br />\left[\begin{array}E\\I_1\end{array}\right]&=&\left[\begin{array}\frac{Z_1+Z_2}{Z_2-Z_1}&\frac{2 Z_1 Z_2}{Z_2-Z_1}\\\frac{2}{Z_2-Z_1}&\frac{Z_1+Z_2}{Z_2-Z_1}\end{array}\right]\left[\begin{array}1&0\\\frac{1}{R}&1\end{array}\right]\left[\begin{array}I R\\0\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{Z_2+Z_1}{Z_2-Z_1}+\frac{2\,Z_1\,Z_2}{R\,\left( Z_2-Z_1\right) } & \frac{2\,Z_1\,Z_2}{Z_2-Z_1}\cr \frac{Z_2+Z_1}{R\,\left( Z_2-Z_1\right) }+\frac{2}{Z_2-Z_1} & \frac{Z_2+Z_1}{Z_2-Z_1}\end{array}\right]\left[\begin{array}I R\\0\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{2\,Z_1\,Z_2+R\,Z_2+R\,Z_1}{R\,\left( Z_2-Z_1\right) } & \frac{2\,Z_1\,Z_2}{Z_2-Z_1}\cr \frac{Z_2+Z_1+2\,R}{R\,\left( Z_2-Z_1\right) } & \frac{Z_2+Z_1}{Z_2-Z_1}\end{array}\right]\left[\begin{array}I R\\0\end{array}\right]\\<br />E&=&\frac{2\,Z_1\,Z_2+R\,Z_2+R\,Z_1}{\cancel{R}\,\left( Z_2-Z_1\right) }I \cancel{R}\\<br />&=&\frac{2\,Z_1\,Z_2+R\,Z_2+R\,Z_1}{\left( Z_2-Z_1\right) }I\\<br />Y&=&\frac{I}{E}=\frac{\left( Z_2-Z_1\right) }{2\,Z_1\,Z_2+R\,Z_2+R\,Z_1}\\<br />&=&\frac{\frac{{R}^{2}}{s\,L}-s\,L}{\frac{{R}^{3}}{s\,L}+2\,{R}^{2}+s\,L\,R}\\<br />&=&\frac{R-s\,L}{R\,\left( R+s\,L\right) }<br />\end{eqnarray}$ こちらの方が見通しも良いし簡単じゃないか（´∀｀　） P.S よくよく考えたらもっと単純に解けることが判明 $\begin{eqnarray}<br />\left[\begin{array}E\\I_1\end{array}\right]&=&\left[\begin{array}\frac{Z_1+Z_2}{Z_2-Z_1}&\frac{2 Z_1 Z_2}{Z_2-Z_1}\\\frac{2}{Z_2-Z_1}&\frac{Z_1+Z_2}{Z_2-Z_1}\end{array}\right]\left[\begin{array}1&0\\\frac{1}{R}&1\end{array}\right]\left[\begin{array}I R\\0\end{array}\right]\\<br />&=&\left[\begin{array}\frac{Z_1+Z_2}{Z_2-Z_1}&\frac{2 Z_1 Z_2}{Z_2-Z_1}\\\frac{2}{Z_2-Z_1}&\frac{Z_1+Z_2}{Z_2-Z_1}\end{array}\right]\left[\begin{array}I R\\I\end{array}\right]\\<br />E&=&\frac{Z_1+Z_2}{Z_2-Z_1}I R+\frac{2 Z_1 Z_2}{Z_2-Z_1}I\\<br />&=&\frac{I\,\left( 2\,Z1\,Z2+R\,Z2+R\,Z1\right) }{Z2-Z1}\\<br />Y&=&\frac{I}{E}=\frac{\left( Z_2-Z_1\right) }{2\,Z_1\,Z_2+R\,Z_2+R\,Z_1}\\<br />&=&\frac{\frac{{R}^{2}}{s\,L}-s\,L}{\frac{{R}^{3}}{s\,L}+2\,{R}^{2}+s\,L\,R}\\<br />&=&\frac{R-s\,L}{R\,\left( R+s\,L\right) }<br />\end{eqnarray}$ 要は最初から対称格子形回路の出力端子対条件をE2=IR,I2=Iと与えて解けばよかったのである。

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題名	投稿者	日時
2端子対回路演習問題	webadm	2010-5-20 4:53
インピーダンスパラメータ	webadm	2010-5-20 5:54
インピーダンスパラメータとアドミッタンスパラメータ	webadm	2010-5-22 23:43
インピーダンスパラメータとハイブリッドパラメータ	webadm	2010-5-23 1:32
インピーダンス行列とアドミッタンス行列	webadm	2010-5-23 10:12
T形回路	webadm	2010-5-23 16:25
続：T形回路	webadm	2010-5-23 16:33
π形回路	webadm	2010-5-23 17:20
Zobel変換	webadm	2010-5-23 17:58
ハイブリッドパラメータ	webadm	2010-5-24 17:53
アドミッタンスパラメータと４端子定数	webadm	2010-5-26 11:41
伝送行列	webadm	2010-5-26 14:34
T形回路の伝送行列	webadm	2010-5-26 15:14
4端子定数	webadm	2010-5-27 3:18
続：伝送行列	webadm	2010-5-27 13:50
続：４端子定数	webadm	2010-5-27 22:14
続々：４端子定数	webadm	2010-5-29 3:39
インピーダンス行列	webadm	2010-5-29 11:27
アドミッタンス行列	webadm	2010-5-29 11:57
またまた：４端子定数	webadm	2010-5-30 11:15
二端子対回路の並列接続	webadm	2010-5-30 12:37
もうひとつの：４端子定数	webadm	2010-5-30 12:45
アドミッタンスパラメータ	webadm	2010-6-3 12:42
まだまだ：４端子定数	webadm	2010-6-5 13:04
影像パラメータと４端子定数	webadm	2010-6-5 13:44
影像パラメータ	webadm	2010-6-12 22:30
続：影像パラメータ	webadm	2010-6-13 5:07
続々：影像パラメータ	webadm	2010-6-17 5:13
影像インピーダンス	webadm	2010-6-17 16:21
続：影像インピーダンス	webadm	2010-6-17 19:40
まだまだ：影像パラメータ	webadm	2010-6-22 18:50
もうひとつの：影像パラメータ	webadm	2010-6-25 21:54
４端子定数と影像インピーダンス	webadm	2010-6-26 0:45
インピーダンス整合	webadm	2010-6-26 11:27
もうひとつの：影像インピーダンス	webadm	2010-6-26 21:55
反復インピーダンスと４端子定数	webadm	2010-6-27 0:05
反復パラメータ	webadm	2010-6-28 21:04
影像インピーダンスと反復インピーダンス	webadm	2010-6-29 18:16
π形回路の伝送行列、影像パラメータ、反復パラメータ	webadm	2010-7-8 21:06
相互誘導回路と理想変成器	webadm	2010-7-28 6:11
Norton変換	webadm	2010-8-17 10:44
続：Norton変換	webadm	2010-8-17 20:48
容量性変成器	webadm	2010-8-18 3:42
抵抗性変成器	webadm	2010-8-21 10:11
理想ジャイレーター	webadm	2010-10-31 3:26
続：理想ジャイレータ	webadm	2010-11-19 2:41
続々：ジャイレータ	webadm	2010-11-23 21:29
対称回路	webadm	2010-11-25 9:18
続：対称回路	webadm	2010-11-30 0:01
続々：対称回路	webadm	2010-11-30 9:27
またまた：対称回路	webadm	2010-11-30 23:28
軸対称二端子対回路	webadm	2010-12-3 8:26
一方向性回路	webadm	2010-12-8 9:13
続：一方向性回路	webadm	2010-12-8 10:37
Zパラメータ	webadm	2010-12-9 22:51
続：Zパラメータ	webadm	2010-12-10 0:17
４端子定数	webadm	2010-12-14 6:51
理想オペアンプ	webadm	2010-12-14 7:03
続々：Zパラメータ	webadm	2010-12-20 10:10
reactance回路	webadm	2010-12-20 22:52
» 全域通過回路	webadm	2010-12-23 13:53
最小位相推移回路	webadm	2010-12-23 21:54
続：最小位相推移回路	webadm	2011-4-22 7:02
続々：最小位相推移回路	webadm	2011-4-22 9:38

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