次もRL直列回路に関する過渡解析問題。

でもちょっと捻ってある。

任意の時間T1における電流iの接線が定常電流I=E/Rと交わる時間をT2とする。このときT2-T1が常に一定な時定数τ=L/Rとなることを示せ。また電流i=0の時刻からτ秒経過したとき電流iは定常電流の何%になるか。

まずはこの題意を理解するのが最初の試練である。予めRL直列回路の過渡電流の曲線を知っていないと何を意味しているのかさっぱりわからない。

前問のグラフを参考に題意を探ることにしよう。



理論のときにグラフに書き加えていた時定数Tが問題文ではτという定義になっている。T1=0とするとt=0のときの電流iの曲線の接線を延長して定常電流値に達する点の時間がT2ということになる。

またT1をt>0の任意の時間に設定した場合でも同様である。ここで既知なのは回路素子の定数と定常電流の関係式である。初期条件も適切に与えられるものとする。何が未定かというと、電流iとその導関数が不明。これは微分方程式をたてて解く必要がある。あとはT1が任意に与えられるとすると題意の定常電流と接線が交差する時間T2が不明である。

幾何学的に未知数と既知の条件の関係を明らかにする必要がある。



上の図で塗りつぶされた直角三角形の面積Sに関して以下の関係が成り立つ



従ってこれにdi/dtとi及びIの式を代入すると



ということになる。なんと幾何学的に証明できてしまった。

残るはt=0からτだけ経過した場合にiは定常電流の何%になるか。

定常電流Iと時間τの時の電流iの比率を計算をすればよい



ということになる。