まだ続くRL直列回路ネタ問題

前問と似たような回路だが、捻ってある。

定常状態にある図のような回路のスイッチを閉じた。抵抗RとインダクタンスLのそれぞれを流れる電流が等しくなるまでの時間Tを求めよ。



というもの。

スイッチを閉じる以前にLに流れていた電流は0であるとみなそう。

スイッチを閉じた直後のt=+0ではLの両端に抵抗R0とRで分圧された電圧が急激に加わる。インダクタンスに流れる電流は抵抗と違って決して瞬時（不連続的）には変化しない。ちょうどフライホイールに力を加えて回し始める時のようなものである。一度回転し始めると逆方向に力を加えてもすぐには回転は止まらない。どうしてそうなのかはおそらく今日でさえ誰も説明できる人はいない、普遍的な法則として発見され定義されているだけである。人類はまだこの原点から一歩も先へは進んでいない。そういう意味では１９世紀の時代とその辺りの事情は変わっていないことを常に思い返し奮起する必要がある。

定常状態ではLに流れる電流はR0に流れる電流と同じになり、Rには電流は流れなくなる。すなわちLを流れる電流i2は0からスタートしR0を流れる電流i1と等しくなるまで連続的に増加していく。一方Rを流れる電流はi1-i2であるのでi1=i2となった時点で電流は流れなくなる。

問題の題意は、抵抗RとインダクタンスLに流れる電流が等しくなる時間Tを求めよというもの。

i1,i2はそれぞれ時間の関数とするとキルヒホッフの電圧則により以下の関係が成り立つ



このままだとi1,i2の２つの未知関数のままなので、i1を消去すると



というi2に関する非同次一階微分方程式が得られる。これを公式を使って解くと



ということになる。これを初期条件t=+0の時にi2(+0)=0とすれば



ということになる。従ってi1は



ということになる。

従って抵抗Rに流れる電流i1-i2がLに流れる電流i2と等しくなるということは



ということである。すなわちRとLに流れる電流が等しいのでR0にはRもしくはLに流れる電流の２倍流れるということになる。

これにi1,i2の式を代入して整理すると



ということになる。面白いことに加える電圧にはまったく依存せず回路素子の定数でのみ決まるということである。

著者は枝電流解析しているが、こちらは閉回路解析で行ったため途中経過は多少異なるが最終的には同じ結果が得られている。