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webadm	投稿日時: 2011-11-4 2:29
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3086	続：断続部の有るRL直列回路まだあるRL直列回路の問題今度はスイッチが二カ所ある。図の回路において、t=0でスイッチS1を閉じ、ついでt=TでスイッチS2を閉じるときの電流iを求め、これを図示せよ。スイッチS1が閉じると最初にR1+R2とLが直列に接続される。その後t=Tでスイッチが閉じるとR2とLだけの直列回路になり、Lに加わる電圧が変化する。段階的にまずt=0からt=Tまでの過渡応答を解析することにしよう。 Lの両端の電圧降下をuとすると以下の関係式が成り立つ $\begin{eqnarray}<br />u&=&L\frac{di}{dt}\\<br />\frac{di}{dt}&=&\frac{1}{L}u\\<br />i&=&\frac{1}{L}\int\,u\,dt+K\\<br />u+\left(R_1+R_2\right)\,i&=&E\\<br />u+\left(R_1+R_2\right)\frac{1}{L}\int\,u\,dt+K&=&E\\<br />\frac{du}{dt}+\frac{R_1+R_2}{L}u&=&0<br />\end{eqnarray}$ ここでまずuに関する微分方程式を解くと同次方程式なので $\begin{eqnarray}<br />u&=&K_1\,e^{-\frac{R_1+R_2}{L}t}<br />\end{eqnarray}$ という一般解が得られる。これを初期条件t=+0でu(0)=Eと与えると $\begin{eqnarray}<br />\left. u\right\|_{t=+0}&=&\left. K_1\,e^{-\frac{R_1+R_2}{L}t}\right\|_{t=+0}\\<br />&=&K_1=E\\<br />u&=&E\,e^{-\frac{R_1+R_2}{L}t}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。従って電流iは先の関係式に代入することで $\begin{eqnarray}<br />i&=&\frac{1}{L}\int\,E\,e^{-\frac{R_1+R_2}{L}t}dt+K_2\\<br />&=&-\frac{E}{\cancel{L}}\left(\frac{\cancel{L}}{R_1+R_2}\right)e^{-\frac{R_1+R_2}{L}t}+K_2\\<br />&=&-\frac{E}{R_1+R_2}e^{-\frac{R_1+R_2}{L}t}+K_2<br />\end{eqnarray}$ と一般解が得られる。これにt=+0の時にi(0)=0の初期条件を与えると $\begin{eqnarray}<br />\left. i\right\|_{t=+0}&=&\left. -\frac{E}{R_1+R_2}e^{-\frac{R_1+R_2}{L}t}+K_2\right\|_{t=+0}\\<br />&=&-\frac{E}{R_1+R_2}+K_2=0\\<br />K_2&=&\frac{E}{R_1+R_2}\\<br />i&=&-\frac{E}{R_1+R_2}e^{-\frac{R_1+R_2}{L}t}+\frac{E}{R_1+R_2}\\<br />&=&\frac{E}{R_1+R_2}\left(1-e^{-\frac{R_1+R_2}{L}t}\right)<br />\end{eqnarray}$ ということになる。 t=TでスイッチS2が閉じるとR1が回路から消えiに関する微分方程式は $\begin{eqnarray}<br />L\frac{di}{dt}+R_2\,i&=&E<br />\end{eqnarray}$ と変化する。これを解くと一般解は $\begin{eqnarray}<br />i&=&e^{-\frac{R_2}{L}t}\int\,\frac{E}{L}\,e^{\frac{R_2}{L}t}dt+K_3\,e^{-\frac{R_2}{L}t}\\<br />&=&e^{-\frac{R_2}{L}t}\frac{E}{\cancel{L}}\frac{\cancel{L}}{R_2}e^{\frac{R_2}{L}t}+K_3\,e^{-\frac{R_2}{L}t}\\<br />&=&\frac{E}{R_2}+K_3\,e^{-\frac{R_2}{L}t}<br />\end{eqnarray}$ となる。従って初期条件としてt=TでスイッチS2が閉じる前のi(T)と等しいと置くと特別解は $\begin{eqnarray}<br />\left. i\right\|_{t=+T}&=&\left. \frac{E}{R_2}+K_3\,e^{-\frac{R_2}{L}t}\right\|_{t=+T}\\<br />&=&\frac{E}{R_2}+K_3\,e^{-\frac{R_2}{L}T}\\<br />&=&\left. \frac{E}{R_1+R_2}\left(1-e^{-\frac{R_1+R_2}{L}t}\right)\right\|_{t=+T}=\frac{E}{R_1+R_2}\left(1-e^{-\frac{R_1+R_2}{L}T}\right)\\<br />K_3&=&\left(\frac{E}{R_1+R_2}\left(1-e^{-\frac{R_1+R_2}{L}T}\right)-\frac{E}{R_2}\right)e^{\frac{R_2}{L}T}\\<br />i&=&\frac{E}{R_2}+\left(\frac{E}{R_1+R_2}\left(1-e^{-\frac{R_1+R_2}{L}T}\right)-\frac{E}{R_2}\right)e^{\frac{R_2}{L}T}\,e^{-\frac{R_2}{L}t}\\<br />&=&\frac{E}{R_2}+\frac{E}{R_1+R_2}\left(e^{\frac{R_2}{L}T}-e^{-\frac{R_1}{L}T}\right)e^{-\frac{R_2}{L}t}-\frac{E}{R_2}e^{\frac{R_2}{L}T}\,e^{-\frac{R_2}{L}t}\\<br />&=&\frac{E}{R_2}+\frac{E}{R_1+R_2}\left(\left(1-\frac{R_1+R_2}{R_2}\right)e^{\frac{R_2}{L}T}-e^{-\frac{R_1}{L}T}\right)e^{-\frac{R_2}{L}t}\\<br />&=&\frac{E}{R_2}-\frac{E}{R_1+R_2}\left(\frac{R_1}{R_2}e^{\frac{R_2}{L}T}+e^{-\frac{R_1}{L}T}\right)e^{-\frac{R_2}{L}t}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。 E=R1=R2=L=T=1として電流iをグラフにプロットするとということになる。

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題名	投稿者	日時
過渡現象演習問題	webadm	2011-11-1 17:19
RL直列回路	webadm	2011-11-1 17:32
続：RL直列回路	webadm	2011-11-3 5:24
続々：RL直列回路	webadm	2011-11-3 6:23
まだまだ：RL直列回路	webadm	2011-11-3 8:44
もうひとつの：RL直列回路	webadm	2011-11-3 15:53
またまた：RL直列回路	webadm	2011-11-3 16:32
断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-4 1:09
» 続：断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-4 2:29
RL並列回路	webadm	2011-11-4 7:48
続々：断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-5 10:47
まだまだ:断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-5 20:42
もうひとつの：断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-6 1:32
またしても：RL直列回路	webadm	2011-11-6 2:44
鎖交磁束不変の理	webadm	2011-11-6 6:17
続：鎖交磁束不変の理	webadm	2011-11-8 5:08
続々：鎖交磁束不変の理	webadm	2011-11-8 7:42
またひとつの：RL直列回路	webadm	2011-11-10 7:26
RL直並列回路	webadm	2011-12-29 5:39
相互誘導回路	webadm	2012-1-11 8:53
続：相互誘導回路	webadm	2012-1-11 10:52
続々：相互誘導回路	webadm	2012-1-14 21:44
まだまだ：相互誘導回路	webadm	2012-1-22 3:04
RC直列回路	webadm	2012-1-22 23:50
続：RC直列回路	webadm	2012-1-23 1:37
続々：RC直列回路	webadm	2012-1-23 4:15
まだまだ：RC直列回路	webadm	2012-1-24 9:31
もうひとつの：RC直列回路	webadm	2012-1-27 7:27
またまた：RC直列回路	webadm	2012-1-29 0:18
電荷量不変の理	webadm	2012-1-29 0:45
続：電荷量不変の理	webadm	2012-2-4 9:41
断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-7 6:22
続：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-10 9:18
続々：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-12 20:06
まだまだ：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-12 23:06
もうひとつの：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-14 7:38
RC並列回路	webadm	2012-2-14 8:48
続：RC並列回路	webadm	2012-4-5 10:59
LC直列回路	webadm	2012-4-10 8:07
続:LC直列回路	webadm	2012-4-11 15:26
続々：LC直列回路	webadm	2012-4-14 6:36
まだまだ：LC直列回路	webadm	2012-4-14 17:43
LC並列回路	webadm	2012-4-15 0:24
断続部のあるLC並列回路	webadm	2012-4-16 3:54
続：断続部のあるLC並列回路	webadm	2012-4-17 9:05
断続部のあるブリッジ回路	webadm	2012-5-5 18:09
RLC直列回路	webadm	2012-5-5 23:12
続：RLC直列回路	webadm	2012-5-6 19:26
続々:RLC直列回路	webadm	2012-5-6 19:53
まだまた：RLC直列回路	webadm	2012-5-6 21:41
RLC直並列回路	webadm	2012-5-7 2:09
続：RLC直並列回路	webadm	2012-5-8 8:31
続々：RLC直並列回路	webadm	2012-5-12 18:14
RL直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-13 1:37
続：RL直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-13 22:24
続々：RL直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-13 23:03
RC直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-14 8:11
LC直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-19 19:10
RLC直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-23 4:47
RL直並列回路（交流入力）	webadm	2012-5-28 23:28
相互誘導回路	webadm	2012-8-3 7:14
続：相互誘導回路	webadm	2012-8-4 23:52
続々：相互誘導回路	webadm	2012-8-5 2:55
線型性	webadm	2012-8-6 21:08
非線型素子回路	webadm	2012-8-8 7:41
微分回路	webadm	2012-8-8 9:30
積分回路	webadm	2012-8-11 20:51
パルス回路	webadm	2012-8-11 22:35
交流ブリッジ回路	webadm	2012-8-11 23:00
最後のRL直列回路	webadm	2012-8-12 3:28

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