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webadm	投稿日時: 2012-2-14 7:38
Webmaster 登録日: 2004-11-7 居住地: 投稿: 3082	もうひとつの：断続部のあるRC直列回路次も断続部もの以下の回路のスイッチS1をt=0で閉じ、ついでt=TでスイッチS2を閉じる。キャパシタンスCには初期電荷Q(Q≧CE)が蓄えられているものとしてこの回路に流れる電流を求めよ。というもの。 Cの電荷がCEより大きいということはCの両端の電圧がEより大きいということになるので、スイッチS1を閉じた際にCから電荷が電源側に流れ込むことが予想される。その電流はR1とR2によって制限されるが、t=TでR1が短絡されるので、制限が緩和され更に放電が加速することが予想される。この予想に従って関係式をたててみると $\begin{eqnarray}<br />\frac{q}{C}+\left(R_1\,\left(1-U\left(t-T\right)\right)+R_2\right)\,i&=&E\\<br />q-\int\,i\,dt&=&Q<br />\end{eqnarray}$ という関係が成り立つ。これをHeavisideオペレータとベクトルで書き直すと $\begin{eqnarray}<br />{\bf F}{\bf u}&=&{\bf b}\\<br />{\bf F}&=&\begin{bmatrix}\frac{1}{C}&R_1\,\left(1-U\left(t-T\right)\right)+R_2\cr q&-\frac{1}{p}\end{bmatrix}\\<br />{\bf u}&=&\begin{bmatrix}q\left(t\right)\cr i\left(t\right)\end{bmatrix}\\<br />{\bf b}&=&\begin{bmatrix}E\cr Q\end{bmatrix}<br />\end{eqnarray}$ ということになる。これを演算子法で解くと $\begin{eqnarray}<br />{\bf u}&=&{\bf F}^{-1}{\bf F}{\bf u}={\bf F}^{-1}{\bf b}\\<br />&=&\begin{bmatrix}\frac{1}{C}&R_1\,\left(1-U\left(t-T\right)\right)+R_2\cr q&-\frac{1}{p}\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}E\cr Q\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}-\frac{Q-C\,E}{\left( {R}_{1}\,\left(1-U\left( t-T\right)\right) +{R}_{2}\right)\,C\left(p +\frac{1}{\left( {R}_{1}\,\left(1-U\left( t-T\right)\right) +{R}_{2}\right)\,C}\right)}+Q\cr \frac{Q-C\,E}{\left( {R}_{1}\,\left(1-U\left( t-T\right)\right) +{R}_{2}\right)^2\,C^2 \,\left(p +\frac{1}{\left( {R}_{1}\,\left(1-U\left( t-T\right)\right) +{R}_{2}\right)\,C}\right) }-\frac{Q-C\,E}{\left( {R}_{1}\,\left(1-U\left( t-T\right)\right) +{R}_{2}\right)\,C}\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}-\frac{Q-C\,E}{\cancel{\left( {R}_{1}\,\left(1-U\left( t-T\right)\right) +{R}_{2}\right)\,C}\left(\frac{1}{\cancel{\left( {R}_{1}\,\left(1-U\left( t-T\right)\right) +{R}_{2}\right)\,C}}\right)}\left(1-e^{\small -\int_{0}^{t}\frac{1}{\left( {R}_{1}\,\left(1-U\left( t-T\right)\right) +{R}_{2}\right)\,C}dt}\right)+Q\cr \frac{Q-C\,E}{\left( {R}_{1}\,\left(1-U\left( t-T\right)\right) +{R}_{2}\right)\cancel{^2}\,C\cancel{^2} \,\left(\frac{1}{\cancel{\left( {R}_{1}\,\left(1-U\left( t-T\right)\right) +{R}_{2}\right)\,C}}\right) }\left(1-e^{\small -\int_{0}^{t}\frac{1}{\left( {R}_{1}\,\left(1-U\left( t-T\right)\right) +{R}_{2}\right)\,C}dt}\right)-\frac{Q-C\,E}{\left( {R}_{1}\,\left(1-U\left( t-T\right)\right) +{R}_{2}\right)\,C}\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}-\left(Q-C\,E\right)\left(1-e^{\small -\int_{0}^{t}\frac{1}{\left( {R}_{1}\,\left(1-U\left( t-T\right)\right) +{R}_{2}\right)\,C}dt}\right)+Q\cr \frac{Q-C\,E}{\left( {R}_{1}\,\left(1-U\left( t-T\right)\right) +{R}_{2}\right)\,C}\left(1-e^{\small -\int_{0}^{t}\frac{1}{\left( {R}_{1}\,\left(1-U\left( t-T\right)\right) +{R}_{2}\right)\,C}dt}\right)-\frac{Q-C\,E}{\left( {R}_{1}\,\left(1-U\left( t-T\right)\right) +{R}_{2}\right)\,C}\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}-\left(Q-C\,E\right)\left(1-e^{-\frac{1}{\left( {R}_{1}+{R}_{2}\right)\,C}t}\right)+Q\cr \frac{Q-C\,E}{\left( {R}_{1} +{R}_{2}\right)\,C}\left(1-e^{-\frac{1}{\left( {R}_{1} +{R}_{2}\right)\,C}t}\right)-\frac{Q-C\,E}{\left( {R}_{1} +{R}_{2}\right)\,C}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}Q\,e^{-\frac{1}{\left( {R}_{1}+{R}_{2}\right)\,C}t}+C\,E\left(1-e^{-\frac{1}{\left( {R}_{1}+{R}_{2}\right)\,C}t}\right)\cr -\frac{Q-C\,E}{\left( {R}_{1} +{R}_{2}\right)\,C}e^{-\frac{1}{\left( {R}_{1} +{R}_{2}\right)\,C}t}\end{bmatrix}\,\,\,\,\left(0\le t\le T\right)\\<br />&=&\begin{bmatrix}-\left(Q-C\,E\right)\left(1-e^{\small -\int_{0}^{T}\frac{1}{\left( {R}_{1} +{R}_{2}\right)\,C}dt-\int_{T}^{t}\frac{1}{{R}_{2}\,C}dt}\right)+Q\cr \frac{Q-C\,E}{{R}_{2}\,C}\left(1-e^{\small -\int_{0}^{T}\frac{1}{\left( {R}_{1} +{R}_{2}\right)\,C}dt-\int_{T}^{t}\frac{1}{{R}_{2}\,C}dt}\right)-\frac{Q-C\,E}{{R}_{2}\,C}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\left(Q-C\,E\right)\left(1-e^{\frac{{R}_{1}\,T}{{R}_{2}\,\left( {R}_{2}+{R}_{1}\right) \,C}-\frac{t}{R_2\,C}}\right)+Q\cr \frac{Q-C\,E}{{R}_{2}\,C}\left(\cancel{1}-e^{\frac{{R}_{1}\,T}{{R}_{2}\,\left( {R}_{2}+{R}_{1}\right) \,C}-\frac{t}{R_2\,C}}\right)-\cancel{\frac{Q-C\,E}{{R}_{2}\,C}}\end{bmatrix}\\<br />&=&\begin{bmatrix}Q\,e^{\frac{{R}_{1}\,T}{{R}_{2}\,\left( {R}_{2}+{R}_{1}\right) \,C}-\frac{t}{R_2\,C}}+C\,E\left(1-e^{\frac{{R}_{1}\,T}{{R}_{2}\,\left( {R}_{2}+{R}_{1}\right) \,C}-\frac{t}{R_2\,C}}\right)\cr -\frac{Q-C\,E}{{R}_{2}\,C}e^{\frac{{R}_{1}\,T}{{R}_{2}\,\left( {R}_{2}+{R}_{1}\right) \,C}-\frac{t}{R_2\,C}}\end{bmatrix}\,\,\,\,\left(T\lt t\right)\\<br />\end{eqnarray}$ ということになる。 Q≧CEなので電流は回路を閉じた瞬間から図のiの方向とは逆向きに流れることになる。t=Tで電流iの不連続点が生じる。 C=E=R1=R2=1,Q=2としてMaximaでプロットしてみるとということになる。t=Tの前後を比べると明らかにスイッチS2を閉じることによって時定数が短くなり放電が加速しているのが見てとれる。著者のグラフと見比べてみると以下の違いがあることに気づく。・t=0の電流の値が誤っている・t=Tの値が電流iではなく電荷qの式になっている。明らかに原稿上のミスだろう。

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題名	投稿者	日時
過渡現象演習問題	webadm	2011-11-1 17:19
RL直列回路	webadm	2011-11-1 17:32
続：RL直列回路	webadm	2011-11-3 5:24
続々：RL直列回路	webadm	2011-11-3 6:23
まだまだ：RL直列回路	webadm	2011-11-3 8:44
もうひとつの：RL直列回路	webadm	2011-11-3 15:53
またまた：RL直列回路	webadm	2011-11-3 16:32
断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-4 1:09
続：断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-4 2:29
RL並列回路	webadm	2011-11-4 7:48
続々：断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-5 10:47
まだまだ:断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-5 20:42
もうひとつの：断続部の有るRL直列回路	webadm	2011-11-6 1:32
またしても：RL直列回路	webadm	2011-11-6 2:44
鎖交磁束不変の理	webadm	2011-11-6 6:17
続：鎖交磁束不変の理	webadm	2011-11-8 5:08
続々：鎖交磁束不変の理	webadm	2011-11-8 7:42
またひとつの：RL直列回路	webadm	2011-11-10 7:26
RL直並列回路	webadm	2011-12-29 5:39
相互誘導回路	webadm	2012-1-11 8:53
続：相互誘導回路	webadm	2012-1-11 10:52
続々：相互誘導回路	webadm	2012-1-14 21:44
まだまだ：相互誘導回路	webadm	2012-1-22 3:04
RC直列回路	webadm	2012-1-22 23:50
続：RC直列回路	webadm	2012-1-23 1:37
続々：RC直列回路	webadm	2012-1-23 4:15
まだまだ：RC直列回路	webadm	2012-1-24 9:31
もうひとつの：RC直列回路	webadm	2012-1-27 7:27
またまた：RC直列回路	webadm	2012-1-29 0:18
電荷量不変の理	webadm	2012-1-29 0:45
続：電荷量不変の理	webadm	2012-2-4 9:41
断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-7 6:22
続：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-10 9:18
続々：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-12 20:06
まだまだ：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-12 23:06
» もうひとつの：断続部のあるRC直列回路	webadm	2012-2-14 7:38
RC並列回路	webadm	2012-2-14 8:48
続：RC並列回路	webadm	2012-4-5 10:59
LC直列回路	webadm	2012-4-10 8:07
続:LC直列回路	webadm	2012-4-11 15:26
続々：LC直列回路	webadm	2012-4-14 6:36
まだまだ：LC直列回路	webadm	2012-4-14 17:43
LC並列回路	webadm	2012-4-15 0:24
断続部のあるLC並列回路	webadm	2012-4-16 3:54
続：断続部のあるLC並列回路	webadm	2012-4-17 9:05
断続部のあるブリッジ回路	webadm	2012-5-5 18:09
RLC直列回路	webadm	2012-5-5 23:12
続：RLC直列回路	webadm	2012-5-6 19:26
続々:RLC直列回路	webadm	2012-5-6 19:53
まだまた：RLC直列回路	webadm	2012-5-6 21:41
RLC直並列回路	webadm	2012-5-7 2:09
続：RLC直並列回路	webadm	2012-5-8 8:31
続々：RLC直並列回路	webadm	2012-5-12 18:14
RL直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-13 1:37
続：RL直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-13 22:24
続々：RL直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-13 23:03
RC直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-14 8:11
LC直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-19 19:10
RLC直列回路（交流入力）	webadm	2012-5-23 4:47
RL直並列回路（交流入力）	webadm	2012-5-28 23:28
相互誘導回路	webadm	2012-8-3 7:14
続：相互誘導回路	webadm	2012-8-4 23:52
続々：相互誘導回路	webadm	2012-8-5 2:55
線型性	webadm	2012-8-6 21:08
非線型素子回路	webadm	2012-8-8 7:41
微分回路	webadm	2012-8-8 9:30
積分回路	webadm	2012-8-11 20:51
パルス回路	webadm	2012-8-11 22:35
交流ブリッジ回路	webadm	2012-8-11 23:00
最後のRL直列回路	webadm	2012-8-12 3:28

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