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投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2012-2-14 8:48
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3068
RC並列回路
今度はRC並列回路の問題

下図の回路はスイッチが開かれ、キャパシタンスCの両端の電位差が0という定常状態にある。いまt=0からT秒間スイッチを閉じキャパシタンスCを充電し、ついでつぎのT秒間スイッチを開いて放電する。このようにスイッチをT秒間隔で断続を繰り返すとき、十分に時間が経過した後のキャパシタンスCの電位差eと抵抗rを流れる電流irはどうなるか。



というもの。

最初のRC並列回路の問題としては難しい部類かもしれない。

最初以下のようにスイッチと電池を矩形波出力の電圧源に置き換えて計算し始めたのだが、途中でそれは間違いであることに気づいた。



以前の問題はRL直列回路だったので、回路は閉じたまま矩形波出力の電源が接続されているケースで電源出力が0の時も回路は閉じたままであった。今回はRC並列回路で電源側回路は開放になってしまい電流は流れなくなる点が大きく異なる。

上の回路だと電源出力電圧が0になると、C側から電源方向にも放電電流が流れることになってしまい題意とは異なる。

どうすんだこれ(;´Д`)

等価電源を用いるとすると、等価電流源にすれば電流0という状態は作り出せるが定電流電源とはならない。

見通しよく解くには解析関数で電源を表すことができればいいのだが。

2012/2/18

夕食時に以下の様な等価回路を思いついた



スイッチと並列にR∞という抵抗を接続する。今日では顧みられることのない18世紀のEulerの無限解析という手法を引っ張り出すことにする。すなわちR∞≠0の抵抗値を持つとして解析し、解が得られた後、R∞を無限大に移行する。これによってスイッチが開いた状態では電流icが流れないので題意の回路と等価になるはずである。

単位ステップ関数をU(t)とすると以下の関係が成り立つ



これをHeavisideオペレータとベクトルで表すと



これを演算子法で解くと




(2012/3/3)
むう、見通しがたたなくなってきた。どっかで間違いをしでかしたとしか思えない。もっと初期の段階でtの区間のケース分けをして考えるべきだったかもしれない(;´Д`)

(2012/3/6)
もういちど原点に立ち返って立式から見直してみよう。

積分方程式を使わなくても同じ回路で以下の関係が成り立つ



R∞(t)は最初に考えた立式に出てくる単位ステップ関数の級数からなるスイッチング関数である。長いので表現を短くした。

これは良く見ると、第1式と第3式からic,irを求めて第2の式に代入するとic,irを消去することができる。Cの両端の電圧に関する一階非同次常微分方程式



ということになる。これなら演算子法を持ち出すまでもなく、公式によって一般解は



ということになる。

ここで初期条件としてt=+0でec(+0)=0を与えて未定積分定数Kを求めると



ということになる。従って特解は



ということになる。

結局最初に演算子法で導いたのと同じ結果になった。問題はいつも登場するこのへんてこな積分をどうにかしないといけないという点である。

どうすんだこれ(;´Д`)

どうやら古い「演算子法と其の応用」という本に、以前から登場するへんてこな積分がDuhamel積分として紹介されている。演算子法の時代にも回路に加えられる電源が演算子法の変換表に無い任意の関数の場合にどうしてもDuhamel積分を用いて新たに変換公式を導く必要があった。

今日Duhamel積分は畳み込み積分(Convolution)もしくは合成積と呼ばれている。

畳み込み積分というと大抵の本には



というような形で最初から登場しているので、以下のDuhamel積分表記とはまったく違うものと思われるかもしれない。



しかしこれは積分変数tをuに置き換えることで以下の様に書き換えることができる



演算子法ではこのDuhamel積分を使って既に知られている様々な変換公式を予め導いて使用する。面倒な積分やよく登場する外部入力に関する関数に関して予めDuhamel積分を計算しておけば演算子法で簡単に解が得られるというわけである。

さて問題に立ち戻ると、この積分をどうやって計算すればよいのかということになる。

(2012/3/11)
暗い、寒いので寝床で悶々と考えていたら、先の電圧の解の性質は以前に似たような矩形関数を伴うRL直列回路の問題(またひとつの:RL直列回路)の電流の解とそっくりなことが気になった。そして良く考えたら、この問題の回路は以前にやった回路と相対であることに気づいた。相対回路では

・並列⇔直列
・L⇔C
・電流⇔電圧
・R(抵抗)⇔1/R=G(コンダクタンス)
・開放⇔短絡

という関係があるのを上巻の最初に学んだのを憶えているだろうか?

つまりこの問題は、以前にやった「またひとつの:RL直列回路」と相対な問題(すなわち同じ問題の言い換え)だったというわけ。

なんだそういうことだったのか(´∀` )

問題の回路と双対なRL直列回路を描いてみると



ということになる。以下の双対関係に注意。

・キャパシタンスCの両端の電圧(ec)⇔インダクタンスLに流れる電流(i)
・抵抗rに流れる電流⇔抵抗1/rの両端の電圧
・Cとrの並列回路に流れる電流⇔Lと1/r直列回路に加わる電圧

つまり下のRL直列回路の電流(i)を解くことは、上のRC並列回路のCの両端の電圧(ec)を解くのと同値である。

よく見ると電圧と電流の関係が逆になっている点で厳密には以前に解いたRL直列回路とは電源部が異なるが、同じように重ね合わせの理を使って解く事もできそうである。

さて依然としてDuhamel積分計算が課題として残っている。

(2012/3/20)
いろいろ思考錯誤した途中経過は誤りがあるので割愛した。0≦t≦Tの区間で計算してみた場合に微分方程式の解と異なる結果になってしまうからだ。おそらく定積分に部分積分の公式を用いたあたりでどっかミスを犯して導出した式が間違ってしまっていたのだと思われる。いずれにせよそれらの計算は面倒で間違え易いのでアプローチとしては望ましくない。

やはり演繹法的に一発解というのは現段階では難しいとしかいいようがない。IQが低いので先のDuhamel積分をエレガントに計算する術をもたないのが敗因だ。

そうなるとGaussのようにやるしかない。特殊から一般へ、帰納法的に地道に行くしかないだろう。

(2012/3/27)
突破口が見えたかにみえたが蜃気楼だった(;´Д`)

とりあえず今のところ正しいと思われる先の解について0≦t≦Tの場合について考えてみよう。この場合にはR∞はスイッチによって短絡されているので式の上からは消失する。



ということになる。これは正しい。

続いてT≦t≦2Tの区間を考えると、この場合にはスイッチが開くのでR∞が回路に挿入され、R∞→∞とすれば実質左の電源とR∞、Rは式の上から消失する。t=Tの時点で電荷量保存則によりCの電荷はスイッチを開いた時点では変化しないので、電圧も前の区間と後の区間でec(T)は等しいことになる。従って直前の区間でのec(T)を求めると



ということになる。これを初期条件としてecの一般解から特解を求めると



従って



ということになる。

ここまでをE=r=R=C=T=1としてグラフにプロットすると



以前の似たような問題の波形と良くにた波形が現れる。同じ問題の言い換えだから当然か。上限は抵抗分圧できまるE*r/(R+r)を超えることはない。

(2012/3/28)
さて続いて2T≦t≦3Tの区間のec1を求めてみよう。再びスイッチは閉じるので式の上にRが現れ代わりにR∞が消失する。元の一般解の式より特解を求めるための初期条件として直前の区間でのec(2T)の値を計算しておく



従って以前の似たような問題でも問われたように、ec(T)とec(2T)の比は一目瞭然で



ということになる。r,C,Tいずれも正の実数であればこの値は常に非零かつ1未満ということになる。これは後で役立ちそうである。

同様にして区間2T≦t≦3Tへ解析接続すると



従って



なんですかこれは(;´Д`)

たしかにt=2Tを代入すると前区間のec(2T)と一致するので正しいのだろう。

更に解析接続するためにt=3Tを上の式に代入してec(3T)を求めると



ということになる。

すでに計算力の限界に来ているので、Maximaで検算を行った。

さてここまでくれば次の解析接続区間でのec(4T)の値を予想することができる。それは



である。予想が正しいかどうか計算して確かめてみよう

同様にして区間3T≦t≦4Tへ解析接続すると



従って特解は



ということになる。t=4Tを代入するとec(4T)は



予想通りじゃないか(´∀` )

少し自信が湧いてきたo(^-^)o。

これで2サイクル分の区間が解析できたことになるので、ここまでの結果をグラフにプロットすると



ということになる。

さていよいよ任意の2nサイクル(2nT≦t≦(2n+1)Tの区間)と2n+1サイクル((2n+1)T≦t≦(2n+2)Tの区間)の解を洞察する段階に来た。

まずこれまで解析接続で導いた区間の解の式をまとめると



これらから類推して2nT≦t≦(2n+1)Tと(2n+1)T≦t≦(2n+2)T、n=0,1,2,...,に関する一般形が思いつくだろうか。

わがんね(;´Д`)

区間境界の値についても整理すると



こちらはだいぶ規則性が認められる。

上記の2つの結果を交互に見比べるとようやく解の一般形が見えてくきた( ̄ー ̄)ニヤリ



しかし上の表現で肝心なec(2nT)とec((2n+1)T)の一般形が見えない(;´Д`)

いいアイデアを思いついた(´∀` )
上の一般形式が正しいと仮定すると、t=(2n+1)Tでは2つの式は等しいので



これを先の一般形に代入すると



ということになる。

残るec(2nT)の一般形がわがんね(;´Д`)

あともう一歩なんだけどなあ( ´д`)

(2012/4/2)
もう問題に取り組み始めて一ヶ月近くが経過しようとしている。時間制限はないのだから自分が納得するやりかたでやるのだ。

ここまで来てだいぶ問題のDuhamel積分の計算の仕方がわかってきた感じがする。いよいよ一般的な2nT≦t≦(2n+1)Tの区間の解を計算する時がきたのかもしれない。



さて上の括弧内の数列の和をSとすると



ということになる。

従って区間2nT≦t≦(2n+1)Tの解は



ということになる。これにt=2nTを代入するとec(2nT)は



ということになる。

これを先の一般形式に代入すれば



ということになる。

できたじゃないか(´∀` )

やったよママン(ノД`)

さてこれで終わったわけではない。

題意では十分時間が経過したときのecを問われているので、n→∞へ移行した極値を求める必要がある。

先のec(2nT)の極値を計算すると



ということになる。

また抵抗rを流れる電流irの極値も同様にして



ということになる。

最後に解の一般形が得られたので、5サイクル分の波形をプロットしてみよう。これはMaximaを使って容易に可能だ。



波形の極値も計算通りであることが確かめられた(´∀` )

級数の和の計算は手元の「級数論」の最初の章にさりげなく結論だけ示されていて、常識のような扱いだったが、意外に公式集には乗っていない。そういえば「エレガントな問題解決」の最初の部分に同様の例題があったのを思い出して自分で導いてみた。これも自分で導いた経験が無いとすぐには思いつかない。

本当は数学的帰納法によって導いた一般形が正しいか証明する必要があるが、それは読者の課題としよう(´∀` )

途中、他の驚くべき別解方法についてもアイデアが浮かんだが、後書きに書こうかと思ったらもう忘れてしまっていた( ´д`)

確かHeavisideは演算子法の最初の論文(展開定理を含む)の次の論文である関数を時間軸上にシフトした場合の簡単な計算方法としてShifting Theoryというのを書いたと記憶している。それはちょうど、この問題のように、1サイクルの動作(2T時間)を2T時間だけシフトして重ね合わせれば簡単になるはずである。このあたりのテクニックは名前はそのままでLaplace変換でも利用可能である。Laplace変換は後で学ぶのでそのときまでは伏せておこう。

この種の問題はLaplace変換でも難しい部類に入る。戦後、リレーロジック回路の設計者達は、リレーのもつ微妙な時間遅れ要素を考慮しつつほとんど当時は計算不能と思われるタイミングを頭にぜんぶ入れて試行錯誤で確実に動作する装置を開発していた。Shanonがベル研で学生として研修していた時に、日本で世界に先かげてリレー論理代数を独自に編み出した日本電気の中島もベル研を訪れその話題について話し合ったらしい。中島は今では当たり前のブール代数というものを当時知らず独自の代数を考案していたのに対して、Shanonはそれを学んでいたのでそれをベースに中島と同様にリレー論理代数を整理し修士論文とした。後にそれが有名になって、中島にスポットライトがあたることは無かった。ベル研で合った際にShanonは中島の先駆的な仕事からインスパイアされたと考えるのが自然である。

その後リレー回路に代表される論理回路はパルス回路として後のテレビジョン回路などにも多用されデジタルICが登場するまでは必修理論だった。しかしデジタルICが普及すると、面倒なタイミング計算中心から、複雑な論理そのものを扱うのが設計の中心と移り変わった。今日では論理合成ツールやシミュレーターが手計算に代わるツールとして普及している。

パルス回路(アナログとデジタルの中間)は離散的線形回路と呼ばれ。代表的なのがスイッチドキャパシタ回路である。この問題の回路は典型的なローパスフィルタの特性だけでなくスイッチ周波数に比例して出力電圧が減衰する可変抵抗素子の特性も副産物として備えている。集積回路上で実現できる微少なキャパシタンスで、等価な可変抵抗を実現するスイッチドキャパシタ回路に応用されている。その典型例がプッシュホンのプッシュ音から押された数字キーを判別するDTMF信号復号回路がスイッチドキャパシタフィルタで実現された。

そうした歴史の一端を垣間見ることができる問題である。

P.S

著者の解は、下巻ではめずらしく誤植と原稿ミスが目立つ。見通しは良くないが、しょっぱな演繹的に一般解を示し、後半は帰納的に一般形式を求めている。後半の式にも誤植があり最終的な式の導出にギャップがあり疑わしい。それと最後に執筆の時間が無かったのか題意ではrに流れる電流を求めよとなっているのに、何故かRに流れる電流を導く方法を述べて終わっている。これは明らかに題意と違うのでほとんど出来ているのに点数は半分しかもらえないだろう。いずれにせよ著者にとっても極めて面倒な問題であったのは確かだろう。

いずれにしてもこの問題は受験者に満点をとらせないための問題としては良いかもしれない。よっぽど勉強していないとこれを短時間に解くのは難しい。
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