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投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2015-3-17 9:57
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3068
Re: 自分の数学を持つことの勧め
円の面積や球の表面積を考え出すと、幾何学的にいろいろな遊びをしてみる機会が得られる。

例えば、円の面積を考えた時に円盤を描いたが、以下のようにちょっとへそ曲がりな計算をすると、とんでもない発見をすることになる。

円周の任意の点の接線に垂直な長さ1の法線と同じ点から円の中心軸までの距離を辺とする平行四辺形の面積を考えるとそれはr sinθcosθということになる。θは中心軸と任意の点と円の中心を結ぶ半径のなす角である。



また任意の点から中心軸に垂直に結ぶ線と平行な長さ1の線分と先の法線とで構成される平行四辺形の面積はsinθcosθである。

実はこれ前に研究したLaplace方程式の解である球調和関数(球関数)のひとつである。球を考えなくても平行四辺形の面積を計算すると球調和関数が出てくるのは不思議である。この式はいったいどんな物理量を意味しているのだろうか。

少し見方を変えて、今度は回転軸と直交する線と任意の点と中心を結ぶ半径のなす角をΨとすると



やはり球関数が出てくる。

球調和関数は定義域の両端で値0をとる(Legendre倍関数の性質による)のでMaximaを使用して極座標でプロットすると



という4つ葉のクローバーのような文様が現れる。

これを軸対称な球座標でプロットすると



4つ葉のクローバーを中心軸を軸に回転させたような形になる。小学生の時に国語の教科書に載っていた、ちびくろサンボの物語に虎が木の周りをぐるぐる駆け回っていると最後には黄色いバターだかなんかになったという下りを今も思い出す。その後差別用語を使っているということで発禁になり教科書から削除されたらしい。

これもLaplace方程式の解のひとつであり、静電ポテンシャルの一例である。

これが何を意味するか突き止めるのは読者の課題としよう(´∀` )

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題名 投稿者 日時
   自分の数学を持つことの勧め webadm 2015-2-3 12:47
     Re: 自分の数学を持つことの勧め webadm 2015-3-16 10:45
     » Re: 自分の数学を持つことの勧め webadm 2015-3-17 9:57
         Re: 自分の数学を持つことの勧め webadm 2015-4-15 21:41
           Re: 自分の数学を持つことの勧め webadm 2015-4-21 10:25
             Re: 自分の数学を持つことの勧め webadm 2015-4-26 21:43
               Re: 自分の数学を持つことの勧め webadm 2015-4-29 20:10
                 Re: 自分の数学を持つことの勧め webadm 2015-5-5 5:33
                   Re: 自分の数学を持つことの勧め webadm 2015-5-12 18:15
                     Re: 自分の数学を持つことの勧め webadm 2015-5-20 9:56
                   Re: 自分の数学を持つことの勧め webadm 2015-11-15 11:47
                     Re: 自分の数学を持つことの勧め webadm 2015-12-19 21:03
                     Re: 自分の数学を持つことの勧め webadm 2016-1-4 22:15
                     Re: 自分の数学を持つことの勧め webadm 2016-1-10 22:07
                       Re: 自分の数学を持つことの勧め webadm 2016-1-16 17:45
                         Re: 自分の数学を持つことの勧め webadm 2016-4-6 12:47
                           Re: 自分の数学を持つことの勧め webadm 2016-7-26 20:20

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