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投稿者 スレッド
webadm
投稿日時: 2008-10-27 10:44
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3107
【10】重ね合わせの理(その2)
次ぎの問題は重ね合わせの理で実際の回路に流れる電流を求めることが出来るか確かめよというもの。



重ね合わせの理でいくと、電源をE1のみにしてE2を短絡した時に回路に流れる電流と、E1を短絡しE2を活かした時に回路に流れる電流を足し合わせれば良いことになる。

前者の電流をI11,I21,I31、後者をI12,I22,I32とすると

I11=E1/(Z1+1/(1/Z2+1/Z3)
=E1/(Z1+Z2*Z3/(Z2+Z3))
=E1*(Z2+Z3)/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)

I21=I11*Z3/(Z2+Z3)
=E1*Z3/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)

I31=I11*Z2*/(Z2+Z3)
=E1*Z2/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)

I32=E2*(Z3+1/(1/Z1+1/Z2))
=E2*(Z3+Z1*Z2/(Z1+Z2))
=E2*(Z1+Z2)/(Z3*(Z1+Z2)+Z1*Z2)

I22=I32*Z1/(Z1+Z2)
=E2*Z1/(Z3*(Z1+Z2)+Z1*Z2)

I12=I32*Z2/(Z1+Z2)
=E2*Z2/(Z3*(Z1+Z2)+Z1*Z2)

従って

I1=I11-I12
=E1*(Z2+Z3)/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)-E2*Z2/(Z3*(Z1+Z2)+Z1*Z2)
=(E1*(Z2+Z3)-E2*Z2)/(Z1*Z2+Z1*Z3+Z2*Z3)

I2=-I21-I22
=-E1*Z3/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)-E2*Z1/(Z3*(Z1+Z2)+Z1*Z2)
=-(E1*Z3+E2*Z1)/(Z1*Z2+Z1*Z3+Z2*Z3)

I3=I32-I31
=E2*(Z1+Z2)/(Z3*(Z1+Z2)+Z1*Z2)-E1*Z2/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)
=(E2*(Z1+Z2)-E1*Z2)/(Z1*Z2+Z1*Z3+Z2*Z3)

これを節点方程式で求めてみると

コモンを節点Aとして節点Bの電圧をEBとすると節点Bに関するキルヒホッフの電流則により

I1+I2+I3=0

ここで

I1=(1/Z1)*(E1-EB)

I2=(1/Z2)*(0-EB)

I3=(1/Z3)*(E2-EB)

従って

(1/Z1)*(E1-EB)+(1/Z2)*(0-EB)+(1/Z3)*(E2-EB)=0

整理すると

(1/Z1)*E1-(1/Z1)*EB-(1/Z2)*EB+(1/Z3)*E2-(1/Z3)*EB=0

(1/Z1)*E1+(1/Z3)*E2=((1/Z1+1/Z2+1/Z3)*EB

∴EB=((1/Z1)*E1+(1/Z3)*E2)/(1/Z1+1/Z2+1/Z3)
=((Z3*E1+Z1*E2)/Z1*Z3)/((Z1*Z2+Z1*Z3+Z2*Z3)/Z1*Z2*Z3)
=Z2*(Z3*E1+Z1*E2)/(Z1*Z2+Z1*Z3+Z2*Z3)

従って

I1=(1/Z1)*(E1-EB)
=(1/Z1)*(E1-Z2*(Z3*E1+Z1*E2)/(Z1*Z2+Z1*Z3+Z2*Z3))
=(1/Z1)*((Z1*Z2+Z1*Z3+Z2*Z3)*E1-Z2*(Z3*E1+Z1*E2))/(Z1*Z2+Z1*Z3+Z2*Z3)
=(1/Z1)*((Z1*Z2+Z1*Z3)*E1-Z2*Z1*E2)/(Z1*Z2+Z1*Z3+Z2*Z3)
=((Z2+Z3)*E1-Z2*E2)/(Z1*Z2+Z1*Z3+Z2*Z3)

I2=(1/Z2)*(0-EB)
=(1/Z2)(-Z2*(Z3*E1+Z1*E2)/(Z1*Z2+Z1*Z3+Z2*Z3))
=-(Z3*E1+Z1*E2)/(Z1*Z2+Z1*Z3+Z2*Z3)

I3=(1/Z3)*(E2-EB)
=(1/Z3)*(E2-Z2*(Z3*E1+Z1*E2)/(Z1*Z2+Z1*Z3+Z2*Z3))
=(1/Z3)*((Z1*Z2+Z1*Z3+Z2*Z3)*E2-Z2*(Z3*E1+Z1*E2))/(Z1*Z2+Z1*Z3+Z2*Z3)
=(1/Z3)*((Z1*Z3+Z2*Z3)*E2-Z2*Z3*E1)/(Z1*Z2+Z1*Z3+Z2*Z3)
=((Z1+Z2)*E2-Z2*E1)/(Z1*Z2+Z1*Z3+Z2*Z3)

ということで節点方程式から導いた結果と一致することが確認された。

webadm
投稿日時: 2008-10-27 11:08
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3107
【11】重ね合わせの理(その3)
次ぎの問題も重ね合わせの理に関するもの。



電圧源と電流源を含む回路のR4を流れる電流を重ね合わせの理を用いて求めよというもの。

電流源を殺して電圧源のみを活かした場合にR4に流れる電流をIa、電圧源を殺して電流源のみを活かした場合にR4に流れる電流をIbとするとそれぞれ

Ia=E/(R4+1/(1/R2+1/(R1+R3)))
=E/(R4+R2*(R1+R3)/(R1+R2+R3))
=E*(R1+R2+R3)/((R1+R2+R3)*R4+R2*(R1+R3))

Ib=I*(R1/(R1+R3+1/(1/R2+1/R4)))*R2/(R2+R4)
=I*(R1/(R1+R3+R2*R4/(R2+R4)))*R2/(R2+R4)
=I*(R1*(R2+R4)/((R2+R4)*(R1+R3)+R2*R4))*R2/(R2+R4)
=I*R1*R2/((R2+R4)*(R1+R3)+R2*R4)
=I*R1*R2/((R1+R2+R3)*R4+R2*(R1+R3))

従って

I4=Ia+Ib
=E*(R1+R2+R3)/((R1+R2+R3)*R4+R2*(R1+R3))+I*R1*R2/((R1+R2+R3)*R4+R2*(R1+R3))
=(E1*(R1+R2+R3)+I*R1*R2)/((R1+R2+R3)*R4+R2*(R1+R3))

ということになる。
webadm
投稿日時: 2008-10-27 11:19
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3107
【12】相反定理
相反定理を証明せよという問題。

これは既に理論を学ぶ際についでにやってしまったので割愛。

線形代数の転置行列の性質と、回路方程式におけるインピーダンス行列及びアドミッタンス行列は互いに対称行列であることを利用すると容易に導くことができる。
webadm
投稿日時: 2008-10-29 4:43
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3107
【13】相反定理(その2)
次ぎの問題も相反定理。



実際の回路で相反定理が成り立つことを確認せよというもの。数学的に証明されたのだから何を今更という気がしないでもないが。

やってみるとはまった。

回路上で以下の網目方程式が成り立つ

(R1+R4)*I1+0*I2-R4*I3=E1

0*I1+(R3+R5)*I2-R5*I3=-E2

-R4*I1-R5*I2+(R2+R4+R5)*I3=0

これを行列表現に直すと

[Z]=([R1+R4,0,-R4],[0,R3+R5,-R5],[-R4,-R5,R2+R4+R5])

[I]=([I1],[I2],[I3])

[E]=([E1],[-E2],[0])

[Z][I]=[E]

ということになる。インピーダンス行列[Z]は対称行列になっているので相反定理が成り立つはずである。

これを電圧源のあるI1,I2について解いてみると

I1=(1/Δ)*|[E1,0,-R4],[-E2,R3+R5,-R5],[0,-R5,R2+R4+R5])
=(1/Δ)*(E1*|[R3+R5,-R5],[-R5,R2+R4+R5]|+E2*|[0,-R4],[-R5,R2+R4+R5]|)
=(1/Δ)*(E1*((R3+R5)*(R2+R4+R5)-R5^2)+E2*(-R4*R5))
=(1/Δ)*(E1*((R3*(R2+R4+R5)+R5*(R2+R4))-E2*R4*R5)

I2=(1/Δ)*|[R1+R4,E1,-R4],[0,-E2,-R5],[-R4,0,R2+R4+R5]|
=(1/Δ)*(-E1*|[0,-R5],[-R4,R2+R4+R5]|-E2*|[R1+R4,-R4],[-R4,R2+R4+R5]|)
=(1/Δ)*(E1*R4*R5-E2*((R1+R4)*(R2+R4+R5)-R4^2))
=(1/Δ)*(E1*R4*R5-E2*(R1*(R2+R4+R5)+R4*(R2+R5)))

E1,E2がE1',E2'になった時の電流I1',I2'はそれぞれ

I1'=(1/Δ)*(E1'*((R3*(R2+R4+R5)+R5*(R2+R4))-E2'*R4*R5)
I2'=(1/Δ)*(E1'*R4*R5-E2'*(R1*(R2+R4+R5)+R4*(R2+R5)))

従って

E1*I1'-E2*I2'=
E1*(1/Δ)*(E1'*((R3*(R2+R4+R5)+R5*(R2+R4))-E2'*R4*R5)-E2*(1/Δ)*(E1'*R4*R5-E2'*(R1*(R2+R4+R5)+R4*(R2+R5)))=
(1/Δ)*(E1*E1'*((R3*(R2+R4+R5)+R5*(R2+R4))-E1*E2'*R4*R5)-
(1/Δ)*(E2*E1'*R4*R5-E2*E2'*(R1*(R2+R4+R5)+R4*(R2+R5)))=
(1/Δ)*(E1*E1'*((R3*(R2+R4+R5)+R5*(R2+R4))-E2*E1'*R4*R5)-
(1/Δ)*(E1*E2'*R4*R5-E2*E2'*(R1*(R2+R4+R5)+R4*(R2+R5)))=
E1'*(1/Δ)*(E1*((R3*(R2+R4+R5)+R5*(R2+R4))-E2*R4*R5)-
E2'*(1/Δ)*(E1*R4*R5-E2*(R1*(R2+R4+R5)+R4*(R2+R5)))=
E1'*I1-E2'*I2

ということで相反定理が成り立つことが確認される。

罠にはまったのは電源E2の符号。

著者は知ってか知らずか(知っていたとすれば確信犯)、

・インピーダンス行列がわざと非対称行列になるように行を入れ替えて表記(相反定理が成立しない)
・更に最後にアドミッタンス行列もE2の極性が正になるように負号をアドミッタンス行列の要素側に掛けて移してしまったので、アドミッタンス行列も非対称行列にしてしまっている
・結果的に最後に強引に最後の式を導出しているが、どう考えても間違えている

これで何日も悩んだ。


webadm
投稿日時: 2008-10-29 5:34
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3107
【14】相反定理(その3)
今度は相反定理を応用した計算問題。



入力端に|E1|の電源をつないだ場合に出力端の負荷に|I2|が流れる同じ回路に今度は出力に|E2'|をつないで入力に|I1'|の電流が流れるようにするには|E2'|はいくらにすればよいかというもの。

回路が線形であれば相反定理によって

|E1|*|I2'|=|E2'|*|I1|

が成り立つので、

|E2'|=|E1|*|I2'|/|I1|
=100*3/5
=60 [A]

ということになる。
webadm
投稿日時: 2008-10-29 5:37
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3107
【15】補償定理
補償定理を証明せよという問題。

これは理論の時にやってしまったので割愛。
webadm
投稿日時: 2008-10-30 12:09
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3107
【16】補償定理(その2)
今度は補償定理を実際の回路で成り立つのを確認せよという問題。



I1,I2,I3はそれぞれ

I1=E/(Z1+1/(1/Z2+1/Z3))
=E*(1/Z2+1/Z3)/(Z1*(1/Z2+1/Z3)+1)
=E*(Z2+Z3)/(Z2*Z3*(Z1*(Z2+Z3)/Z2*Z3+1)
=E*(Z2+Z3)/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)

I2=Z3*I1/(Z2+Z3)
=E*Z3/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)

I3=Z2*I1/(Z2+Z3)
=E*Z2/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)

同様にZ2がZ2+ΔZに変化した際の電流I1',I2',I3'はそれぞれ

I1'=E*(Z2+ΔZ+Z3)/(Z1*(Z2+ΔZ+Z3)+(Z2+ΔZ)*Z3)

I2'=E*Z3/(Z1*(Z2+ΔZ+Z3)+(Z2+ΔZ)*Z3)

I3'=E*(Z2+ΔZ)/(Z1*(Z2+ΔZ+Z3)+(Z2+ΔZ)*Z3)

従って電流の変化量はそれぞれ

ΔI1=I1'-I1=E*(Z2+ΔZ+Z3)/(Z1*(Z2+ΔZ+Z3)+(Z2+ΔZ)*Z3)-E*(Z2+Z3)/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)
=(E*(Z2+ΔZ+Z3)*(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)-E*(Z2+Z3)*(Z1*(Z2+ΔZ+Z3)+(Z2+ΔZ)*Z3))/(Z1*(Z2+ΔZ+Z3)+(Z2+ΔZ)*Z3)*(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)
=E*((Z2+Z3)*(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)+ΔZ*(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)-(Z2+Z3)*(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)-(Z2+Z3)*(Z1*ΔZ+ΔZ*Z3))/(Z1*(Z2+ΔZ+Z3)+(Z2+ΔZ)*Z3)*(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)
=E*(ΔZ*(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)-(Z2+Z3)*ΔZ*(Z1+Z3))/(Z1*(Z2+ΔZ+Z3)+(Z2+ΔZ)*Z3)*(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)
=E*(-Z3*ΔZ*Z3)/(Z1*(Z2+ΔZ+Z3)+(Z2+ΔZ)*Z3)*(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)
=-E*ΔZ*Z3^2/(Z1*(Z2+ΔZ+Z3)+(Z2+ΔZ)*Z3)*(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)

ΔI2=I2'-I2=E*Z3/(Z1*(Z2+ΔZ+Z3)+(Z2+ΔZ)*Z3)-E*Z3/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)
=E*(Z3*(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)-Z3*(Z1*(Z2+ΔZ+Z3)+(Z2+ΔZ)*Z3))/(Z1*(Z2+ΔZ+Z3)+(Z2+ΔZ)*Z3)*(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)
=E*(-Z3*Z1*ΔZ-Z3*ΔZ*Z3)/(Z1*(Z2+ΔZ+Z3)+(Z2+ΔZ)*Z3)*(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)
=-E*ΔZ*Z3*(Z1+Z3)/(Z1*(Z2+ΔZ+Z3)+(Z2+ΔZ)*Z3)*(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)

ΔI3=I3'-I3=E*(Z2+ΔZ)/(Z1*(Z2+ΔZ+Z3)+(Z2+ΔZ)*Z3)-E*Z2/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)
=E*((Z2+ΔZ)*(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)-Z2*(Z1*(Z2+ΔZ+Z3)+(Z2+ΔZ)*Z3)))/(Z1*(Z2+ΔZ+Z3)+(Z2+ΔZ)*Z3)*(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)
=E*(ΔZ*Z1*(Z2+Z3)-Z2*(Z1*ΔZ+ΔZ*Z3))/(Z1*(Z2+ΔZ+Z3)+(Z2+ΔZ)*Z3)*(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)
=E*(ΔZ*(Z1*(Z2+Z3)-Z2*(Z1+Z3))/(Z1*(Z2+ΔZ+Z3)+(Z2+ΔZ)*Z3)*(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)
=E*ΔZ*Z1*Z3/(Z1*(Z2+ΔZ+Z3)+(Z2+ΔZ)*Z3)*(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)

ということになる。

一方補償定理が成り立つなら、Z2がZ2+ΔZに変化した際の電流変化は電源を殺してZ2+ΔZと直列にΔZ*I2なる電源をI2と反対方向に接続した際に各部に流れる電流と同じになるはず。



図より

ΔI2'=-ΔZ*I2/(Z2+ΔZ+1/(1/Z1+1/Z3))
=-ΔZ*I2*(1/Z1+1/Z3)/((Z2+ΔZ)*(1/Z1+1/Z3)+1)
=-ΔZ*I2*(Z1+Z3)/(Z1*Z3*((Z2+ΔZ)*(Z1+Z3)/Z1*Z3+1)
=-ΔZ*I2*(Z1+Z3)/((Z2+ΔZ)*(Z1+Z3)+Z1*Z3)
=-ΔZ*E*Z3*(Z1+Z3)/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)*((Z2+ΔZ)*(Z1+Z3)+Z1*Z3)

ΔI1'=Z3*ΔI2/(Z1+Z3)
=-ΔZ*E*Z3^2/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)*((Z2+ΔZ)*(Z1+Z3)+Z1*Z3)

ΔI3'=Z1*ΔI2/(Z1+Z3)
=-ΔZ*E*Z1*Z3/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)*((Z2+ΔZ)*(Z1+Z3)+Z1*Z3)

従って

I1'=I1+ΔI1'
=E*(Z2+Z3)/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)-ΔZ*E*Z3^2/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)*((Z2+ΔZ)*(Z1+Z3)+Z1*Z3)
=E*((Z2+Z3)*((Z2+ΔZ)*(Z1+Z3)+Z1*Z3)-ΔZ*Z3^2)/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)*((Z2+ΔZ)*(Z1+Z3)+Z1*Z3)
=E*((Z2+Z3)*(Z2*(Z1+Z3)+ΔZ*(Z1+Z3)+Z1*Z3)-ΔZ*Z3^2)/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)*((Z2+ΔZ)*(Z1+Z3)+Z1*Z3)
=E*(Z2*(Z2*(Z1+Z3)+ΔZ*(Z1+Z3)+Z1*Z3)+Z3*(Z2*(Z1+Z3)+ΔZ*(Z1+Z3)+Z1*Z3)-ΔZ*Z3^2)/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)*((Z2+ΔZ)*(Z1+Z3)+Z1*Z3)
=E*(Z2*(Z2*(Z1+Z3)+ΔZ*(Z1+Z3)+Z1*Z3)+Z3*(Z2*(Z1+Z3)+ΔZ*Z1+Z1*Z3))/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)*((Z2+ΔZ)*(Z1+Z3)+Z1*Z3)
=E*(Z2*(Z2*(Z1+Z3)+Z1*Z3)+Z3*(Z2*(Z1+Z3)+Z1*Z3)+Z2*ΔZ*(Z1+Z3)+Z3*ΔZ*Z1)/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)*((Z2+ΔZ)*(Z1+Z3)+Z1*Z3)
=E*((Z2+Z3)*(Z2*(Z1+Z3)+Z1*Z3)+ΔZ*(Z2*(Z1+Z3)+Z1*Z3))/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)*((Z2+ΔZ)*(Z1+Z3)+Z1*Z3)
=E*((Z2+ΔZ+Z3)*(Z2*(Z1+Z3)+Z1*Z3))/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)*((Z2+ΔZ)*(Z1+Z3)+Z1*Z3)
=E*(Z2+ΔZ+Z3)/((Z2+ΔZ)*(Z1+Z3)+Z1*Z3)

I2'=I2+ΔI2'
=E*Z3/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)-E*ΔZ*Z3*(Z1+Z3)/(Z1*(Z2+ΔZ+Z3)+(Z2+ΔZ)*Z3)*(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)
=E*(Z3*(Z1*(Z2+ΔZ+Z3)+(Z2+ΔZ)*Z3)-ΔZ*Z3*(Z1+Z3))/(Z1*(Z2+ΔZ+Z3)+(Z2+ΔZ)*Z3)*(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)
=E*(Z3*(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)+Z3*(Z1*ΔZ+ΔZ*Z3)-ΔZ*Z3*(Z1+Z3))/(Z1*(Z2+ΔZ+Z3)+(Z2+ΔZ)*Z3)*(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)
=E*Z3*(Z1*(Z3+Z3)+Z2*Z3)/(Z1*(Z2+ΔZ+Z3)+(Z2+ΔZ)*Z3)*(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)
=E*Z3/(Z1*(Z2+ΔZ+Z3)+(Z2+ΔZ)*Z3)

I3'=I3-ΔI3
=E*Z2/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)+ΔZ*E*Z1*Z3/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)*((Z2+ΔZ)*(Z1+Z3)+Z1*Z3)
=E*(Z2*((Z2+ΔZ)*(Z1+Z3)+Z1*Z3)+ΔZ*Z1*Z3)/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)*((Z2+ΔZ)*(Z1+Z3)+Z1*Z3)
=E*(Z2*(Z2*(Z1+Z3)+Z1*Z3)+Z2*ΔZ*(Z1+Z3)+ΔZ*Z1*Z3)/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)*((Z2+ΔZ)*(Z1+Z3)+Z1*Z3)
=E*(Z2*(Z2*(Z1+Z3)+Z1*Z3)+ΔZ*(Z2*(Z1+Z3)+Z1*Z3))/(Z1*(Z2+Z3)+Z2*Z3)*((Z2+ΔZ)*(Z1+Z3)+Z1*Z3)
=E*(Z2+ΔZ)/((Z2+ΔZ)*(Z1+Z3)+Z1*Z3)

ということで補償定理でも同じ結果が得られる。

はまったのは図の電流の向きで、Z2をZ2+ΔZにするとZ2に流れる電流は減少するが、Z3に流れる電流は逆に増加する。I1及びI1'とΔI1',I2及びI2'とΔI2'はそれぞれ同じ方向で足し算となるが、I3及びI3'とΔI3'は方向が逆なので引き算になる。最初にΔI3を導いた際にはI3とI'とΔI3は同一方向と仮定しているので、当然ながら結果は逆方向なので負の符号がつく。

著者は先に導いたΔI3と補償定理で導いたΔI3の符号が違うのを見落とすミスを犯している。
webadm
投稿日時: 2008-11-3 12:38
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3107
【17】補償定理(その3)
次ぎも補償定理の応用問題。



平衡状態にあるブリッジ回路のR1に直列にR0を接続した場合に検流計に流れる電流とその方向を求めよというもの。また並列に接続した場合どうなるか。

R1に直列にR0を接続した場合の回路の電流の変化は補償定理により、すべての電源を殺してR1+R0に直列に逆方向のI1*R0なる電源を接続した場合に回路に流れる電流と等しいので、それ以前に平衡状態で電流が0だったIgにはその変化分が流れることになる。



電源Eを殺してI1*R0をR1に直列にI1とは逆方向につないだ場合、R3はI1*R0,R1,R0と並列に、更に検流計を介してR2とR4が並列に接続される回路となる。これはI1*R0,R1,R0とR3とで構成される等価電源回路にR2とR4が並列に負荷として接続されていると置き換えることができる。

等価電源の内部抵抗Z0は等価電圧源Etを殺した場合に端子側から見た内部抵抗なので

Z0=1/(1/R3+1/(R1+R0))
=R3*(R1+R0)/(R1+R0+R3)

等価電圧源の電圧Etは元の回路で端子を開放にした時の出力電圧なので分圧則により

Et=I1*R0*R3/(R1+R0+R3)

従って等価電源回路に負荷抵抗R2とR4を並列接続した場合に負荷に流れる全電流が検流計にな流れる電流ということになるので

Ig=Et/(Z0+1/(1/R2+1/R4))
=Et/(Z0+R2*R4/(R2+R4))
=Et*(R2+R4)/(Z0*(R2+R4)+R2*R4)
=(I1*R0*R3/(R1+R0+R3))*(R2+R4)/((R3*(R1+R0)/(R1+R0+R3))*(R2+R4)+R2*R4)
=I1*R0*R3*(R2+R4)/((R1+R0+R3)*((R3*(R1+R0)/(R1+R0+R3))*(R2+R4)+R2*R4))
=I1*R0*R3*(R2+R4)/((R3*(R1+R0)*(R2+R4)+R2*R4*(R1+R0+R3))

ここで

I1=E/(R1+R3)

なので代入すると

Ig=E*R0*R3*(R2+R4)/((R3*(R1+R0)*(R2+R4)+R2*R4*(R1+R0+R3))*(R1+R3))

ということになる。

今度はR1にR0を並列接続した場合にR1からの抵抗値の変化ΔRは

ΔR=R1*R0/(R1+R0)-R1
=(R1*R0-R1*(R1+R0))/(R1+R0)
=-R1^2/(R1+R0)

となり抵抗値変化はマイナスとなる。従って補償定理によれば回路電流の変化は電源Eを殺してR1に直列にΔRと電源I1*ΔRを接続した際に回路に流れる電流と等しいことになる。



これも先ほどと同様にテブナンの定理を応用して等価電源回路に置き換えて考えると式が導きやすい。

等価電源回路の内部抵抗は

Z0=1/(1/R3+1/(R1+ΔR))
=R3*(R1+ΔR)/(R1+ΔR+R3)
=R3*(R1-R1^2/(R1+R0))/(R1-R1^2/(R1+R0)+R3)
=R3*R1*(1-R1/(R1+R0))/(R1*(1-R1/(R1+R0))+R3)
=R3*R1*R0/((R1+R0)*(R1*R0/(R1+R0)+R3))
=R3*R1*R0/(R1*R0+R3*(R1+R0))

また等価電圧源の電圧は出力を開放した時の端子電圧なので

Et=I1*ΔR*R3/(R1+ΔR+R3)
=I1*(-R1^2/(R1+R0))*R3/(R1-R1^2/(R1+R0)+R3)
=-I1*R1^2*R3/((R1+R0)*(R1-R1^2/(R1+R0)+R3))
=-I1*R1^2*R3/((R1+R0)*(R1*R0/(R1+R0)+R3))
=-I1*R1^2*R3/(R1*R0+R3*(R1+R0))

従って検流計に流れる電流は先ほどとは逆方向で

Ig=Et/(Z0+1/(1/R2+1/R4))
=Et/(Z0+R2*R4/(R2+R4))
=Et*(R2+R4)/(Z0*(R2+R4)+R2*R4)
=(-I1*R1^2*R3/(R1*R0+R3*(R1+R0)))*(R2+R4)/((R3*R1*R0/(R1*R0+R3*(R1+R0)))*(R2+R4)+R2*R4)
=-I1*R1^2*R3*(R2+R4)/((R1*R0+R3*(R1+R0))*((R3*R1*R0/(R1*R0+R3*(R1+R0)))*(R2+R4)+R2*R4)
=-I1*R1^2*R3*(R2+R4)/((R3*R1*R0*(R2+R4)+R2*R4*(R1*R0+R3*(R1+R0)))

ここで

I1=E/(R1+R3)

を代入すると

Ig=-E*R1^2*R3*(R2+R4)/((R1+R3)*((R3*R1*R0*(R2+R4)+R2*R4*(R1*R0+R3*(R1+R0))))

ということになる。

webadm
投稿日時: 2008-11-4 1:51
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登録日: 2004-11-7
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投稿: 3107
【18】テブナンの定理
次ぎは憶えてしまえば実に多くのシーンで使えるテブナンの定理の応用問題。



図のような等価電源回路で開放電圧がE=100V、開放インピーダンスがZ0=8+j14[Ω]の時に負荷Zを接続したら電流I=3+j4[A]が流れたという。この時の負荷インピーダンスZを求めよというもの。

E,Z0,Z,Iの関係を式で表すと

I=E/(Z0+Z)

従って負荷インピーダンスZに関して整理すると

Z=(E-Z0*I)/I

ここで

Z0=R+j*X

I=Ir+j*Im

と置くと

Z=(E-(R+j*X)*(Ir+j*Im))/(Ir+j*Im)
=(E-(R*Ir-X*Im+j*(X*Ir+Im*R))*(Ir-j*Im)/((Ir+j*Im)*(Ir-j*Im))
=(E-R*Ir+X*Im-j*(X*Ir+Im*R))*(Ir-j*Im)/(Ir^2+Im^2)
=((E-R*Ir+X*Im)*Ir-(X*Ir+Im*R)*Im-j*((X*Ir+Im*R)*Ir+(E-R*Ir+X*Im)*Im)/(Ir^2+Im^2)
=(E*Ir-R*Ir^2+X*Im*Ir-X*Im*Ir-R*Im^2-j*(X*Ir^2+R*Im*Ir+E*Im-R*Im*Ir-X*Im^2))/(Ir^2+Im^2)
=(E*Ir-R*(Ir^2+Im^2)-j*(X*(Ir^2+Im^2)+E*Im)/(Ir^2+Im^2)
=(E*Ir-R*(Ir^2+Im^2))/(Ir^2+Im^2)-j*(X*(Ir^2+Im^2)+E*Im)/(Ir^2+Im^2)

と表される。

E=100,R=8,X=14,Ir=3,Im=4をそれぞれ代入すると

Z=(100*3-8*(3^2+4^2))/(3^2+4^2)-j*(14*(3^2+4^2)+100*4)/(3^2+4^2)
=(300-8*25)/25-j*(14*25+400)/25
=4-j30 [Ω]

ということになる。

著者の解はI=E/I-Z0を展開することで式が単純になっている分計算が簡単である。数値計算する場合には記号式を出来るだけ単純にして項を少なくしてから値を代入した方が良い。

webadm
投稿日時: 2008-11-4 2:07
Webmaster
登録日: 2004-11-7
居住地:
投稿: 3107
【19】テブナンの定理(その2)
次ぎも等価電源回路の問題。



定電流源を内部にもつ回路を外部から見た場合にどのように見えるか(等価回路的に)というもの。

回路の開放端電圧は定電流源とそれに並列に接続された内部抵抗Rの積によって

E=I*R

で表される。一方回路の開放端インピーダンスは

Z0=R-R
=0

ということになる。

すなわち外部から見ると電圧源Eと内部抵抗0が直列に接続された理想定電圧源とみなすことができる。

現実の電源回路は内部抵抗が0にはできないので、定電圧回路を構成するにはトランジスタなどのような相互コンダクタンス(gm)を持った能動素子を電源と直列に接続し、負荷電流が大きくなって出力電圧が基準電圧より下がったら相互コンダクタンスを増やすことで出力電圧を上げ、逆に負荷電流が小さくなって出力電圧が基準電圧より高くなったら相互コンダクタンスを減らすことで出力端電圧を下げる仕組みが必要となる。ここで相互コンダクタンスは基準電圧と出力電圧の差に比例して増減するので抵抗と負性抵抗が直列に接続されていると捉えることができる。
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