次ぎもテブナンの定理の応用問題。



図のZ3に流れる電流をテブナンの定理を用いて導けというもの。

テブナンの定理を使用してZ3を負荷として残りを等価電圧源回路に置き換えることで負荷に流れる電流の計算が簡易になる。

等価電圧源回路の開放端電圧は分流則によって

Et=(E/(2*Z1+1/(1/2*Z1+1/(Z1+Z2))))*(2*Z1/(Z1+Z2+2*Z1))*Z2
=(E/(2*Z1+2*Z1*(Z1+Z2)/(3*Z1+Z2)))*(2*Z1/(3*Z1+Z2))*Z2
=(E*(3*Z1+Z2)/(2*Z1*(3*Z1+Z2)+2*Z1*(Z1+Z2)))*(2*Z1/(3*Z1+Z2))*Z2
=(E*(3*Z1+Z2)/(2*(3*Z1+Z2)+2*(Z1+Z2)))*(2/(3*Z1+Z2))*Z2
=E*2*Z2/(8*Z1+4*Z2)
=E*Z2/(2*(2*Z1+Z2))

また開放端インピーダンスは内部電源を殺して端子側から見た合成インピーダンスなので

Z0=1/(1/Z2+1/(Z1+1/(1/2*Z1+1/2*Z1)))
=1/(1/Z2+1/(Z1+Z1))
=1/(1/Z2+1/2*Z1)
=2*Z1*Z2/(2*Z1+Z2)

従って負荷Z3に流れる電流は等価電圧源Etと開放端インピーダンスZ0と負荷Z3が直列に接続された回路に流れる電流であることから

I=Et/(Z0+Z3)
=(E*Z2/(2*(2*Z1+Z2))/(2*Z1*Z2/(2*Z1+Z2)+Z3)
=E*Z2*(2*Z1+Z2)/((2*(2*Z1+Z2))*(2*Z1*Z2+Z3*(2*Z1+Z2)))
=E*Z2/(2*(2*Z1*Z2+Z3*(2*Z1+Z2)))

ということになる。

次ぎもテブナンの定理の応用問題。



ある線形回路網の任意の２端子間の開放電圧が20[V]で、そこに60[Ω]の抵抗を接続すると端子間の電圧が15[V]となった。端子間を短絡したら流れる電流Iはいくらになるか導けというもの。

これはテブナンが解いた問題そのものである。

最初の開放端電圧から、回路は内部にその開放電圧の定電圧源と開放端内部抵抗が直列に接続された等価電源源回路とみなすことができる。

問題は開放端内部抵抗が未知数である点。開放端電圧をE、内部抵抗をR0、抵抗Rを外付けした際の抵抗両端の電圧をE1とすると

E1=E*R/(R0+R)

なる関係が成り立つ。

従ってR0について整理すると

R0=E*R/E1-R
=R*(E/E1-1)

ここで

R=60
E=20
E1=15

をそれぞれ代入すると

R0=60*(20/15-1)
=60*(4/3-1)
=60*(1/3)
=20 [Ω]

ということになる。

従って端子を短絡した場合に流れる電流は

I=E/R0
=20/20
=1 [A]

ということになる。

今度はブリッジ回路の問題をテブナンの定理で解く問題。



ブリッジ回路のブリッジ抵抗R5に流れる電流Iをテブナンの定理を用いて導けというもの。

抵抗R5以外の回路を抵抗R5を開放した状態での開放電圧Eと開放端抵抗R0から成る等価電圧源回路に抵抗R5を負荷として接続した際に流れる電流を求めれば良いことになる。

最初に開放端電圧Eは、AC間電圧とBC間電圧の差として表されるのでそれぞれEac,Ebcとすると分圧則により

Eac=E0*R1/(R1+R2)

Ebc=E0*R3/(R3+R4)

E=Eac-Ebc
=E0*R1/(R1+R2)-E0*R3/(R3+R4)
=E0*(R1/(R1+R2)-R3/(R3+R4))
=E0*(R1*(R3+R4)-R3*(R1+R2))/(R1+R2)*(R3+R4)
=E0*(R1*R3+R1*R4-R1*R3-R2*R3)/(R1+R2)*(R3+R4)
=E0*(R1*R4-R2*R3)/(R1+R2)*(R3+R4)

ということになる。

一方開放端抵抗R0は

R0=1/(1/R1+1/R2)+1/(1/R3+1/R4)
=R1*R2/(R1+R2)+R3*R4/(R3+R4)
=(R1*R2*(R3+R4)+R3*R4*(R1+R2))/(R1+R2)*(R3+R4)

従ってR5に流れる電流Iは

I=E/(R0+R5)
=(E0*(R1*R4-R2*R3)/(R1+R2)*(R3+R4))/((R1*R2*(R3+R4)+R3*R4*(R1+R2))/(R1+R2)*(R3+R4)+R5)
=(E0*(R1*R4-R2*R3)/((R1*R2*(R3+R4)+R3*R4*(R1+R2)+R5*(R1+R2)*(R3+R4))

ということになる。

まだまだ続くテブナンの定理の応用問題。



図の交流回路で負荷Zの電圧降下E2がZの値にかかわらず一定になるC1,C2,Lの関係を導けというもの。

負荷Zを除いた回路を開放端電圧Eを定電圧源とし開放インピーダンスZ0を内部インピーダンスとする等価電圧源回路と見なすと負荷Zの電圧降下E2は以下のような関係となる

E2=E*Z/(Z0+Z)

ここで開放端電圧Eは

E=E1*(1/jωC1)/(1/jωC1+1/jωC2)
=E1*(-ω^2*C1*C2/jωC1)/(jω*(C1+C2))
=E1*(jωC2/(jω*(C1+C2)))
=E1*C2/(C1+C2)

開放端インピーダンスZ0は

Z0=jωL+1/(jωC1+jωC2)
=jωL+1/jω*(C1+C2)
=(1-ω^2*L*(C1+C2))/jω*(C1+C2)
=(1-ω^2*L*(C1+C2))*(-jω*(C1+C2))/(jω*(C1+C2)*(-jω*(C1+C2))
=-jω*(1-ω^2*L*(C1+C2))*(C1+C2)/(C1+C2)^2
=-jω*(1-ω^2*L*(C1+C2))/(C1+C2)

従って

E2=E*Z/(Z0+Z)

E及びZ0はZの値に依存せずに一定であるので、Zに関して微分すると

dE2/dZ=((E*Z)'*(Z0+Z)-(E*Z)*(Z0+Z)')/(Z0+Z)^2
=(E*(Z0+Z)-(E*Z))/(Z0+Z)^2
=E*Z0/(Z0+Z)^2

従ってE2がZの値にかかわらず一定になるのはdE2/dZ=0となる条件

Z0=0

が成り立つ時である。

従って

Z0=-jω*(1-ω^2*L*(C1+C2))/(C1+C2)=0

より

1-ω^2*L*(C1+C2)=0

であればよい

∴ω^2*L*(C1+C2)=1

ということになる。

次ぎもテブナンの定理の応用問題。



図のような定電流源と定電圧源を含むブリッジ回路で端子AB間を流れる電流Iをテブナンの定理を用いて導けというもの。

AB間の間には抵抗2[Ω]と定電圧源5[V]が直列に接続されている。

そこでストラテジーとして抵抗2[Ω]以外を等価電圧源回路に置き換えて、負荷抵抗2[Ω]を接続した場合に流れる電流を求めることにする。

最初に開放端内部抵抗R0を求める。定電流源と定電圧源を共に殺すとAB間の抵抗値は

R0=1/(1/(4+5)+1/(6+3))
=1/(1/9+1/9)
=9/2
=4.5 [Ω]

ということになる。

次ぎに開放端電圧Eを求める。AB間の電圧をEabとすると

Eab=-9*((5+3)*4/(5+3+4+6)-(4+6)*5/(5+3+4+6))
=-9*(8*4/18-10*5/18)
=-9*(32/18-50/18)
=9*18/18
=9 [V]

従って開放端電圧Eは

E=Eab-5
=9-5
=4 [V]

ということになる。従って回路に抵抗2[Ω]に流れる電流は

I=E/(R0+2)
=4/(4.5+2)
=4/6.5
=0.615 [A]

ということになる。

著者の解とは符号が逆だが、図のIの向きだと正になるのが正しい。回路方程式をたてて解いても同じ結果が得られる。著者はどこかで方向を勘違いした可能性がある。C点が図には描かれていないので、その可能性が高い。

次ぎは等価電流源回路（ノートンの定理）に関する問題。



図の様に右の回路を等価電流源回路に置き換え、AB端に抵抗R3を接続した場合に流れる電流I3を求めよというもの。

等価電流源回路に直すにはテブナンの定理と同様に開放端内部抵抗を求める。

R0=1/(1/R1+1/R2)
=R1*R2/(R1+R2)

次ぎに開放端電圧を求める。これは重ね合わせの理で求めることができる。

E=E1*R2/(R1+R2)+E2*R1/(R1+R2)
=(E1*R2+E2*R1)/(R1+R2)

従って定電流源Iは

I=E/R0
=((E1*R2+E2*R1)/(R1+R2))/(R1*R2/(R1+R2))
=(E1*R2+E2*R1)/R1*R2

ということになる。

AB端にR3を接続して流れる電流I3は分流則により

I3=I*R0/(R0+R3)
=((E1*R2+E2*R1)/R1*R2)*(R1*R2/(R1+R2))/(R1*R2/(R1+R2)+R3)
=(E1*R2+E2*R1)/((R1+R2)*(R1*R2/(R1+R2)+R3))
=(E1*R2+E2*R1)/(R1*R2+R3*(R1+R2)

ということになる。

次ぎもノートンの定理を応用した問題。



前問と同様に左の回路を右の等価電流源回路に変換し、短絡電流（定電流源）と開放端抵抗（内部抵抗）を求めよというもの。

AB端の開放電圧Eは重ね合わせの理によって

E=(E1+E2)*R2/(R1+R2)+E3*R1/(R1+R2)+I1/(1/R1+1/R2)+I2/(1/R1+1/R2)
=((E1+E2)*R2+E3*R1)/(R1+R2)+R1*R2*(I1+I2)/(R1+R2)
=((E1+E2)*R2+E3*R1+R1*R2*(I1+I2))/(R1+R2)

AB端の開放抵抗Rは

R=1/(1/R1+1/R2)
=R1*R2/(R1+R2)

従って定電流源Iは

I=E/R=(((E1+E2)*R2+E3*R1+R1*R2*(I1+I2))/(R1+R2))/(R1*R2/(R1+R2))
=((E1+E2)*R2+E3*R1+R1*R2*(I1+I2))/R1*R2
=(E1+E2)/R1+E3/R2+I1+I2

ということになる。

著者の解法は、AB端を予め短絡した場合にAB端に流れる電流を重ね合わせの理によって求めている。等価電流源を求める場合にはそちらの方が早い。

次ぎは与えられた回路を等価電圧源および等価電流源に変換する問題。



端子AB間の開放抵抗R0は回路の電圧源と電流源を殺して合成抵抗として計算できるので

R0=R3+1/(1/R1+1/R2)
=R3+R1*R2/(R1+R2)
=(R3*(R1+R2)+R1*R2)/(R1+R2)

ということになる。

次ぎに端子AB間を短絡した場合に流れる電流Iを重ね合わせの理で求める

I=(E1/(R1+1/(1/R2+1/R3)))*(R2/(R2+R3))+I1*(1/(1/R1+1/R2)/(R3+1/(1/R1+1/R2))+E2/(R3+1/(1/R1+1/R2))
=E1*R2/(R1*(R2+R3)+R2*R3)+I1*R1*R2/(R1+R2)/(R3+R1*R2/(R1+R2))+E2/((R3*(R1+R2)+R1*R2)/(R1+R2))
=(E1*R2+I1*R1*R2+E2*(R1+R2))/(R3*R1+R3*R2+R1*R2)


従って端子ABの開放電圧Eは

E=I*R0
=((E1*R2+I1*R1*R2+E2*(R1+R2))/(R3*R1+R3*R2+R1*R2))*((R3*(R1+R2)+R1*R2)/(R1+R2))
=(E1*R2+I1*R1*R2+E2*(R1+R2))/(R1+R2)

ということになる。

次ぎも等価電圧源及び等価電流源への変換を応用した問題。



図のAB間の電圧Eabを求めよというもの。

ストラテジーとしては端子ABを出力端子とする等価電圧源もしくは等価電流源の開放電圧を求めれば良い。

まずAB間の開放抵抗R0を求める。電圧源と電流源を殺してAB間の合成抵抗を求めれば良い。

R0=1/(1/R+1/(R+1/(1/R+1/R)))
=1/(1/R+1/(R+R^2/2*R))
=1/(1/R+1/(R+R/2))
=1/(1/R+2/(2*R+R))
=1/(1/R+2/3*R)
=3*R/(3+2)
=3*R/5

次ぎにAB間を短絡した場合に流れる電流Isを重ね合わせの理で求める

Is=(E/(R+1/(1/R+1/R)))*(R/2*R)-I*R/(R+1/(1/R+1/R))+E/(R+1/(1/R+1/R))
=(E/(R+R/2))*(1/2)-I*R/(R+R/2)+E/(R+R/2)
=E/3*R-I*2/3+E*2/3*R
=E*3/3*R-I*2/3
=E/R-I*2/3

従って開放電圧Eabは

Eab=Is*R0
=(E/R-I*2/3)*(3*R/5)
=E*3/5-I*2*R/5

ここで

E=12 [V]

I=4 [A]

R=3 [Ω]

をそれぞれ代入すると

Eab=12*3/5-4*2*3/5
=36/5-24/5
=12/5
=2.4 [V]

ということになる。

次ぎも回路を等価電圧源および等価電流源に変換する問題。



回路の電圧源と電流源を殺して内部抵抗R0を求めると

R0=1/(1/2+1/3+1/6)
=6/(3+2+1)
=6/6
=1 [Ω]

次ぎに端子を短絡した場合に流れる電流Iを重ね合わせの理で求める

I=-6/2+4+6/3+5-12/6
=-3+4+2+5-2
=6 [A]

従って開放電圧Eは

E=I*R0
=6*1
=6 [V]

従って定電圧源E=6[V]と内部抵抗R0=1[Ω]が直列になった等価電圧源と、低電流源I=6[A]と内部抵抗R0=1[Ω]が並列に接続された等価電流源に変換できる。