おなじみのキルヒホッフの法則の簡単な説明の後にその応用方法として枝電流法と網目電流法が説明されている。

枝電流法はキルヒホッフの第一の法則の応用して幹の電流から枝回路の電流をそれぞれ割り出すというもの。

端子１、２の間に並列に抵抗Ra, Rbが接続され端子間を電流Iが流れているとする。その場合、各抵抗を流れる枝電流Ia, Ibはそれぞれ以下の様に表されるとある。

Ia = I x Rb /(Ra + Rb)
Ib = I x Ra /(Ra + Rb)

これも結論だけ書いてあって導出過程が説明されていないのでどうやって導き出すのか疑問が残る。

自分でやってみることに。

幹電流と枝電流の関係はキルヒホッフの法則で以下が成り立つはず。

I = Ia + Ib

一方端子１と２の間の電圧降下Eは並列した合成抵抗値とIから求めても、枝電流Ia, Ibと枝抵抗Ra, Rbからそれぞれ求めたものが等しいはずなので以下が成り立つはず。

E = I x (Ra x Rb)/(Ra + Rb) = Ia x Ra = Ib x Rb

上の式からIa, Ibをそれぞれ割り出すと

Ia = I x (Ra x Rb)/(Ra + Rb)/Ra
= I x Rb/(Ra + Rb)

Ib = I x (Ra x Rb)/(Ra + Rb)/Rb
= I x Ra/(Ra + Rb)

ということで導けた。これで電流Iaが他の枝の抵抗値に反比例しているのが確かめられた。

ここで疑問である、抵抗が３つ(Ra, Rb, Rc)並列になったらどうなるのか？

やってみよう

I = Ia + Ib + Ic

これは良し

３つの抵抗の並列接続時の合成抵抗は

(Ra x Rb x Rc)/((Rb x Rc) + (Ra x Rc) + (Ra x Rb))

となる。そこで

E = I x (Ra x Rb x Rc)/((Rb x Rc) + (Ra x Rc) + (Ra x Rb))
= Ia x Ra = Ib x Rb = Ic x Rc

さっきと同じようにIa, Ib, Icを導きだすと

Ia = I x (Rb x Rc)/((Rb x Rc) + (Ra x Rc) + (Ra x Rb))
Ib = I x (Ra x Rc)/((Rb x Rc) + (Ra x Rc) + (Ra x Rb))
Ic = I x (Ra x Rb)/((Rb x Rc) + (Ra x Rc) + (Ra x Rb))

という具合に予想外に複雑になるが他の枝の抵抗値に反比例するのは同じ。